CHAPITRE V

Le corps relatif.

S i/i. — La korme relative, la différente relative et le discriminant relatif.

Les concepts c^e norme, de différente et de discriminant sont susceptibles d'une généralisation importante.

Si K est un corps de degré M, qui contient tous les nombres du corps k de degré m, k est dit un sous corps de K. Le corps K.est dit le sur-corps ou le corps relatif par rapport à k. Soit 0 un nombre déterminant K. Parmi les équations en nombre inûni à coefiicients algébriques situés dans k auxquelles satisfait 0. soit l'équation de degré r (3) ©"--f a,0'-+...+a,.= o

celle de degré le moins élevé; a,, ..., a^ sont alors des nombres déterminés de k; r s'appelle le degré relatif du corps K par rapport à k, et on a M = rm. L'équation (3) est irréductible dans le domaine de rationalité k. Si 0', ..., 0*'^"'' sont les r — i autres racines de l'équation (3), on dit que les r — i nombres algébriques sont les nombres relativement conjugués à 0, et les corps déterminés par 0', ..., 0*'""*', K'K", ..., K**""'' sont dits les corps relativement conjugués à K. Soit A un nombre quelconque du corps K et

où Y,, y^, .... y^ sont des nombres dans k, les nombres ^

sont dits issus de A par les substitutions T'=(0:0') T ''■~''^(0:0''~''), ou encore

les nombres relativement conjugués à A. Si l'on applique la substitution T' à tous les nombres d'un idéal 3, on obtient un idéal 3' qui est l'idéal issu de 3 par la substitution T' ou l'idéal relativement conjugué à 3.

Soient a,, ..., a^ des nombres quelconques dans k et soit j = (a,, .... aj l'idéal

que ces nombres déterminent dans A:, ces mêmes nombres déterminent un idéal

3 = (a, , ... , aj dans K. Cet idéal 3 ne doit pas être considéré comme différent de j.

. Le théorème qui va suivre nous permet de considérer (a\, .... a^) à la fois comme

un idéal dans k et dans K. •

Si a,, a,, .... a, et a°, .... a° sont des entiers dans k tels que dans K les idéaux

3 = (a,, ..., aj, 3* = (a°. ..., a°) coïncident, dans k les deux idéaux i = (x, xj,

jj = (a°, ..., a°) coïncident aussi. En effet; par suite de l'hypothèse, si a" est un des nombres a°, .... a°, on a a" = A,aj + ... -|- A^a^, où A,, ..., A, sont certains nombres entiers dans K. Si nous formons la norme relative de chacune de ces deux expressions, nous reconnaissons que, dans k, a"*^ doit être divisible par j*"; par suite, dans k, x" est divisible par j et par suite aussi j" est divisible par j. Comme, d'autre part, on peut démontrer la réciproque, il faut que dans ce cas j = j".

Au contraire, un idéal 3 = (A,, .... A, du corps K ne sera un idéal j du corps Ar que si 3 est diviseur commun de certains nombres a,, ... , a^ du corps k.

Le produit d'un nombre A par tous ses conjugués relatifs