La norme ii'vy idéal et ses propriétés

La théorie exposée au chapitre II sur la décomposition des idéaux en facteurs npus permet d'étendre la théorie des nombres rationnels aux nombres d'un corps algébrique.

Nous exposerons d'abord les notions et les théorèmes suivants :

Le nombre des entiers incongrus l'un à l'autre suivant l'idéal a d'un corps k est dit la norme de l'idéal a; il s'écrit n(tt).

Théorème 17. — La norme de l'idéal premier p est une puissance du nombre rationnel p divisible par p.

Démonstration. — Soient les /nombres entiers o>^, ..., w^ d'une base du corps k indépendants l'un de l'autre, en ce sens qu'entre ces nombres il n'existe aucune congruence de la forme

où Oj a^ sont des entiers rationnels non tous divisibles par p, et supposons de

plus que chacun des m — / autres nombres de la base soit congru à une expression

^ . de la forme

^it^i+ ••• +^f^f

suivant le module p ; cette expression pourra être congrue suivant :() à un nombre quelconque, et le nombre des nombres incongrus suivant p sera p^\/est dit le degré de l'idéal premier p. '

Théorème i8. — La norme du produit aB de deux idéaux est égal au produit de

leurs normes.

a Démonstration. — Soit a un nombre divisible par a tel que - soit un idéal premier

avec h. Si l parcourt un système de n(a) nombres incongrus suivant a, et vj un système de n(h) nombres incongrus suivant b , le nombre aY) 4- $ représentera un système complet de nombres incongrus suivant ab; un pareil système comprend n(a) n(1>) nombres.

Théorème 19. — Lorsque

'm=«miWi+----fa«,„w„

représente une base de l'idéal a, la norme n(a) est égale à la vs^eur absolue du déterminant des coefficients a.

Démonstration. — Mettons la' base de l'idéal sous la forme trouvée dans la démonstration du théorème 6, où tous les coefficients a^, sont = o pour s > r, le déterminant des coefficients est alors

il M mm

D'autre part, l'expression

11' ' M ffl

où

représente un système complet de nombres incongrus à a, ce qui démontre le théorème 19. De plus, on voit que la réciproque est vraie. Les rapports de ce qui précède avec la théorie des formes de Kronecker résultent du

Théorème ao. — Soit F une forme qui a pour contenu a, la norme de la forme F est égale à la norme de l'idéal a, c'est-à-dire n(F) = n(a). En particulier, la norme d'un entier a est égale à la valeur absolue de la norme de l'idéal principal a = (a).

Démonstration. — Soient i^, ..., i^ une base de l'idéal a; construisons une forme F

alors

où /,,, ... , l^^ sont les formes linéaires des u^, ... , u„ à coefficients entiers et rationnels. Nous démontrerons tout d'abord que le déterminant [Z„] des formes l^^, ..., /^^ est une forme unité rationnelle.

En effet, car si au contraire tous les coefïicients du déterminant [/^J étaient divisibles par un nombre premier p, il exciterait au moins m formes L,, ... , L„, dont les coefficients sont des entiers rationnels, non tous divisibles par/}, et tels que .

LJ,, + ...+LJ^,=o

11 en résulterait

(L.(o,+ ... + L„.o)JF = o, (pa)

c'est-à-dire que le produit la serait divisible par pa où t désigne le contenu de la forme L,<o, 4- ••• + L^w^, et par suite I serait divisible par p, ce qui n'est pas possible, car un nombre de la forme a,w, -|- ••• 4- a^'»)„, où a^, ... , a„ sont des entiers rationnels ne peut être divisible par p que si tous les coefficients a^, ... , a,„ le sont. D'après le théorème de la multiplication des déterminants

et en divisant par le facteur

> il

im-l)

on a la relation

FF'... F"'-'^n(a), n(F)=n(a).

La deuxième partie dil théorème est évidente pour F = a.

Si l'on applique à tous les nombres a,, a,, ... de l'idéal a la substitution /'= (6 : 6'), l'idéal a' qui résulte de l'idéal a par la substitution t' , a = (f'a,, <'a, ...), s'appelle l'idéal conjugué de a.

Si l'on considère le corps composé de k, k' A:'""'*, les théorèmes i8 et 20 nous

apprennent que le produit de a et de tous les idéaux conjugués à a est égal à un nombre entier rationnel «(a).

De là découle une nouvelle définition de la norme d'un idéal a qui correspond à la définition de la norme d'un nombre entier et qui est susceptible d'une importante généralisation. (Voir S i4-)

Théorème 21. — Dans tout idéal j il existe deux nombres dont les normes ont pour plus grand diviseur la norme de i.

Démonstration. — Soit a = n(i) et soit a un nombre de î tel que - soit premier

avec a. Alors si a', ... , a*""* sont les nombres conjugués de a et j|', ..., j*""* les idéaux

conjugues de ), -n ..., -tshiî et par suite -Tr:= seront premiers avec a, c est-a-dire

que

S 8. — Le théorème de fermât dans la théorie des idéaux et la fonction <f(«).

En s'appuyant sur les mêmes conclusions que dans la théorie des nombres rationnels, on obtient le fait suivant correspondant au théorème de Fermât. [Dedekind^]

Théorème 32. — Si ip est un idéal premier de degré/, tout nombre entier u> du corps satisfait à la congruence

(0*^=0,, ip).

Le théorème de Fermât généralisé se transporte aussi facilement dans la théorie des corps. On démontre sans peine les théorèmes suivants. [Dedekind*.]

Théorème 23. — Le nombre des nombres incongrus suivant l'idéal a et premier avec a est

où p^, p^, ...,p^ sont les idéaux premiers différents qui divisent a. On a pour le nombre a les formules

bien entendu si a et B sont premiers entre eux :

- 2cp(t)=-/i(a); '

dans cette dernière formule la sommation s'étend à tous les idéaux t diviseurs de a.

Théorème 24. — Chaque nombre entier w premier avec un idéal a satisfait à la congruence

o)ïW = i (a).

Ainsi chaque nombre entier qui n'est pas divisible par un idéal premier de degré/ satisfait à

On a de plus les faits suivants :

a 4 D. HILBERT.

Théorème 35. — Si a,, ..., a^ sont des idéaux premiers entre eux deux à deux et si a,, ..., «^ sont des entiers quelconques, il y a toujours un nombre entier w satisfaisant aux congruences

Théorème 26. — Une congruence de degré r suivant l'idéa} ^ de la forme

aa;''+a,ic'"-'+... +a^=o (p)

où a, a,, .... «,. sont des nombres entiers, admet au plus r racines incongrues d'après p.

Théorème 27. — Soit p un idéal premier diviseur du nombre premier rationnel p et soit a une racine de la congruence

aoî^-f a. a;''"* +...+«,. = 0 (p)

où a, a,, ..., a^ sont des nombres entiers rationnels, a" est aussi racine de cette congruence.

Démonstration. — Désignons le premier membre de la congruence par Fx; on a, d'après le théorème de Fermât, la congruence identique en ar ,

F(xr)=[¥(x)y suivant p, ce qui implique le théorème.

S 9. — Les nombres primitifs suivant un idéal premier.

Un nombre entier p du corps k est dit un nombre primitif suivant l'idéal premier f> si les // — I premières puissances de ce nombre représentent p'' — i nombres incongrus suivant p premiers avec p. En procédant comme pour les nombres rationnels, on arrive facilement à démontrer les faits suivants.

Théorème 28. — Il y a <^(p'' — i) nombres primitifs pour l'idéal premier p où <^(p'' — i) désigne le nombre des restes rationnels incongrus suivant p'' — i et premiers avecp'' — I.

On n'a pas encore développé une théorie des nombres primitifs pour les puissances d'un idéal premier p; mais on reconnaît sans peine les résultats 'suivants. [Dedekind«.]

Théorème 29. — Soit p un idéal premier quelconque du corps k, on peut toujours trouver d^ns k un nombre p tel que tout autre nombre du corps soit congru à une certaine fonction de p à coefficients entiers rationnels suivant une puissance p^ de l'idéal premier p, quel que soit /.

Démonstration. — Soit p* un nombre primitif quelconque de p, il est évident que tous les nombres entiers sont congrus à certaines fonctions à coefficients entiers de p* suivant p. Soit

la congruence de degré la moins élevée à laquelle satisfait p*.

Si le degré de la fonction P =/', aucune expression de la forme

à coefficients entiers a,, o^, ... ," a^' ne peut être congrue à o d'après (:|>); à moins que

tous ses coefficients a^, a^, ..., a^' ne*"soient congrus à o d'après p. Comme, d'autre

part, tout nombre entier du corps est une expression de cette forme, il en résulte /'=/.

Dans le cas où P(p*) ^ o suivant p*, on posera p ^ p* + tc, où tc est divisible par p

et non par p*. On a alors à cause de ^ ;|i o, suivant p nécessairement,

P(p) = P(p* + ^) = P(prr,C^^E|EO. (p).

p est un nombre ayant la propriété demandée, car si a,, a,, ..., a^ parcourent toutes les expressions de la forme a^ ^ a,p -f ••• + a^^~\ où a,, a,, ..., a^ sont des nombres de la suite o, i, ..., p — i, la somme a, + a,P(p) -|- ... + »e[P(p)]'~' représente des nombres incongrus par rapport à p^, et comme il y a ici p^^ nombres, on a épuisé les restes incongrus d'après p'.

11 est évident que tout nombre congru à p suivant p* possède la même prolpriété.

Nous utiliserons cette dernière circonstance pour représenter un idéal p:

Théorème 3o. — Étant donné un idéal p de degré/, il y a toujours dans le corps /c un nombre p entier satisfaisant au théorème 29 et de plus tel que

où P(p) est une fonction entière de degré /de p à coefficients rationnels et entiers.

Démonstration. — Soit p = p^a où l'idéal a n'est pas divisible par p. De plus, soit a un nombre entier non divisible par p mais divisible par a. D'après le théorème a4, çipf[pf-i) ^ I suivant j)V Remplaçons le nombre p trouvé tout à l'heure par p*p'^<p''-'); le nombre p conserve sa propriété précédente; comme de plus le dernier coefficient de P(p) n'est pas divisible par/), pour le nouveau nombre p P(p) est premier avec a, de sorte que