D,{\) = (A — AT(A — A7 . . . (A"-" — A

est de discriminant relatif du nombre A. Ce discriminant est égal au signe près à la norme relative de la différente relative de A; car on a

Si Q^ Qj, sont les M nombres de la base du corps K, l'idéal que l'on obtient

en faisant le produit des r — i éléments

c'est-à-dire

-Jr-i)

est la différente relative du corps K par rapport à Ar. Si l'on désigne par

la forme fondamentale de K, la différente relative de S est

Les coefficients de cette. forme sont des nombres du corps K, et comme d'après le théorème i3 leur plus grand commun diviseur est la différente^relative 1^^, ©^ est un idéal du corps K.

Le carré du plus grand commun diviseur de tous les déterminants à r lignes de la matrice

Li^ , Lig > • • • » lin

or",. Qr". .... Qij-^»

s'appelle le discriminant relatif D^ du corps K relatif à k; ce discriminant, on le voit facilement, est un idéal du corps Ar.

S i5. — Propriétés de la différente relative et du discriminant relatif d'un corps.

Pour les concepts que l'on vient de définir, on a les théorèmes suivants [Hilbert^] :

Théorème 38. — Le discriminant relatif du corps K par rapport au sous-corps A: est égal à la norme relative de la différente relative de K. c'est-à-dire

Démonstration. — La norme relative de la différente relative de la forme fonda-

mentale 2 est

D'autre part, le carré du déterminant est une forme du corps K dont le contenu est égal au discriminant relatif D^. Car si nous exprimons les termes de ce déterminant en fonction linéaire de Q,, .... Q^ et de leurs conjugués dans le corps K, où les coefficients de ces expressions sont des fonctions entières à coefficients entiers de U,, ..., U,j, nous reconnaîtrons que le carré de ce déterminant n'a que des coefficients divisibles par D^.

Réciproquement, une généralisation du théorème 36 nous montre que chaque déterminant à r lignes de la matrice (4) multipliée par la r*™» puissance d'une certaine forme unitaire rationnelle des paramètres U,, ... , U„ est divisible par le produit

Il en résulte que Nj(\(E)) r*ï: Djt .

Théorème Sg. — Si D et rf désignent le discriminant du sur-corps K et du souscorps k, et si l'on désigne par /i(DJ la norme du discriminant relatif D^^ pris dans le corps k, on a.

Démonstration. — Si ^ = to,u, + ... + a)„u,„ est la forme fondamentale du corps k, Z mis à la place de X satisfait à une équation de degré r en X de la forme

où 4> ^^ sont des fonctions entières à coefficients entiers de ç et des indéterminées u^, ... , u^, U, , ... , Uj,, et où <î>„ est une forme unitaire rationnelle des indéterminées Uj. ..., «,„. Les autres racines de l'équation de degré dont nous venons de

parler sont X = E' S'*""''. Soit donc ^'*' une des m — i formes fondamentales

conjuguées à \, et soient 2,^,, Z[^y ..., Sj^^'' les racines de l'équation de degré r, <Î>(X, ^"'*)=:o. Comme E satisfait à une équation de degré M, il est évident que toute puissance de S multipliée par une* puissance de <I>^ est égale à une fonction entière de ? et de S, qui est au plus de degré m — i en ^ et au plus de degré r — i en E et dont les coefficients sont des fonctions entières à coefficients entiers des paramètres

a,, ..., u„,, U, Uj,. D'après cela, le discriminant de la forme fondamentale Z,

multiplié par une puissance de <ï>„, est divisible par le carré du déterminant aM = rm lignes.

jm— 1 • > Ç

rtn—i '^ ir~i

tw— 1

jm— 1 —ir— «

Dans ce schéma^ nous n'avons écrit que les r premières lignes horizontales; on obtiendra les (m — i)r autres en donnant successivement aux lettres l le signe (^) = (i), ..., (m — i) comme indices supérieurs et à toutes les lettres S les mêmes signes comme indices inférieurs.

Si l'on exprime les éléments du déterminant A en fonction linéaire des nombres de la base, on reconnaît l'exactitude de la formule

Q'--». .... Qir'

où F est une fonction entière à coefficients entiers des paramètres u^, ..., m^, U,, . . . , U^^. Mais comme le facteur numérique du discriminant de S d'après le théorème 35 = D, il résulte du développement précédent que réciproquement D est divisible par le facteur numérique du carré de A, c'est-à-dire que le facteur numérique de A* est égal à D. Par les théorèmes élémentaires de la théorie des déterminantes, on obtient l'identité

tm— 1

j(m— i)yn— 1

^(r-l) .^,r-l)vr-l I, u^,,, ..... ^— ,,, )

ce qui donne immédiatement le théorème Sg.

Le théorème démontré à l'instant ne montre pas seulement que le déterminant d'un corps est divisible par le discriminant de tout sous-corps, mais il indique la puissance de ce dernier qui est contenue dans le discriminant du sur-corps, et il donne la signification simple du facteur restant dans le déterminant du sur-corps. -

THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. Scj

S i6. — La décomposition d'in élément du corps k dans le sÛr-coups K. Le théorème sur la différente du sur-corps K.

Théorème 4o. — Tout élément du sous-corps k est égal à un produit de r certains éléments du sur-corps K, et on a les formules

l - ?'*> - (E - 2,„)(S - s;,,) . . . (E - Ei;,-')^(2 - E,,,)(E'- S,„) . . . (E<^-' - E,„).

Démonstration. — Soit

F(X) = X"+ F,X"-' + . . . + Fm = o

l'équation fondamentale de degré M du corps K, où F,, ..., Fj, sont des fonctions entières à coefficients entiers des U,, ... , Uj,, on a identiquement

(I)-F(X-) = 4>(X, Ç)*(X, $')••• ^(X, Ç""-*'). La différente de la forme fondamentale E est donc représentée par la formule