H, H, ,. SH, SH, , S'-'H, S'-SH
jointes à /• unités fondamentales du corps c soûl indépendantes, et comme il y en a en tout l{r + 1) — 1, il existe pour toute unité E de C des relations de la forme
c») E,i,s,= H;;'w...H:vw[:].
nu G(S), G,(S) G)H1(S) sont des polynômes entiers en S de degré / — 2 h coefficients entiers, dont le premier n'esl pas identiquement nul. el où [t] est une unité de C telle que [=]' est dans c. Parmi les relations (123) en nombre infini, prenons-en une où G(Ç) siiil divisible par une puissance de i — Z aussi petite que possible. Admettons que ce soil précisément la relation (122); supposons, de plus, d'abord que G(Ç) s"ii au moins divisible par 1 — Z. D'après la définition des unités fondamentales, paragraphe 5."), il faul que
THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES A l.( . l'im l< H is. 'j \7t
soient aussi divisibles par i — 1. En élevanl (123) à la puissance symbolique
(1 — S") ( 1 — S") ... ( i — S1-') cl en posanl
G(Ç) = (i-ç)G»(ç). G, (Q =(1— og;(0
cm trouve facilement, la 1 1 4 -S + S! + •■• + S' ' 1""1" puissance symbolique de toute unité de C étant dans c :
(*»3) Ew»==Hio|m ... HI':r""|£|.
où [s] est encore une unité de c ou la racine /"""' crime unité de c.
\ cause de l'égalité ( ta3), une racine /"''""" de ce nombre [s] esl certainement un
nombre de C . cl par su i le aussi une unité de C dont la /" puissance appartient à c,
et qu'un désignera encore par [1] ; on tire alors de 1 1 23)
E80(s>=H^..rC;+1(S,[£]-
[s] étant encore une unité de C dont la /"'"" puissance esl dans c. Cette égalité esl dé la même forme que (122), sauf que G*(Ç) serait divisible par une puissance de 1 — '1 inférieure à celle qui divise G(Ç), ce qui est contradictoire à notre hypothèse sur le choix de (122). Donc G(Ç) ne peut être divisible par 1 — 'C.
En posant /=G(QG(Ç") ... G(£'-1), /est un entier rationnel non divisible par /. et il existe évidemment deux polynômes entiers H(S), M(S) à coefficients entiers, vérifiant identiquement en S l'égalité
En élevant (122) à la H(S)ième puissance symbolique on obtient la formule annoncée dans le lemme 3i.
Lemme 32. — Conservons les mêmes notations que dans le lemme 3i . prenons les normes relatives des r + 1 unités fondamentales relatives du corps relatif cyclique ( ; :
■n.= Nï(Ht) ■/,,.., = >.",< H,.,).
toute unité e de c égale à la norme relative d'une unité E de C est alors de la forme
ut ur , étant des entiers rationnels et [--] une unité de C.
Démonstration. — D'après le lemme 3i, nous avons pour E une égalité
v',li D. HILBERt.
avec les cotations de ce lemme. En prenant la norme relative par rapport à c, on
obtient (')
(ia4) er=7Ur,W„.rj^.u»[e]«.
En déterminanl ensuite deux entiers rationnels a et /*, tels que l'on ait i =aj + bl, il en élevant i ' *'i) à la puissance a, on obtient une formule conforme au lemme .'*>:>.
<; i'|-. — Les ci ^sses d'idéaux déterminées par les idéaux invariants.
Suit C = c(\/;x. '1) un corps kummerien régulier, prenons dans son groupe relatif la substitution S=(vV '. £Via)- Comme tout idéal invariant 31 de C détermine une classe invariante, vu S3ï = 3ï, nous devons d'abord, pour arriver à la connaissance des classes invariantes, étudier la famille de classes engendrée par les idéaux invariants. On a l'importante proposition :
Théorème i 38. — Soit I le nombre des idéaux premiers distincts qui divisent le discriminant relatif du corps kummerien régulier C = c(v/[*, 0 de degré relatif l; les normes relatives de toutes les unités de C forment pour c une famille d'unités de degré m: si nous considérons alors toutes les élusses contenant soit des idéaux invariants de C, soit <les produits de tels idéaux par des idéaux de c(Ç), elles forment une famille de classes de degré
Démonstration. — Supposons d'abord que le nombre ;j. ne soit pas de la forme ei', où £ et a sont une unité et un nombre de c(Ç)- Alors toute unité [i] du corps C = c(v/y.. t) dont la /"'"' puissance est dans c(ç) est nécessairement elle-même dans i '>; déplus, H, Hi, désigneront un système d'unités fondamentales relatives
iln corps <i par rapport à c('Ç) et
• 1, = Ne(Hj V, = V'<IW
leurs normes relatives.
\ons prenons, en premier lieu, le cas extrèn ù l'on a m = . Nous concluons du lemme 3a que les unités t,( .'„, forment une base de la famille
(') N. T. — Si l'on a en efful
Q = <oF<s> = oa(S<o)"< ... < S' -,.,)"'—, on en déduit
*e(Q)=[Ne(w)]"[Nc(S»)]"< ...|V(S' =<„)]"'-*:= [Nc(<o)]a ". "' »= V L"
THEORIE DES COUPS DK NO.MlîltKS AUiKISlUOUES. 2 !\ 1
d'unités formée des normes relatives do toutes 1rs unités de C. Considérons, d'autre
part, les / idéaux premiers invariants 8, 8, du corps C; ils déterminent l classes
invariantes, que nous désignerons par L, I,,. P ■ déterminer le degré de la
famille de classés qu'elles définissent, posons
(ia5) M = v/[x=8î. ... 8f i,
où '/, a, sont des exposants entiers et j un idéal de c(Ç). Vu l'hypothèse faite
sur ;;., l'un au uiiiius des exposants a, '/, n'esl pas divisible par /; soil. par
exemple, </,. Nous déduisons de | [25) que
esi nue classe contenant des idéaux du corps c(ç); comme L,' esl aussi une classe de
celle espèce, il en résulte que Lt esl le produit de puissances îles classes | |.
et d'une clause contenant des idéaux de c(Ç).
Démontrons maintenant que les classes L, L,, ne peuvenl à elles seules
composer aucune classe
contenanl des idéaux de c(Ç), à moins que Ions les exposants a\ a't soienl divi-
sihles par /. En effet, de la relation ( ia6) on tirerait une égalité
(•'37) M'=sr-....8^r,r,
où j' serait un idéal de c('l) cl M' "" entier de C; on en concilierait alors que
E= M "~s devrait être une unité de C. appliquons à E le lemme .ii ; on a aussi
une égalité de la forme
F;-li(S)
(w8) Er=Hf,,sl... H^ e.
où / esl un entier rationnel non divisible par /. F,(S) F,,(S) des polynômes
entiers en S à coefTicienls entiers et 3 une unité de c(Ç). Comme on a évidemment IVC(E):^ 1. on a. en prenant la norme relative des deux membres de 1 128),
y,, ru{ devant former la base d'une famille d'unités, les entiers F,(i)
F,4(i) doivent être tous divisibles par /, et par suite F/Ç) F,,(Ç) par 1 — ç. En
posan I
f,(0 = (i-of;(0 F^co^Ci-QF^cp,
h = hPS)... h,.,2
E'=H' sh*.
e* étant encore une unité de c('Ç). Puis, en prenant la norme relative, on a i = =*', c'est-à-dirè que s* est une racine /''""' de l'unité, par exemple = w9. Connue M'~S~S~1on a
c'est-à-dire que l'expression M WT'H ' est un nombre de c(Ç). Comme M (vu \->.-) ne contient pas l'idéal fi; ou le contient à une puissance d'exposanl divisible par/, que M contient, au contraire, fi, à une puissance d'exposant at non divisible par /. la décomposition de ce nombre en idéaux premiers du corps c(Ç) montre d'abord <|ue y doit être divisible par /; puis elle montre, /' étant premier à /. que les exposants
u ' "/'-, devraient être tous divisibles par /, contrairement à l'hypothèse. Par
conséquent il ne peut y avoir entre les classes L, Lt, une relation comme (126),
c'est-à-dire que les classes L( Lt t forment, si /;i = , une base de la famille
de classes engendrée parla totalité des idéaux invariants; le degré de cette famille
esl donc t — I = /-(-/»! .
Supposons, en second lieu, m = — — . Il doit alors exister entre les unités rti,
V-i r,. une relation de la forme v/j ■rïlJl =t\1, les exposants e, el l n'étant
pas tous divisibles par /. i\ étanl une unité de c(ç). Si el l, par exemple, n'est pas
divisible par /. rh iq,, formenl une hase de la famille des normes relatives de
toutes les unités de C : cela résulte du lemme 32. Formons alors l'unité
Comme elle a pour norme relative i, il existe dans C un entier A tel que l'on ail A'^S = E (théorème 90). Déterminons — ce qui est toujours possible — un entier positif r tel que dans le produit M = A M' l'idéal fi, entre avec un exposant divisible
par /. Les autres facteurs fi, fi,, ne pourront avoir tous dans M des exposants
divisibles par /. car autrement on aurait, d'après le théorème i53, M,== O* • O étant une unité de C cl x un entier de n Q; cl on aurail par suite O1 s = E'C' • conlrairei lient à la définition (S 55) des unités fonda mentales relatives H, H, , • puisque,
dans l'expression (129) de E- <\ , csl premier à /. Mois l'idéal invariant fi,,. par
THÉORIE l>IS COUPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. '^|<)
exemple, entre ilans M' avec un exposant non divjsible par /. On en conclul que la classe L,, est le produit de puissances des liasses L, !.,., et d'une classe contenant des idéaux de c(ç).
Démontrons maintenant que les classes L, L, , ne peuvent former aucune
classe
contenant des idéaux de c(Ç), à moins que les exposants a" a" si lient tous divisibles par /.
En effet, une relation (i3o) entraînerait une égalité
(.3.) M"=<''.-.cri",
M" étant un entier de C et j" un idéal de c(Ç); alors E'= M"" de\ rail être une unité de C. En lui appliquant le lemnie 3i, on obtient une égalité
(i3a) Ev' = Hr,,sl ---Hj e,
/" étant un entier rationnel non divisible par /, les polynômes F'(S) étant à coefficients entiers et = une unité de c(Ç). Déterminons alors un exposant entier rationnel a tel que l'entier F'j,(i) + uet t soit divisible par /; on obtient, par rapport à c(Ç),
comme NC(E') = i,
(,33) i=i)r*,i,+"i"--vr "1 s"'
i étant encore une unité de c(Ç). Les unités rh ru} étant une base d'une famille
d'unités, il résulte de (i33) que les exposants F,'(i) + «e,, ..., F',3(i) + uel a sont tous divisibles par /. c'est-à-dire que tous les nombres
F,'<0 + «c, FVjG) + «^
sont divisibles par i — t. En posant
et
H'=.Hrî',s,...Hi=12 ■
il résulte de (i3a)
E'^E" = HM-See',
où E est l'unité de C définie par (129) et ='* encore une unité de c(Ç); en prenant la
norme relative, on a i =£'"'. c'est-à-dire que s" est une racine de l'unité, égal.j par exemple à .'' . On a alors, en tenant compte des égalités :
M'^=l~'. M"-s = Ef-r, M"S=E'.
c'est-à-dire cpie l'expression entre crochets est un nombre de c('l).
En remarquant que fi/. S/,, fi/, fi', sont idéaux premiers dans c(Ç), ncus
voyons d'abord que g' — «r doit être divisible par /; alors, M' contenant par hypothèse l'idéal 8,, à une puissance d'exposant non multiple de /. tandis qu'au contraire M" contient, d'après (i3i), 8,, aune puissance d'exposant multiple de /, on Voit que u devrait aussi être divisible par /. et enfin, /' étant premier à /, que les exposants a",, ..., a" t, devraient être tous divisibles par /, contrairement à l'hypothèse faite à leur sujet. Ainsi il est démontré qu'une relation (i3o) ne peut exister
entre les L, L, , c'est-à-dire que ces classes forment dans le cas de m =
une base de la famille de classes engendrée par tous les idéaux invariants; son degré est donc / — 2, conformément à la formule du théorème i38.
Supposons, en troisième lieu, m = . Alors il existe entre les unités ni t.,
non seulement une relation de la forme *# ... 7, JJ =7)'i t| étant une unité de c\ Ç) et l'un au moins des exposants, par exemple ct t n'étant pas divisible par /; mais il y
en a encore une de la forme -<■,','•. ..y, - =ri", r, étant encore une unité de c(Ç) et
l'un des exposants e/, par exemple e',3 n'étant pas divisible par /. Formons les unités
La norme relative de E cl E' étant égale à 1. on peut (théorème 90) poseï E = A'~S et E' = AM S. A pt A' étant des entiers de C. Si l'on détermine alors, comme dans le cas précédent, un entier positif;-, tel que |\fl' = AMr contienne fi, à une puissance d'exposant multiple de /. l'un au moins des facteurs fi, fi,, entre dans |\f|'
à une puissance d'exposant non multiple de /, soit par exemple fi,,. Déterminons alors deux entiers positifs r' et r" tels que M = A M M' contienne les deux facteurs fi, et fi,, à des puissances d'exposants multiples de /. Alors les facteurs V, fi,, ne peuvent tous avoir dans ce nom lue jy|" des exposants divisibles par /.
Car autrement on pourrait poser, d'après le théorème i53. M" = 0Y. ©'étant une unité de C et a.' un entier de c(Ç). En considérant alors les égalités M' " = -' '• A'~S=E. A""S=E' on Minait.
0'1-S- E'Er'Ç-(r^+r")i
d'où on déduirait, à cause de ( l34),
<•';— :l-HÉV| 3 r'ei—i
(■35) 0'i-» = Hf«+rt'..'.HiJ TH,J~t-
£ étant une unité de c(L'); mais cette relation est incompatible axer la définition des unités fondamentales relatives (S 55); car chacun des nombres e, .,, e',, étant pre-
mier à /, les exposants de H;-,. H,, dans (i35) ne sont certainement pas tous deux
divisibles par/. Si donc, par exemple. 8,, figure dans M* avec un exposant non divisible par /, on en conclut que la classe L,, est un produit de puissances des
classes L, L,3 et d'une classe c m tenant des idéaux de c(Ç).
/ — 3 Les mêmes considérations que dans le cas de m = montrent encore, dans le
cas actuel de m = - . que les classes d'idéaux L,, ..., L(, ne peuvent former
aucune classe
contenant des idéaux de c('l), si les exposants «'" sont des entiers rationnels non tous
divisibles par /. L, L,3 formentdonc une base delà famille déclasses c posée
de tous les idéaux invariants: son degré est par suite t — 3, ce qui est conforme au théorème i58.
En continuant par le même procédé, on arrive à démontrer complètement le théorème i58.
Nous avions exclu le cas où le corps kummerien C serait défini pat un nombre \fl, ï étant une unité de c(t); il nous reste donc à traiter ce cas à part.
Le discriminant relatif du corps C = c({/;, z) ne peut alors, d'après le théorème i48, contenir d'autre facteur premier que 1. On a dans C la décomposition t = g'et S est le seul idéal premier invariant de C. Soient encore y„, .... -.-,,,,
les normes relatives des unités fondamentales relatives .H, H,,- Comme
le degré d'une famille d'unités de c(t) est toujours <— — . on a certainement une
relation de la forme
2i)2 D. IIILIJERT.
où e( <',,, r, , sont des entiers rationnels non tous divisibles par / et vj une
unité de ci L'). En posant
(<3-) h = h,' ...hU (y/I) j v1-
kii a MC(H)= i, et par suite (théorème 90) H =:A,S- A étant un entier de C; on peut alors poser(') A = fi"), j étant un idéal de c(Ç). L*exposant a n'est pas divisible par /. car autrement, comme fi' = 1 = 1 — Z, cm aurait, vu le théorème i53, A = (■)*• O étant une unité de C, et x un nombre de c(Ç); mais on aurait alors H = 0'~s- et par suite, à cause de (137), une contradiction avec la définition des unités fondamentales relatives (S 55). De l'égalité A~fi"). nous tirons j' -^ 1 : donc j -»- 1, fi" ■» 1, et comme n est premier à /. fi . -»- 1, c'est-à-dire que le seul idéal invariant du cas actuel est un idéal principal. Le degré de la famille de classes de tous les idéaux invariants csl par suite égal à o dans le cas actuel.
Supposons maintenant que parmi les exposants ei et lt e, -, par exemple,
soit premier à / et démontrons qu'il ne peut exister aucune relation
''1-3 e'i+t (i38) -if'.---nj s 2 =t,".
où e[ e'i-3.< e\ , soient des entiers rationnels non tous divisibles par / et -r' une
unité de c(t). En effet, on en déduirait que
'•'/-:i e'eH
H'=Hf'... hj {</l) '■<;-<
est une unité de norme relative ('gale à 1. Posons, d'après le théorème 90, H' = A'I-S. A' étant un entier de C, et déterminons un exposant entier positif r tel que fi ait dans AA' un exposant divisible par /. On peut alors, vu le théorème 1 53, poser A'Ar = 0'a', O' étant une unité de C et x' un entier de c(Q; alors on a ©M-s = H'H'. c'est-à-dire que l'unité
h;v '-•... nu 2 »,J (vA) 2 ^'-'r
serait la (1 — S)'''""' puissance symbolique d'une unité de C, ce qui esl incompatible avec la définition des unités fondamentales relatives. Une relation telle que (i38) est
donc impossible; vu (1 36), et comme <\ , est première /. *;, ''!;-,• = forment
donc une base de la famille d'unités formée des normes relatives de Imites les unités
(1) N. T. — Parce que fi esl le seul idéal invariant de *'■.
THEORIE UKS CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 200
de G. Le degré de cette famille esl donc et, par suite, toute unité de c .'> esl la
norme relative d'une unité de C. On a donc
et le théorème i58 esl encore établi dans ce cas.
S I '|S- — LA TOT M I I l' DES CLASSES d' IDÉAUX INVARIANTES.
Le théorème i38 a mis en lumière une relation remarquable qui existe entre la famille déclasses formée de tous les idéaux invariants et la famille d'unités formée parles nonnes relatives de toutes les unités de C. Il \ .1 une relation aussi importante entre la famille de classes formée de toutes les classes invariantes el une certaine famille d'unités de c(Ç).
Théorème [5g. — Soit t le nombre des idéaux premiers qui divisent le discriminant relatif du corps kummerien régulier Ç de degré relatif l; toutes les unités de c\ Q égales
à lu norme relative soit 'l'une unité de C . soit d'une fraction de C . forment une famille
d'unités : si n esl son degré, lu famille de élusses formée de toutes les élusses invariantes
esl de degré I 4- n .
Démonstration. — Donnons à m le même sens que dans le théorème 1 58. Si, en premier lieu, n — m, la famille d'unités en question coïncide avec celle du théorème [58, c'est-à-dire qu'une unité de c(Ç) égale à la norme relative d'une fraction de C est en même temps toujours égale à la norme relative d'une unité de C. Démontrons alors que, dans ce cas, la famille de classes des idéaux invariants est la famille de toutes les classes invariantes. En effet. A étant une classe invariante de C et 21 un idéal de A, nous pouvons poser 2l'-s = <i. a êtanl un certain nombre entier ou fractionnaire de C. et la. norme relative N, a) est alors évidemment égale à une unité j de c(Ç). Comme ensuite, dans le cas actuel, n = m, on peul aussi trouver dans C une unité H telle que \i|-|> = ï, on a Ne(a'H) = i. et par suite 1 théorème 90) a-'H = b1~s ou ab'-s=H. & étant un nombre convenable de C. V cause de a = 2C \ on a i3(&V s = H. c'est-à-dire que 2fb estle produit d'un idéal invariant et d'un idéal de c(Ç), et par suite on obtient la classe A en multipliant une classe contenant un idéal invariant par une classe contenant des idéaux de c(Ç). ÏS'otre assertion est donc justifiée et le degré de la famille de classes formée de toutes les
classes invariantes est alors (vu le théorème 1 58) égal a t 4- m , ce qui esl
conforme au théorème i5q, si n = m.
I). IIILBERT.
Soit, en second lieu, n=m + i ; il existe alors dans c(Ç) uue unité j. qui n'est pas égale à la norme relative d'une unité de C, mais est la norme relative d'une fraction a île C, et toute autre unité 3 de même nature sera égale à j' = j"ï;, a étant un exposant entier et y] la nonne relative d'une unité de C. Posons
^>, %V étant des idéaux premiers distincts de C, dont aucun n'est conjugué
relatif d'un autre et où G,(S), .... GP(S) sont des polynômes à coefficients entiers de degré / — 1 en S. Comme >,(a) = .3r, on a
d'où l'on déduit aisément que tous les polynômes G sont divisibles par 1 — S. Posons
el
#ïls,...^(S,= tï«,
21 étant un idéal de C et a un entier ou une fraction de c(Ç) : on a, dès lors, a = 2l's. Il en résulte d'abord que 21 détermine une classe invariante. Cette classe invariante A ne contient pas d'idéal égal au produit d'un idéal invariant par un idéal de c(Ç); en effet, on pourrait dans ce cas poser 'ît = c tî j , c étant un entier ou une traction de C, if un idéal invariant de C et j un idéal de c(Ç); on aurait alors 2l'~s = c'^'\ 1 isl-à-dirc a = Hcl->. H étant une unité de C. Il en résulterait Nc(a) = Nc(H)j= 5i contrairement à l'hypothèse sur ?.
Nous allons montrer maintenant que, dans le cas actuel n = m + 1, toute classe invariante donnée V est de la forme A' = A"L/i, où A" est une puissance de la classe A. qui vient d'être déterminée, l, une classe avec un idéal invariant et k une classe contenant des idéaux de c(Ç). Pour cela, prenons dans A' un idéal quelconque 2ï'; nous pouvons poser ensuite 21' s = a', a' étant un nombre convenable de C. Vlors \,(a')=j' est une unité de c(Ç); posons, conformément à notre hypothèse, \(a'i = j'y, , j, rt, y] ayant le sens de tout à l'heure. Soit a le nombre déjà considéré pour lequel j = Nc(a); soit, de plus, r, = Nt(H). H étant une unité de C. On tire de celle équation Via' 'a"H)=i. et alors (théorème 90) a' 'a"H = c'~s. c étant un nombre convenable de C, on en tire (tr--1îCc~,)1-s= 1. Cette égalité montre que 21' '2l'c~' devient, après multiplication par un entier convenable de c(Ç), le produil d'un idéal invariant y par un idéal j de ctç); on a donc 21' — 21" V j. Par conséquent, à cause de n = m + t. le degré de la famille de toutes les classes invariantes esl
t -\- ni -\- 1 , valeur conforme au théorème i5a.
Suit. i7* troisième liea, n — m + 2; il existe alors dans c(£), outre .. encore une unité s' égale à la norme relative d'une fraction a' de C, el cependant elle ne peul se mettre sons la forme 5' = 3-"yj, y, étant La norme relative d'une unité de C. Posons
GV(S|
(les %*' et- les G' satisfaisant aux mêmes conditions que les %* H les c plus haut) Comme Nr(a') = ,3r', on a
(0-f«(S,...-«p';:'",s,),+s+-+sM=5',
les G' doivent alors être divisibles par [ — S. Posons
et
?(' étant un idéal de C et -/ un nombre de c(Ç), on a a' = 3l'1 s. L'idéal 2t' défini! donc une classe invariante A'. Cette classe ne peut se représenter par V— A"L/.\ A" étant une puissance de la classe A, L une classe à idéal invariant et /.• une classe contenant des idéaux de c(Ç). En effet, il en résulterait, pour 31', s3l' = cît" l.j . c étant un nombre de C. L un idéal invariant el j un idéal de c('ç); mais alors on aurait Sl'|-s = c1^s2l",'->l = c1-sa", c'est-à-dire a' = Hc'-sa", H étant une unité de C. En prenant la norme relative, on aurait i\*(.(a')==.5-'== j'TvfH). ce qui est impossible.
Dans le cas actuel n = m + 2, toute unité S" de c(Ç) égale à la norme relative d'un nombre de C est de la forme j" = j'"' j"rj , a', «étant des exposants entiers et y, la norme relative d'une unité de C. Alors, par les mêmes considérations que plus liant, on montre que toute classe invariante A" peut se représenter par A'"'A"L/«\ A', A étant les classes précédemment définies, L une classe à idéal invariant, k une classe contenant des idéaux de c(Ç). Le degré de la famille de classes formée de toutes les classes
invariantes est alors l + m + 2 , ce qui est la formule du théorème 1 ■">() pour
En continuant ainsi, on démontre complètement le théorème 159.
S i4o- — Caractères d'i n xomure et d'un idéal dans us corps m \i\ieiuf.\ régi lier.
Il s'agit maintenant d'étudier la répartition des classes d'idéaux d'un corps kummerien régulier C = c{\/\>., 'l). au même point de vue que la répartition en genres des classes d'un corps quadratique. Nous désignons par l1 1, les I idéaux pre-;
miers distincts de c(Ç) qui divisent le discriminant relatif deC. A tout nombre entier
v(=|=o) de c(ç) répondent des valeurs déterminées des < symboles :
(v. ix| > v. y /
ces symboles représentent (§ i3i) des racines l'tn"s de l'unité. Ces / racines de l'unité (i3g) s'appellent les caractères du nombre v dans le corps kummerien C. Pour un idéal 3 du corps kummerien, prenons la norme relative Nc(3) = j. Suit /; le nombre de classes de c('Ç) et h* un entier positif, tel que l'on ait hh" = i, mod I ■ Alors j*''"' est un idéal principal de c('l). Soit j',','I = (v), v étant un entier de c(Ç). Soit encore ç, une unité de c(Ç). Alors si pour toute unité ;, les / symboles
ont la valeur i, nous poserons r = f et nous appellerons les r racines de l'unité
les caractères de l'idéal 3; ils sont parfaitement définis par cet idéal.
S'il existe, d'autre part, une unité ;, dans n'.'i, telle que l'un au moins des / symboles
soil différent de i, nous pouvons, sans diminuer la généralité, supposer que, par \t±\ — r
exemple,
Considérons alors toutes les unités ;„ de c(£) pour lesquelles <-^ — | = I- Soit, parmi elles, s, une unité pour laquelle l'un au moins des symboles
IvH
suit différent de t : nous pouvons admettre que, par exemple, -j — - = 1. Considérons toutes les unités :3 pour lesquelles les deux derniers caractères relatifs à lt et 1, , sont égaux à i, et voyons si elles en comprennent une e3, pour laquelle l'un au moins des / — •< symboles
soit =|=i. En continuant ainsi, nous obtenons finalement un certain nombre r*
d'unités : . ;, 1, de c(ç), telles que l'on a, en rangeant convenablement les
idéaux, f . ... \t,
(£,,. ;j./i je,..,l*j ; * ;, ■ 7- /
et que de plus, pour toute unité ; qui vérifie les r" conditipns,
les ;•=/ — r* caractères
sont aussi tous égaux à 1.
Multiplions alors le nombre v de c(Ç) déduit plus haut de l'idéal 3 par des puissances des unités s , ..., îr , de façon que le produit obtenu v vérifie les conditions
j'appelle alors les /• = / — /■* unités :
les caractères de l'idéal 3. Dans le paragraphe iôr, nous verrons que l'on a toujours ;•*</ et, par suite, r^-i.
S iôo. ■ — Caractères d'usé classe et notion de genre.
Le théorème 1 5 1 et les remarques additionnelles, paragraphe i33, conduisent à la proposition :
Théorème i(5o. — Les idéaux d'une seule et même classe d'un corps kummerien régulier ont tous les mêmes caractères
Il est ainsi possible de faire correspondre à toute classe d idéaux un système déterminé de caractères. Nous rangerons, comme au paragraphe lili pour le corps quadratique, toutes les classes ayant les mêmes- caractères, dans un genre, et nous
258 D. HILBKKÏ.
appellerons en particulier genre principal celui dont tous les caractères sont égaux à i. Comme c''esl le ras de la classe principale, celle-ci appartient donc toujours au genre principal. Les premières formules 180) et (83) conduisent facilement aux propositions suivantes : G et G' étant deux genres quelconques, si l'on multiplie chaque classe de G par chaque classe de ('•'. les produits forment encore un genre : on L'appellera le produit des genres G et G'. Les caractères en seront les produits des caractères correspondants de G et G'.
De la définition résulte que les classes conjuguées relatives SK. S'~'K d'une
classe k font partie du même genre que K, et. par suite, la ( 1 — S)'""1' puissance symbolique d'une classe K quelconque appartient au genre principal. Enfin, il est évident que tous les genres d'un corps kuimnerien contiennent le même nombre de classes.
S i5r. — Limites supériei res di degré de la famille issue de toutes
