LES CLASSES INVARIANTES
Comme pour le corps quadratique, se pose la question importante de savoir si un système arbitraire de r racines /"'"" de l'unité peut former les caractères d'un genre du corps kummerien. Cette question ne sera complètement éclaircie qu'au chapitre xxxiv. Dans ce paragraphe et le suivant nous placerons seulement quelques lemmes nécessaires pour la suite.
Lemme 33. — / et n ayant le même sens qu'au théorème i~>i| el r étant le nombre des caractères distinctifs du genre d'une classe, on a toujours
Démonstration. — Soient it sr«, les r" unités particulières de c(Q introduites
paragraphe iio- Mors on a r = l — 7-*. Soient j( r„ une base de la famille
d'unités de ci'), normes relatives de nombres de C. Supposons qu'il existe entre les /•* + /; unités et, ..., tr- , "r, 5„ une relation
les exposants a nr., Iit b étant des entiers rationnels non tous divisibles
par / el = étant une unité convenable de c(Ç); on devrait alors toujours avoir pour » = 1 , a t
el Ni l'on remarque que les unités 3 son! nonnes relatives de nombres dé C el que.
par suite, un a toujours -^ — • ! = i pour u= i, ■>, I et v= i, a n, on aurai I
Ceci n'est possible, vu 1rs formules (i4o) pour les unités .-, :, ,. que si les
exposants '/ <«,,: sont divisibles par /, el la relation (i4') prendrait alors la
forme
z' étant encore une unité de c(Ç). Mais comme 1rs 5 formenl une base d'une famille d'unités de c(ç), une telle relation n'est possible que si tous les l> sont divisibles par /. Il résulte de là que la relation supposée (i-'|i) ne peu! exister, c'est-à-dire qui' les unités ï , ..., £,.,, j, j„ forment une base de famille d'unités; le degré de cette
famille est r -f n, et comme le degré d'une famille d'unités est au plus - — . on a
r" + n <C , ce qu'il fallait démontrer. Comme on a t + n— 0, il en
résulte qu'on a toujours /• <^l, donc r^\.
S iÔ2. — Complexes d'un corps kummerien-régi lier.
Soit /; le nombre des classes d'idéaux du corps circulaire régulier c(Ç); il existe alors dans le corps kummerien C = c(vV> t) exactement h classes d'idéaux distinctes, contenant des idéaux de c(£). En effet, toute classe de c(Ç) donne évidemment une classe de R de cette espèce, et si deux classes distinctes kt . A\, de ci Ç) contenaienl
des idéaux équivalents dans C, un idéal j de c(Ç) dans la classe j1 devrait toujours
devenir principal dans C. Mais alors, d'après le théorème [53, j serait aussi principal dans c[t), contrairement à l'hypothèse l,\ -\~ kt.
K étant alors une classe quelconque de C et /<■,, — /.„ les h classes de C contenanl des idéaux de cÇÇ), j'appellerai l'ensemble des h classes kJL, .... kltK un complexe. Le complexe kt, .... k„ sera le complexe principal et se représentera par 1. Les h classes d'un complexe quelconque P font évidemment partie du même genre; ce genre s'appellera le genre du complexe P.
Si une classe d'un complexe P est invariante, il en est de même des autres; le complexe sera dit invariant.
P et P' étant deux complexes quelconques, les produits d'une classe quelconque de l'un par une classe quelconque de l'autre forment encore un complexe : ce sera le produit PP' des complexes P et P'.
K étant une classe du complexe l\ le complexe auquel appartient SR sera SI'; j'appellerai le complexe Q, donl le produit par SP donne le complexe I', /</ 1 1 — Si"""' puissance symbolique <lu complexe P, Q = P'-s.
Si P'^N=i (complexe principal), P est un complexe invariant. En cITet, K étant une classe de P. P's=i entraîne évidemment K.1-s=/,\ k étant une des classes
k le.. En prenant la norme relative, on obtient i = fc'. et comme d'ailleurs
/,•''— i, il en résulte k== i. c'est-à-dire k'~s= i : Kest une classe invariante et P un complexe invariant .
» [53. — Limites sipérieures ni nombre nr.s genres d'un corps kummerien régulier.
Lemme .'i'|. — / et n ayant le sens du théorème i5(|, g étant le nombre des genres du corps kummerien régulier C, on a toujours
Démonstration. — '/ étant le nombre des genres du corps kummerien. les complexes se répartissent aussi en fj genres. Si l'on désigne par/ le nombre des complexes du genre principal, on a donc pour le nombre total M des complexes, M = /''/.
Cherchons maintenant le nombre a des complexes invariants. Pour cela, observons que. d'après le théorème [5c), le degré de la famille issue de toutes les classes
invariantes est égal à I + n . Soit A, A, n i±i une base de cette famille:
l'expression
représente alors, lorsque les exposants prennent séparément toutes les valeurs o.
i /— i, des classes toutes invariantes, taisant partie de complexes distincts, et
par suite ces classes forment /'+"~"t- complexes. Toute classe invariante A est de la forme
tti+n
le. a étanl des entiers rationnels et k une classe de c(Ç). En nous rappelant abus que les /'••'"•- puissances des classes invariantes V, A,f„Lil sont des classes contenant des idéaux de c(Ç)> il en résulte que \ appartient nécessairement à l'un des / ' t" complexes précédemment déterminés; le nombre cherche a = l'+1 * ■
Les définitions des paragraphes lâoet i5à montrent de suite que la i i — S )"'""' puis sauce symbolique d'un complexe quelconque est un complexe du genre principal.
THÉORIE DÈS COUPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. at'tl
Envisageons les complexes du genre principal qui sonl des (1 Si1 puissances
symboliques de complexes; soit /' leur i ibre el soient P, ■<;', s P/, = G/~
ces complexes. P étant alors un complexe quelconque, I" 5 esl nécessairemenl l'un
des /' complexes P( I',.; snii Pl> = Pi. Alors on a P1 G| . c'est-à-dire
(PG,. ) = i , el par snile |M;,. esl un complexe invarianl \ : on a P= \ ( r, . el par suite l'expression \(l; embrasse i < n i -- le> complexes, si l'on prend pour \ imis les
complexes invarianl s et pour Gt, les/' complexes (1, (!,-. Il esl aussi évidenl que
celle représentai ii m esl unique; le nombre de l"iis les complexes esl donc M =af. On a donc af = gf, et comme on a /" -J. /', il en résulte g -^ a , c'est-à-dire
ce qui démontre le lemme .'i
Lemme 35. — Les lemmes 33 el .">'i conduisent île suite au suivant; r étanl le nombre des caractères distinclifs du genre d'une classe, le nombre des genres g esl
