COMPLÉMENTAIRES

Les théories développées jusqu'ici nous permettent de démontrer certaines luis fondamentales sur les résidus de puissances /";'"fi dans un corps circulaire régulier; elles correspondent aux lois de réciprocité des resles quadratiques dans li domaine

des nombres rationnels, et la loi de réciprocité d'Eisenstein (théorème i'io, S n5) entre un nombre quelconque de c(Ç) el un nombre rationnel en esl un cas particulier. Pour donner à ces lois leur expression la plus simple, généralisons le symbole j— défini aux paragraphes i [3 el 127.

Soit li le nombre des classes d'idéaux de c(l): déterminons un entier positif h' tel que l'on ait hh*= 1. mod /. y désignant alors un idéal premier quelconque de c(Ç), différent de (, y'1'' esl toujours un idéal principal de c(ï); pus,, us pà/i 1{-K - étant un entier de c(Ç), el supposons, ce qui esl possible d'après le théorème 1.17. que r. soit primaire. Un tel nombre - s'appellera un nombre primaire </<■ y. Toute unité

primaire de c(Ç) étant la /""'" puissance d'une unité de c'(ç) (remarque du $ i .'»:<>, - possède vis-à.-vis de tout idéal premier autre que p un caractère de puissance complètement déterminé; q étant alors un idéal premier quelconque de c(Ç) antre que 1

I p / et v- "u définira Le symbole - parla formule

\P/ = jç]

Ce symbole est donc une racine /"""déterminée de l'unité, définie par les deux idéaux premiers p et q. En utilisant ce symbole, nous énoncerons le théorème

Théorème i6r. — pc/q étantdeux idéaux premiers distincts, autres que l . du corps circulaire régulier c(ç), on a

relation appelée loi de réciprocité des restes de /'"'"e" puissances. De plus, si '- est une unité quelconque de c(Ç) et s <f« nombre primaire de p . o/i '/

/pi I 1 )"' / p \ il)'

relations appelées lois complémentaires de la loi de réciprocité. [Kummer '"■ '-'• lv "> -''■ ". ] Nous d3montrerons progressivement ce théorème' fondamental dans les paragraphes suivants (SS i55-i6i), en appliquant à des corps kuinmeriens réguliers particuliers les théorèmes et lenimes du précédent chapitre.

S [55. — [DÉ Al X PREMIERS DE PREMIÈRE ET DE SECONDE ESPÈCE DANS IX COUPS