DE LA FORME UNITÉ U

Le calcul effectif des idéaux premiers qui divisent un nombre premier rationnel ;> peut être effectué d'après le paragraphe 33 en décomposant le premier nombre de l'équation fondamentale. Il est bon cependant de savoir dans quelles circonstances il est permis de donner aux paramètres «,, u,, ..., u^ des valeurs particulières. C'est dans ce but que nous ferons les considérations suivantes.

On obtient les discriminants de tous les nombres entiers du corps en donnant dans \]*d à m, u„, toutes les valeurs entières et rationnelles. Il n'est pas nécessaire

(1) D'après Dedekind, L'idéal Jondamental « das Grundideal ».

que le plus grand commun diviseur de ces discriminants soit d, car il peut très bien" se présenter le cas où la forme unité prend pour tous les nombres entiers de a,, ..., u^ une suite de valeurs ayant un diviseur entier rj-i. C'est cela qui met en pleine lumière l'usage des indéterminées u,, .... «„,.

On trouve facilement une condition nécessaire et suffisante pour que le nombre premier rationnel p soit un diviseur entier de U; cette condition consiste en ce que U peut se mettre sous la forme

où V, Vj.V^ sont des fonctions entières à coefficients entiers de «,, ..., u . [Hensel *' »' «.1

Si donc il est possible de donner aux indéterminées u,, u^ des valeurs numériques

entières rationnelles a, a, a,„ telles que la forme unité devienne un nombre non

divisible par p, lorsqu'on voudra décomposer p on pourra particulariser l'équation fondamentale en ce sens que la forme \ pourra être remplacée par a = 0^(0, + ...

+ a„,u)„, Et, en effet, sous les hypothèses que l'on a faites, et comme cela résulte

du théorème 36, tout nombre entier w du corps est congru à une certaine fonction de a suivant p, et c'est pourquoi une fonction entière à coefficients entiers de degré inférieur à m en a n'est jamais divisible par p si tous ses coefficients ne le sont. Désignons les fonctions de la seule variable x résultant des fonctions ll(x; u,, .... u^,), ir(a;; «,, ..., uj, ... par la substitution u, = 0,, .... u^ = a^\ désignons-les par P(£c), V{x), ..., nous reconnaîtrons que ces fonctions, au sens de la congruence d'après p, sont des fonctions premières différentes les unes des autres et que

Et, en effet, si après avoir enlevé le facteur p, P(a) contenait encore un facteur contenu dans p soit p', on aurait

•iP(a)!'jP'(a)f-'lP'(x)f ..., (p)

ce qui, d'après la remarque précédente, n'est pçs possible, car nous avons là une congruence de degré inférieur à m en a.

Réciproquement on a le fait suivant : Si dans un corps on a p = p'p''' ... où p, p' ... sont des idéaux premiers différents de degrés /,/*,... et si à chacun de ces idéaux on peut faire correspondre une fonction entière à coefficients entiers V(x), P'(x), ... de la seule variable x de degrés /, /', ... irréductibles suivant p et toutes différentes, on peut toujours trouver un nombre a = 0^(0, + ... +a„,o)^ tel que la valeur de U correspondante 'ne soit pas divisible par p.

La non-existence de fonctions premières P(a;), P'(ic), ... dans le sens de la congruence suivant le nombre rationnel p, forme donc une nouvelle condition nécessaire et suffisante pour que p soit diviseur entier de U. [Dedekind*.]

Chacune des deux conditions trouvées dans ce paragraphe, et qui sont essentiellement différentes, peut servir au calcul d'exemples numériques pour des corps algébriques, dans laquelle les U contiennent des facteurs numériques entiers r|r i et répondant à la question. [Dedekind*, Kronecker", Hensel'- ^' ".]

Il faut cependant remarquer que la forme U perd là propriété de contenir des diviseurs entiers, si l'on y fait prendre à u^, ..., u,,^ les valeurs des nombres algébriques entiers d'un corps choisis de telle sorte que tous les nombres ainsi représentés par U aient pour plus grand commun diviseur i.