RELATIF AUX DIVISEURS DU DISCRIMINANT DU CORPS

Le théorème 35 permet la décomposition du discriminant d du corps en certains facteurs idéaux. Les m — i idéaux

... (là^ — iùl).

tC— )=((o,^,,(.-1)), ..., (^^^(.-1,))

seront dits les m — i éléments du corps k. Ce sont des idéaux qui, en général, ne font pas partie du corps k; mais le produit t = t't'' ... e*"*"*' est un idéal du corps k. On expliquera plus loin comment certains idéaux d'un corps k peuvent être conçus aussi comme idéaux d'un corps plus élevé, car, si nous considérons que les éléments c' ... , c*"*""*' sont les contenus des formes Ç — Ç', ... , l — 5*."'"**, nous reconnaissons, d'après le théorème i3, que l'idéal b est le contenu de la différente de la forme fondamentale, c'est-à-dire de

qui est, elle, une forme du corps k. Nous dirons que > est la différente du corps (^). La norme de cet idéal est égal au plus grand facteur numérique du discriminant de la forme fondamentale, et, comme ce dernier est égal à d, on en conclut le théorème.

Théorème 87. — La norme de la différente d'un corps est égale au discriminant du corps.

De la congruence

il résulte de plus que la différente est toujours divisible par p'~^ et qu'elle ne contient pas de puissance plus élevée de p, dès que l'exposant e est premier avec/). En passant à la norme, on voit que le discriminant d'un corps est toujours divisible par ^/^(!-l) + /'(*'-l) + ..^ gj qyg jg pJ^g jj ^q contient pas p à une puissance plus élevée, si tous les exposants e, e', ... sont premiers avecp; ceci démontre le théorème fondamental annoncé dès le début du paragraphe 10.

S i3. — La formatiois des idéaux premiers. — Le diviseur numérique entier