CHAPITRE IV

Le discriminant du corps et ses diviseurs.

S lo. — Le théorème relatif aux diviseurs du discriminant du corps. Théorèmes auxiliaires pour les fonctions entières.

Le discriminant du corps k est défini par

où u), , (1),, ..., u),„ est une base du corps; le discriminant est un nombre entier rationnel. La recherche des diviseurs idéaux de rf a une importance fondamentale dans le développement de la théorie des corps. On a le théorème fondamental suivant :

Théorème 3i. — Le discriminant d du corps contient comme facteurs premiers rationnels tous les nombres premiers rationnels divisibles par le carré d'un idéal premier et ne contient que ceux-là.

La démonstration de ce théorème présentait de sérieuses difficultés, Dedekind parvint à les surmonter pour la première fois. [Dedekind '.]

Hensel a donné une deuxième démonstration de ce théorème qui complète sur un point important la théorie de Kronecker relative aux nombres algébriques. La démonstration de Hensel repose sur les concepts suivants créés par Kronecker. [Kronecker'*, Hensel*.]

Soient u,, ..., u,„ des indéterminées et w^, ... , w^ une base, la forme

ç = (oU+...-l-a) u.

est dite \di forme fondamentale du corps k; elle satisfait à l'équation en x,

(a? — w.M. - . . . — w„ u J(aj — w; u, — . . . — w;,, u J . . . (a; — w'f-*' a, — . . . — wî^-'' M J => o,

qu'on peut écrire

ce'" + U^rc"*-* + U.a;'"-' + . . . + U„, == o

où U,, ..., U,„ sont des fonctions de u,, ..., u^ à coefficients entiers et rationnels. Cette équation de degré m est dite \' équation fondamentale. Pour pouvoir opérer avec

les concepts que l'on vient de définir, il est nécessaire d'étendre les théorèmes sur la décomposition des fonctions entières d'une variable x suivant un nombre rationnel premier p [Serret*] au ca« plus général où les fonctions entières contiennent en plus de la' variable x les m paramètres indéterminés «,, u,, ... , u^.

Dans ce qui suit, nous entendrons toujours par fonction à coefficients entiers une fonction rationnelle entière de la variable et des indéterminées dont les coefficients sont des nombres entiers rationnels. De plus, nous dirons qu'une fonction entière Z(x; u,, ..., u„) est divisible suivant p par une autre fonction entière X, s'il existe une troisième fonction entière Y, telle que la congruence

Z = XY (p)

ait lieu identiquement par rapport aux variables a?, u,, ... , w^.

Lorsqu'une fonction entière à coefficients entiers n'est divisible suivant le module p que par des fonctions congrues à un nombre rationnel ou à la fonction P elle-même, suivant p, nous dirons que la fonction P est irréductible suivant le module p, ou encore qu'elle est première suivant le module p (Primfunction).

Les théorèmes relatifs à la divisibilité se démontrent comme dans la théorie des fonctions d'une seule variable; nous ferons remarquer en particulier le théorème suivant que l'on démontre facilement par la récurrence enclidienne.

Théorème Sa. — Lorsque deux fonctions entières à coefficients entiers X et Y de X, u,, ... , u„ n'ont pas de diviseur commun suivant le module p, il existe une fonction U entière à coefficients entiers de u^, .... u„ seulement non congrue à o suivant p, telle que

U = AX + BY (p),

où A et B sont des fonctions convenablement calculées de ic, u^, ^j,, ..., «„,.

Notre but est de décomposer le premier nrembre F de l'équation fondamentale en fonctions irréductibles suivant le. module p. Nous démontrerons tout d'abord les lemmes suivants :

Lemme 3. — Soit p un idéal premier diviseur de p et de degré/; on peut toujours construire une fonction ll(x; a,, u,, ..., u^) de degré/ en x irréductible suivant p et qui, lorsqu'on y remplace x par la forme fondamentale Ç, a les propriétés suivantes : les coefficients des puissances et produits des u^, w,, ... , u^ dans cette fonction sont tous divisibles par p et ne le sont pas par p*, et ils ne sont pas tous divisibles par un idéal premier différent de p et diviseur de p.

Démonstration. — Soit p = p'a, a n'étant plus divisible par p. De plus, soit p une racine primitive de p qui a les propriétés indiquées par les théorèmes 29 et 3o, et sok P(p) une fonction déterminée comme il a été dit, elle est entière à coefficients entiers de degré /, elle appartient à p et telle que p = (p, P(p)).

P(a;) est irréductible suivant p, sans quoi p satisferait à une congruence suivant p de degré inférieur à/. Posons

OÙ Oj a„, sont des entiers rationnels, et nous admettrons que le coefficient de

p^ dans P(p) est = I . Comme on a

d'après le théorème 27, on a aussi

P(p^) = o, P(p''*) = o. ..., P(pP^-') = o (p),

c'est-à-dire que la congruence P(a;) ^ o (p) admet les/ racines incongrues

Pf p . • ••> p et on a identiquement

c'est-à-dire que les fonctions symétriques élémentaires de p, p^, ..., p**^"' sont congrues suivant p à certains nombres entiers rationnels.

Comme tout nombre entier du corps k est congru suivant p à une fonction entière à coefficients entiers de p, nous pouvons poser

Ç = L(p: u.,...;uj

suivant p, L fonction à coefficients entiers de p, u,, u, «„.

D'après ce qu'on vient de lire, l'expression

[£C — L(p; u,, ...,uJ][x — L(f; u,. . . . , u J] ... [x — Up"^-' ; u^,...,uj]

est congrue suivant p à une fonction entière à coefficients entiers de x, u^, m,,...., m„; nous la mettrons sous la forme

n(a;; u,. . . . , uj = a;''-f V.x^-* 4- . . . + V^

où V^, .... V^ sont des fonctions entières à coefficients entiers de u^, u,, .... u„. Il est évident que ^ mis à la place de x satisfait à

n(x;u,....,uJ = o (p).

Comme la fonction II(aî; u^, ... , u„) ^ P{x) suivant p, il en résulte que

p = {p,n(p;u^,...,uj)

et que par suite les coefficients des puissances et produits de u,, .... u^ dans

U{1; Uj u„) ne sont pas tous divisibles par p* et pas tous par un idéal premier

différent de p et contenu dans a.

Lemme II. — Toute fonction entière ^(x; u^, ..., m,„) à coeflicients entiers qui est identiquement congrue à o (p) lorsqu'on remplace x par la forme fondamentale l est divisible suivant p par la fonction ï\(x; u,, ,.., u^).

Démonstratioii. — Dans le cas contraire, <ï> et H n'aurait pas de diviseur commun suivant p, et d'après le théorème 82 il y aurait une fonction U à coefficients entiers des suites variables u^. u,, ..., u„, non congrue à zéro suivant/), telle que

U^A^ + BFI suivant J>,

A et B étant des fonctions à coefficients entiers de x, u^, u^, ... , u^. D'après cela, en remplaçant x par l, on aurait U ^ o suivant |> et par suite suivant/), ce qui est contraire à l'hypothèse.

Lemme 5. — Si <î> est une fonction à coeflicients entiers de x, u^, .... u^ qui devient identiquement congrue à o suivant p* pour x = l, ^ est divisible suivant p par n*.

Démonstration. — Posons $ ^ n*'B' suivant ^) ou e'<;e et F une fonction à coefficients entiers de x, u,, u,, ..., u,„ qui n'est plus divisible par n suivant p; il en résulte que tous les coefficients des puissances et produits de «, u^ dans

jn(^;u,.....uj|«'Fe,;u., ...,a„,

sont divisibles par p". Ordonnons n(^; u,, ..., u„) F(S; u^, ..., u„,) par rapport aux puissances décroissantes de a, et les coefficients des puissances de u^ par rapport aux puissances décroissantes de a, et ainsi de suite. Soit % le premier coefficient dans 11 qui n'est pas divisible par p* et en même temps par x le premier coefficient de F qui n'est pas divisible par p, on aurait T/y. ^ o suivant p', ce qui n'est pas possible ; c'est-à-dire que tous les coefficients de F sont divisibles par p, et il en résulte d'après le lemme précédent que F(£c;«,, ... , u^) est encore divisible par U(x; a,, ... , u^) suivant p. Ce qui est contraire à l'hypothèse.

S II. — La décomposition du premier membre de l'équatiom fondamentale. Le discriminant de l'équation fondamentale.

- Des lemmes 3, 4 et 5, nous tirions :

Théorème 33. — Si p décomposé en idéaux premiers donne p = p"p''''..., on a, pour le premier nombre de l'équation fondamentale au sens de la congruence suivant p,

3o D. HILBERTi

OÙ n, n' représentent certaines fonctions irréductibles suivant p de x: w,. «,, ... , u^; de plus, on peut poser

oit G est une fonction entière à coefficients entiers contenant les variables x; u,. H,, ,.., u„, et qui n'est divisiî)le suivant p par aucune des fonctibfas irréductibles D, n',..

Théorème 34- — La congruence;de degré m résultant de l'équation fondamentale

F(a:;u,. ...,.uJ = o (p)

est la congruence de degré le moins élevée suivant p à laquelle satisfait la forme fondamentale l mise à la place de a;.

Démonstration. — Soit «^ une fonction entière à coefficients entiers de x, u,, u,, ..., u^ telle que l satisfasse à ^(x)^o suivant p, Ç étant la forme fondamentale. De plus, soient p,p' ... les idéaux qui divisent p de degrés respectifs f,J'... Si l'on forme la norme, on a p" =f/e+f't'+-^ c'est-à-dire m =/e +/V + • ••

De plus, soient n, W ... les fonctions irréductibles relatives aux idéaux p, p' ... qui ont été employées dans les lemmes précédentes. Du lemme (5) nous pouvons conclure que

* = nMV'... V (p)

où W est une fonction entière. Comme II, 0' sont de degrés/,/' ... en a;, il en résulte que $ est au moins de degré m, et cette circonstance nous donne, en prenant pour ^ le premier membre F de l'équation fondamentale, la première partie du théorème 33 et le théorème 34.

Si enfin G(a;) était divisible par n(x) suivant p, l mis à la place de x satisferait à G(x)^o(p) et par suite l satisferait à la congruence U\x) tl''''(x) ...^ o suivant f»*^*, ce qui n"<est pas possible d'après le lemme (5), ce qui démontre la deuxième partie du théorème 33.

Les faits que nous venons d'établir entraînent une suite d'importants théorèmes relaitifs aux discriminants.

Théorème 35. — Le plus grand facteur numérique du discriminant dé l'équa^on fondamentale est égal au discriminant du corps.

Démonstration. — Posons

OÙ des Vf^ sont des fonctions entières à coefficients entiers de u^, ..., u^. Si le déterminant U de ces m* fonctions était une fonction dont tous lès coefficients sont divisibles par p (nombre premier), il existerait V, V^ fonctions entières à coefficients

entiers de u^, ..., u„ non congrues entre elles suivant p et telles que l'on ait identiquement en u,, ..., u„ :