RÉGULIER
Le paragraphe 139 nous fournil le moyen de déterminer dans un corps circulaire régulier un système d'unités qui nous sera utile dan- la --uile.
Théorème i55. — /étant un nombre premier régulier, il existe toujours dan- le
f — \ , '—3 corps circulaire c\e ' ) un système de ™ = unités indépendantes,
: vérifiant les congruences
Démonstration. — c(Ç) étant régulier, les numérateurs des /' premiers nombres de Bernoulli sont tous premiers à /, et il existe par suite (lemme 29) /* unités =J, ..., £j« vérifiant les congruences (107). Comme a, at<t sont premiers à /, nous pouvons déterminer /* entiers b{ ht tels que l'on ait
0,6^=1 a^b^^i, (mod Z).
En posant alors
les unités I,, s,« vérifient les congruences du théorème i55.
De plus, elles forment un système d'unités indépendantes, parce que les unités e, .... e,« du paragraphe i38 en forment un. Pour montrer ce dernier point, supposons au contraire qu'il existe une égalité
les exposants étant des entiers non tous nuls; on peut supposer ensuite que ces exposants ne sont pas tous divisibles par /, car. dans le cas contraire, on aurait
en
îj ... U,' =1.
Ces exposants n'étant pas tous divisibles par /. l'équation 120 serait de la même forme que (i 19) qui a été déjà reconnue impossible au paragraphe l'Ay.
*> 1 '1 1 • — Propriété caractéristique des 1 mies d'un corps circi laire régulier.
Théorème i56. - - / étant un nombre premier régulier, s'il existe dans le
corps C\e ' / une unité E congrue mod /à un en I ici rationnel, elle est nécessairement égale à la /"'""' puissance d'une unité de ce corps. [Kummer8.]
Démonstration. -- Supposons déterminé un système d'unités 7, 7, eonfor-
méfiienl an théorème i5.">; comme elles sont indépendantes, on a
(.2.) Ee = =ï'..; f,'t ,
THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQI ES. 23y
e, e, <■, étant des entiers rationnels non \>n\- nuls, et l'on voit de suite qu'ils peuvent aussi être supposés non tous = o, mod /(*). Uors si e était divisible par /. l'égalité 1 1 ■! 1 1 serait de la forme i 1 19), <|ui est impossible. Si. au conl raire, e n'était pas divisible par /. on aurait E ~ 1 • mod 1, et, par suite, = 1 . un ni /: prenons alors
la dérivée logarithmique des polync is adjoints des deux membres de 1 » 1 1. Comme
E* étant = 1, mod l, les nombres F(Ee) sont tous=o, mod lpoutg<il — 1, il •■ n
résulte, en prenant >/=■>., '\ 2/*, et tenant compte des valeurs des nombres
l(s)(j) /''''(£, |, et île i 1 loi. que l'un a successivement e, = 0 e,o = o, mod /.
on a donc Ee = H'- H étant une certaine unité du corps, e n'étant pas divisible par l. En déterminant alors deux nombres a et />. tels queae + bl=i, on a
e = ch"eV.
ce qui démontre le théorème i .")(>.
On esl conduit par les considérations suivantes à une démonstration toul à fail différente de ce théorème.
Si E n'était pas égale à la /•"" puissance d'une unité de c(Ç), H — - E' ne pourrait l'être non plus; car 1 — s et 1 +.< + ...+ s'~s sont deux polynômes à coefficients
entiers en S sans diviseur commun mod /. Mais si E est congn I /à un entier
rationnel, on a H= '• mod l', ce qui. vu la deuxième partie du théorème 148, exigerait que le corps kuminerien c(\/h. ï) ait le discriminant relatif 1 par rapporl à c(Q. Mais comme ce corps kummerien est abélien relatif de degré relatif / par rapport à c(Q, le théorème o't exigerait que le nombre des classes d'idéaux du corps circulaire c('l) fût divisible par /, contrairement à l'hypothèse qu'il est régulier.
§ i^a. — Nombres primaires dis coups circulaire régulier.
In entier y. du corps circulaire régulier c('l) est dit primaire : 1" s'il est semi-primaire (voir S u5) et ■>:' si le carré de son module, c'est-à-dire son produit par le
nombre imaginaire conjugué s - oc, est congru à un entier rationnel mod l~'= I. Y\\ nombre primaire est donc toujours premier à I et vérifie les congruences
a et b étant des entiers rationnels. [Ruminer '-.]
(') N. T. — Eu effet, dans le cas contraire, en extrayant la racine /""". on aurait E«' = £*Ë1e'i ... !,„''''>, et E' étant congrue, mod /, à un entier rationnel, et tes unités ia étant réelles, on aurait, la congruence devant subsister quand on change £ en Ç— ' ,
£* = !;*, (mod /).
c'est-à-dire A' = o, (mod /), et en continuant ainsi, tant que les exposants sont tous divisibles par /, on arrive bien finalement à une égalité [121),
^4o D. HILBERT.
ïhéobème 107. — Dans un corps circulaire régulier c(ç), 6ri obtient un nombre primaire en multipliant un entier quelconque premier à I par une unité convenable.
[kummer '-.]
Démonstration. — Le nombre (3 = a.s - a est évidemment un nombre du souscorps de degré du corps c(Ç) et vérifie par suite une congruence ,6 = a, mod l\
a étant un entier rationnel non divisible par /. Soient I,. I. I, ■ les /' unités du
paragraphe i^o. Si on a, par exemple, |S = a + a/2, mod (', a, étant un entier rationnel, on déterminera un entier rationnel ut, tel que l'on ait %aut + fl, = o. mod /; alors on a nécessairement
pl^. = a, (l'i.
Si l'on a ensuite, par exemple, (Ji(!Bi = a + a,À*, mod (t"). n, étant un entier rationnel, on déterminera un entier ut, tel que l'on ait 2«hs + a^ = o, mod /: on a dès lors
( ni arrive finalement à
pif' H"= . . . if " = <if = a , 1 mod 1'-) .
Si, d'autre part, ".' est une puissance de " telle que *v. soit semi-primaire, 'i'iv. scia évidemment primaire.
Un nombre primaire réel est toujours congru, mod î=i ', à un entier rationnel. I >'après li' théorème 1 56, te m le unité primaire de cl j est la /"""' puissance d'une unité (!<■ c(jÇ).
Voici encore un lemme sur les m un lues primaires qui sera utile dans la suite.
Lemme 3o. ' — v, ;j. étanl d 'ii\ nombres primaires n\\ corps circulaire régulier c(Z),
mi a loiiioui's — - — > = 1.
Démonstration. — Nous pouvons supposer les deux nombres v, ;;. = 1, mod 1. car autrement leurs (/ — 1 i"'1""" puissances rempliraient sûrement celle condition, et à
enlise de — -M = — — (voir $ i3.i), on pourrait les substituer à v et \j..
D'après (83), on a
et comme par hypothèse on a y., s - ;j. = i, mod l' ', el que v = i, mod I*, on tire
THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES Al.i.l- lîiunl I s. 2 '\ I
immédiatement de La définition générale (82) du symbole et. par suite,
( ^jj. j I v. s~<j. 1
On démontre de même que
Puis de la formule (84) on tire
( 1 Si .1 J"1"
Les trois dernières égalités donnent
