MS) =^> = ;^ '-^ *(S. Ç') . . . *(E, Ç

en vertu de <Ï>(E, E) = o.

Mais on a d'une part

(5) *(E,$'*') = $,(S-E„,)(E-S;„)...(S-El;r").

et d'autre part

(6) $(E. e^) = 4>(E. f,'*') - *(S, l) = il - |<*>)G'*>

où G**' représente une forme algébrique entière ; il résulte de ces formules que

Gomme — ^= — représente la différente relative de E, il resuite, d'après le

^, ^ théorème 1 3 de la^^rnière formule, que

où © est la différente de k, îD^ la différente relative de K par rapport k k, et où 3 représente l'idéal égal au contenu de la forme G', ..., G'"""*'. En passant aux normes

D = n(DJ(fN(3)

et, par suite, diaprés le théorème 89, N(3) 2= i, c'est-à-dire 3= i. Les formes G,, ..., G'"*"*' sont donc toutes des formes unités, et les formules (5) et (6) démontrent notre théorème 4o.

4o D. HILBERT.

Le théorème 4o donne la décomposition des éléments du corps k datns le surcorps K; il est le théorème fondamental de la théorie des discrirninants. La formule (7) nous fournit de plus l'important fait suivant :

Théorème 4i. — La différente © du corps K est égale au produit de la différente relative ©^ de R par rapport au sous-corps k et la différente h du corps k, c'est-à-dire

On voit quel rapport simple existe entre les différentes.

La différente du corps supérieur s'obtient en multipliant la différente du corps inférieur par la différente relative correspondante.