I, J. 3, ..., SI— 1, 21 + 1 1—3,1— S
htr
JM(S|) = (,)«+!• « , (mod/).
Pour le démontrer, observons que d'après la première formule (81)', para graphe i3i, on peut, dans le calcul des / — 2 premières dérivées
relatives au nombre y,, prendre directement, au lieu du polynôme adjoint à t,, le polynôme suivant :
mi — .'.■'' 1 (i — x~r)\!=l
Puis on a le développemenl connu
r er— i i B,.w* B, , 11, , •
log = + ^v + -J—r — -TT\v +FTll '-•■••
où B,, B,, Bs, ... sont les nombres de Bernoulli. De ce développement, résulte
(111) log f^e') = (/ — 1) log r + (r — 1 ) — '- r1
Les fonctions fl(err). fl(er'v), ... jouent le même rôle par rapport aux nombres .sï;. s\, ... que r^e') par rapport à r,. En remplaçant alors dans l'expression (109) de s,, ï), srj, S*ï| ... par r/c'), rie" 1. v;u'''r), on obtient une fonction 1t(e1'), qui peut tenir
lieu de la fonction =,(/) pour le calcul de lM{z,). I'"\;,) /"~2)û,). De (m) on
tire(»)
log È,(0 = (/— 1) JC + (- i)'(r-r"'n>'-r'i ...
... (^,-)(^-0(r" '-r«<) ... (^-Od-^^^J
+ C/lr'-|+(V,t'' ' + ...,
où C, <'.,,. C, ,, désignent certaines constantes. Le produit écrit en détail dans
le coefficient de i>2/ est
,. Vd(x — 1 ) (x — r) . . . (x — r'-'n
1 L ~~^h~ ~Ai,=
et le polynôme à dériver ci-dessus est = x - — 1. modl. Le développemenl ci-dessus entraîne immédiatement les coupruences ( 1 10).
Comme par hypothèse les numérateurs des /" premiers nombres de Bernoulli B, B,. ne sont pas divisibles par /, les /' dérivées /''""(£,) pour /— 1, 2 F sont
(') N. T. — En représentant, en effet, l'exposant tle r, dans s, par f\s) = a0 + ats + ... + + r/,-, s'*-', on a /(/•!") = o pour 11= 1, 2, ..., I — 1, t + 1, ..., /'. De sorte que, vu
la — I
log e(e") = a0 log f,(e") + a, logffc'') 4- ••• 4- a,e i log ?,(e' '),
on a pour coefficient de c1"
c'est-à-dire 0 pour les valeurs de " de i à /', à l'exception de » = /.
THÉORIE DES CORPS l>K NOMBRES ALGEBRIQUES. 235
toutes i|f<>. niiiil /. d'après (no). Nous en concluons qu'aucune des unités s, ir n'est = i. motl /. En posant alors
+ «,/'•. II". '
avec des exposants t\, — e,. Iris que a, <it. soient des entiers non divisibles
par /, ces exposants e,, .... et, sont tous <[ / — i . Puis on tire des congruences (112), le développement d'une expression (1 — e")B suivant les puissances de v commençant par le terme ( — 1 fvP, les congruences suivantes pour l'unité e( :
/(,|(s,) = c, lM(°t) = o /'"' "(£,) = o, (modQ,
/"%,) = (— i)"at.et\, (mod /).
et comme at ne doit pas être divisible par /, on tire des congruences (no), \u la remarque faite plus haut, et=st, ce qui démontre le lemme 29.
§ i3g. — Critérium pour les nombres premiers réguliers.
Voici un critérium simple pour les nombres premiers réguliers /.
Théorème i54- — Pour qu'un nombre premier / soit régulier, il faut et il suffît
qu'il ne divise le numérateur d'aucun des P = premiers nombres de Bernoulli.
[Kummer8.]
Démonstration. — Le lemme 28 montre que, si /divise le numérateur d'un des /" premiers nombres de Bernoulli, / divise aussi le nombre de classes h du corps cl Ij. Dans le cas contraire, l est, toujours d'après ce lemme, premier au premier facteur du nombre de classes. Il y a donc encore seulement à démontrer que le second facteur du nombre de classes h n'est pas non plus divisible par / lorsque l'un des P premiers nombres de Bernoulli ne l'est pas.
Soit y, y,, un système de P unités réelles de ci j. système qui existe toujours
d'après le théorème 127; nous pouvons alors poser
1 1 t3> e'- — '"M ">ii .,"'1 1
{'10' * - — Y, Yj ■■• fie •
pour / = o, 1, 2, ..., P — 1, les exposants mu, m„ mri étant des entiers rationnels et s l'unité circulaire définie formule (108). On tire de ( 1 1 3)
("4) log \s't\ = mu log |rJ + mtl log |Tl| + .. . + m,. , log |Tr|
D. IIILBKRT.
pour f = o. i. >. /* — i. log représentant la partie réelle du logarithme. D'autre
pari, les égalités l [09) définissant les unités ç( £t. entraînent un système de la
forme
zl=sn"(szyît...(s,'-u)'" ■.
\<>us en liions les égalilés (n6) h^i, = nt,\og\i{ + /is,log|se| + ... + n^log \s' ~> t\
et ensuite, à cause de i i 'i i,
log£< = Mtllog|Tt| + Mstlog|Ys| + ... + MAlog|Tl.|
où Mw, Mo/ M;V sont les combinaisons bilinéaires connues des il'~ entiers ntl,
n, , /((•.,'■ '",„. w.,0 "';•./■• Les systèmes (n3) et (iiô) en donnent encore
chacun T — i, si l'on effectue sur les unités qui y figurent les substitutions s, s'', ... , s'"-1. En prenant les logarithmes, nous passons de même aux systèmes correspondant
à (irA). (n6)et (117). .
En posant alors
loglr,l-
log[.s-;,l,
loglïrl
In- ■--;
log|*' ■:,
log |£|, log |*s| .
log M.
log Is'sl
losrLv' -'-.-, !
In- ,v
In- .s
log ;, .
log Si, ,
log s' S
log 3, .
log SI, .
log U!'*-! si
loo* - a
log Si,<
log .s-'
lojr s"
m trouve, par la règle de multiplication des déterminants.
THKORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGlÎBRIQl I s. 2.^7
Le déterminanl du second membre esl un entier rationnel el il n'es! pas divisible
par /. Car, dans le cas contraire, on pourrai! trouver /' entiers \ N . non tous
divisibles par / et rendant divisibles par / toutes les sommes
(« if)
( )n i il i tiendrait alors, vu 1 1 17), une égalité de la Forme
N, logs, + N.logs, + ... +N^.log £,. = /. logEoù E serait une certaine unité positive de c(Ç). D'où
(■•il) ^£^... $ =E'-
Mais une telle égalité est impossible. Car on en tirerai! d'abord E = E'='t mod t; en considérant le polynôme adjoint Ei.n et les valeurs pour u = o des / — 2 premières dérivées de log E(e'). on déduirait de (119), en appliquant (110) les congruences
(— 0' h77TiNl = 0, (mod l).
Mais tous les nombres de Bernoulli 15, IL. doivent être premiers à /. taudis que
les nombres Nt, ... , \",. ne sont pas tous divisibles par /: il y a donc contradiction.
Ainsi le déterminant du second membre de (1 18) n'est pas divisible par /. Comme,
d autre part, les facteurs — et — sont toujours entiers et que — représente le se-
coud facteur du nombre de classes h, le second facteur du nombre de classes n'est donc pas non plus divisible par /. Le théorème i54 est ainsi complètement démontré.
En s'appuyant sur ce théorème, on voit, d'après les valeurs des 47 premiers nombres de Bernoulli, qu'en dehors de 87, 5g et 67 tous les nombres premiers inférieurs à 100 sont réguliers. Le calcul montre, d'ailleurs, que les nombres de classes /( relatifs aux corps c\e ' ) poui 1=5"], 5g et 67 ne sont divisibles que par / et non par /*. [Ruminer "■ v'.]
S i^o. — Système particulier d'unités indépendantes d'us corps circm. ure
