CHAPITRE XXXI I

Classes d'idéaux invariantes 1 ' ) et genres d'un corps kummerien régulier.

<5 1^3. — Familles d'usités d'ln coups circulaire régi lier.

Soit / un nombre premier impair régulier, et considérons dans le corps circulaire

régulier c\ç=e~J un ensemble E d'unités contenant les Fimel puissances de toutes les unités du corps et tel, de plus, que le produit et le quotient de deux unités quelconques de l'ensemble en fasse encore partie. On appellera un tel ensemble une famille d'unités du corps circulaire c('c).

Dans toute famille, on peut déterminer m unités s,, — ïm telles que toute unité de la famille est représentée une fois et une seule par l'expression

lorsqu'on donne à chacun des exposants at, ..., um, les valeurs o. 1 / — 1 et où

\ est une unité quelconque de c(Ç). J'appellerai un tel système e, s,,, base de la

famille. Il est clair qu'on ne peut avoir

(') Ou ambiges.

Q.b\% 1). HIIJBERT.

et em étanl des entiers rationnels n- >n tous <li\ isibles par l et £ une unité de c(Ç).

On voit aisément que toute autre hase de la famille E comprend le même nombre m d'unités; ce nombre m s'appellera le degré de la famille d'unités.

.Si. en particulier, une famille d'unités ne contient que les /'""'" puissances d'unités de c(Ç), elle contient le plus petit nombre possible d'unités et son degré est o. La totalité des unités de c(Ç) est aussi une famille d'unités; toute unité de c(£) est (théorème 127) le produit d'une racine /'*me de l'unité et d'une unité réelle : on conclut de là et des développements de la démonstration du théorème 1.Ï7 que les unités I,, .... si— 3 du paragraphe i/io forment avec Ç une base de cette famille d'unités, qui est

la plus étendue. Son degré est donc ; c'est évidemment la seule famille de

degré et il n'\ en a pas de degré plus élevé.

On voit facilement que les normes relatives de toutes les unités d'un corps kummerien c[y p., 'ç) déduit de r(Ç) forment une famille d'unités de c(Ç); enfin, la totalité des unités égales à des normes relatives, soit d'unités, soit de fractions du corps kummerien c[yu., Çj. forment une famille d'unités de c(Ç).

S k'i4- — Idéaux invariants ('), classes d'idévix invariantes (') ni n corps

kl MMF.Uir.N RÉGI LIER.

Suit n £) un corps circulaire régulier, ;j. un entier de c(Z). qui ne soit pas puissance /"""■ d'un nombre de ç(Ç); soit C le corjis kummerien régulier c(|y|, Ç) engendré par IVJ = v ;j. et Z. Cherchons maintenant à développer la théorie de ce corps par des méthodes correspondant à celles qu'on a employées pour le corps quadratique dans les chapitres wu et xvm.

Le groupe relatif de C par rapport à c(Ç) est formé de puissances de la substitution S = <M- ?M>; on appellera, d'après le paragraphe 07. un idéal 31 de C, idéal invariant^), quand la substitution S le laissera invariant, S3f=3t, el que, de plus. 3( ne contiendra en facteurs aucun idéal de c(Ç) différant de 1.

D'après le théorème f)3, les idéaux premiers qui divisent le discriminant relatif de (1 sont (nus invariants, et il n'\ a pas d'autres idéaux invariants. 31 étant donc un

(') L'expression de M. Hilbert est ambig. Selon une remarque de M. E. Cahen, l'origine de ce mol remonte à la traduction, par Poutet-Delisle, des Disquisitiones arithmeticae : il traduit par ambigu le mol anceps, employé par (I.imss dans sa théorie des formes quadratiques. M. Lévy, vu l'acception habituelle différente du mot ambigu, a employé le mot ambige dans ses traductions de l'ouvrage de Sommer et des trois premières parties de l'ouvrage actuel. M. de la Vallée-Poussin emploie le mot bilafêre. .le propose invariant, qui a l'avantage de rappeler la définition des classes dont il s'agit.

idéal invariant quelconque de <', nous déduisons l'acilemeni de S?(~ î( i \ < >i i- « -."h que toul idéal premier de C qui divise % doit aussi être invariant, el il en résulte que le nombre de tous les idéaux invariants ^§1 l .

& étant un idéal d'une classe K du corps de Kummer C, la classe d'idéaux déterminée par l'idéal conjugué relatif SS scia représentée par Sk. Les classes s k . S!k, .... S'- 'K s'appelleront les classes conjuguées relatives de k. F(S) étant un polynôme quelconque de degré / — i m S à coefficients a, a, al rl en tins rai ion ne! s :

F.(S) = a + a,S+ ... +aHS'-' la classe déterminée par l'expression

k"(Sk)".iS;k)". ... (S'"1 K )"<-'.

s'appellera la puissance symbolique F(S) de la classe K et se représentera pai

fta+n, S+o>S»+...+o/, S'-' K.F<S'.

Enfin, une classe d'idéaux V du corps kummerien sera dite classe ambige ou inva riante lorsqu'on aura V = S \ . c'es';-à-dire Vl— s ^= i . La /"""' puissance dune classe ambige quelconque contient toujours parmi ses idéaux des idéaux de c(Ç). Cela résulte immédiatement de ce que l'on a

kl __ ^l+S+Sî+...+S'-i

à cause de A = SA et que, d'au Ire part, la norme relative d'un idéal quelconque de C est un idéal de e(L').

§ i43. — Famille de classes da>s in corps klmmekikx régulier.

Considérons dans le corps kummerien régulier C un ensemble de classes, tel que la /""puissance de chacune d'elles contienne des idéaux de c('l) et que, de plus, il contienne toutes les classes contenant des idéaux de c(0; tel, de plus, que le produit et le quotient de deux classes de l'ensemble en fassent encore partie. J'appellerai un tel ensemble une famille de dusses du corps kummerien. Dans toute famille de classes, on peut toujours déterminer n classes K,, ..., k„, telles que toute classe de la famille est représentée une fois, et une seule, par le produit

lorsque h,, «.,, ... , «„ prennent séparément les valeurs o, t l—i, et k désignant

une quelconque des classes renfermant parmi ses idéaux des idéaux de cl u). On appellera k, k„ une base de lu famille de élusses. On montre facilement que le nombre

de classes de toute autre base de la famille est encore égal à n. Ce nombre 11 sera le degré de la famille de élusses.

a/j/j D. IIILBKRT.

Si toutes 1rs classes d'une i';\inillc contiennent des idéaux de c(Q. elle est de degré o. Une autre famille de classes est encore formée parla totalité des classer de C contenant soit des idéaux invariants de C, soit des produits de tels idéaux par des idéaux de c(Ç). Enfin, la totalité des classes invariantes du corps kummerien forme une famille.

S I 46. — Delx lemmes générai x sur les unités fondamentales relatives d'h corps cyclique relatif de degré premier impair.

Avant de poursuivre les recherches du précédent paragraphe, établissons deux lemmes se rattachant au théorème 91 du paragraphe 55.

Lemme 3i. — Soit / premier impair le degré relatif d'un corps C cyclique relatif par rapport à un sous-corps c, soit S une substitution autre que la substitution

identique du groupe relatif de C par rapport à c, et soit H, H,. , un système

d'unités fondamentales relatives du corps C par rapport à c; on a dès lors pour Ion le unité E de C une relation de la forme