CHAPITRE VI
Les unités du corps.
S 17. — De l'existence des nombres conjugués, dont les valeurs absolues satisfont
A certainesinégalités.
Nous avons établi au chapitre II les lois de la divisibilité des nombres d'un corps algébrique, nous allons établir maintenant des vérités fondées avant tout sur l'idée de grandeur. C'est le théorème de [Minkowski'] qui va nous fournir le moyen le plus puissant dans ces recherches ; il s'énonce ainsi :
Lemme 6. — Soit
m formes linéaires et homogènes de u,, .... u^k coefficients réels quelconques et de déterminant égal à i ; on peut déterminer pour u^, u^, ..., u„, des valeurs entières et rationnelles qui ne sont pas toutes nulles telles que les m formes/,, ...,'/„ soient toutes en valeur absolue >^ I.
Ce théorème, légèrement transformé; nous donne : ,/
Lemme 7. — Soient/,,/,, ... ,/^ m formes linéaires et homogènes de u,, a,, ... , u„, à coefficients réels quelconques avec un déterminant positif A, et soient /!,, x,, 7.^, .... y.,,, m constantes quelconques positives dont le produit est égal à A, on peut toujours
déterminer m valeurs entières et rationnelles pour u^, u,, ..., u,„ qui ne sont pas toutes nulles et telles que
Dans ce chapitre, nous désignerons le corps A: et les m — i conjuguées par A: = /f'**, A:'** , ... , /c'"*', et nous désignerons les m nombres de bases du corps /c'*' par
Nous appliquerons le lemme 7 pour démontrer le
Théorème 42. — Soient \, \, ..., %^m constantes positives quelconques dont le produit est égal à \/d, et qui satisfont aux conditions x, = >i/ dans le cas où /c*'' et /c<*'> sont deux corps imaginaires conjugués, il y a toujours dans le corps k un nombre entier différent de zéro w tel que
|a>''>Kx„ ..., |a."">|<x«..
Démonstration. — Nous attribuerons aux corps /f'*', fr'*', ..., /f'*"' certaines formes linéaires, et nous nous placerons au point de vue suivant. Si A^**"' est un corps réel, nous lui attribuerons la forme réelle
X=<>a,+ ...-:-a,ru,,
si /f**' est un corps imaginaire et si A:'*'' est son imaginaire conjugué, nous attribuerons aux deux corps /c*** et fe*''' les deux formes linéaires
dont les coefficients sont réels» Le déterminant de^ ces m formes pris en valeur absolue = \\/d\. Le lemme 7 apporte immédiatement la preuve de notre affirmation si l'on remarque que
Il résulte de là, en outre, le
Théorème 43. — Le degré m et la constante positive x étant donnés, il n'y a qu'an nombre limité de nombres entiers algébriques de degré m, qui, avec leurs conjugués, sont tous <C X en valeur absolue.
Démonstration. — Les m coefficients entiers de l'équation à laquelle satisfait un pareil nombre sont tous inférieurs à une limite qui ne dépend que de m et de x; leur nombre est donc limité.
S i8. — Théorèmes relatifs a la valeur absolue du discriminant du corps.
Théorème 44- — Le discriminant d d'un corps A: n'est jamais égal à it i. [Minkowski ''*•'.]
Théorème 45. — Il n'y a qu'un nombre fini de corps de degré m et de discriminant donné d. [Hermite**, Minkowski'.] Nous démontrerons d'abord le
Lemme 8. — Soient /,,/, /„ les m formes réelles linéaires définies par les
formules (8) des variables u^, a,, ..., m^, il y a toujours dans le corps un nombre entier différent de zéro a==a, w, -|- ... 4- a„, w„, tel que les valeurs absolues de ces formes pour u^ = a^ ... u^ = a^ satisfassent aux conditions
(9) l/J<lv^|. I/.K'. I/3K1. -'■> l/J<i.
Démonstration. — D'après le théorème 43, il n'y a qu'un nombre fini de nombres a, ct^, a,, ... du corps k satisfaisant à
l/j<|v/rfki, i/.Ki, .... i/j<i.
Soit a parmi ces nombres celui qui donne à |/, | la plus petite valeur et soit ep cette plus petite valeur. S'il n'existait pas de pareil nombre, on poserait ç = \\/d\ + i . Si çp <^ 1 yd'l le théorème est évident. Dans le premier cas, nous déterminerons un nombre positif s tel que (i -|- e)"'"* | yd \ <C 9. D'après le lemme 7, il y a toujours un système d'entiers rationnels u,, ... , u„, tels que
i/j<(i+er-1\/rf|: i/.i<7^' •••' i/J<TT7'
et par suite
ce qui est contraire à l'hypothèse qui nous a fait choisir a.
Pour démontrer dès lors les théorèmes 44 et 45. nous procéderons ainsi. Si /f =r/f*'' est un corps réel, la forme /, est parfaitement déterminée; si /t**' est corps imaginaire et A:**' son corps imaginaire conjugué, nous pouvons choisir pour/, entre deux formes ; nous prendrons
/, ==:i= j(<ol"- a)f)tt, + . . . + «- a,J;>)u.î-
La suite dans laquelle nous adopterons les autres formes/, ... ,y,„ n'importe pas. Le lemme 8 nous montre l'existence d'un nombre a satisfaisant aux conditions (9).
THKORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES.
D'autre part,
niXin
n^rfl
|nW|;
comme on a nécessairement \n{x)\ ^ i, il en résulte !/, | >> i, et par suite | \/d\ >> i. Le théorème 44 est démontré.
Il résulte, d'autre part, des inégalités |/J > i, |/,1 < i» l/sK i» \fm\ < i' que a est un nombre du corps k = k^'^ qui diffère de tous ses conjugués, c'est-à-dire que la différente 8(a)=|=o. D'après une remarque faite précédemment, a est un nombre qui détermine le corps k.
D'autre part, comme d est un nombre donné, on voit, d'après le théorème 43, qu'il n'y a qu'un nombre limité de nombres entiers algébriques de degré m, qui, avec leurs conjugués, satisfont aux conditions (9), ce qui nous démontre immédiatement le théorème 45.
Le théorème 44 exprime une propriété essentielle des corps algébriques ; il montre que le discriminant de tout corps contient au moins un nombre premier.
En employant au lieu du lemme 6 un théorème plus profond dû également à Minkowski, le même raisonnement nous aurait montré que le discriminant d'un
corps de degré m dépasse certainement en valeur absolue ( - j ( — - j et à plus
forte raison ( j
où r^ désigne le nombre de couples de corps imaginaires
qui se trouvent parmi /f***, .... /c*'"*. [Minkowski ••*' ^]
Ce dernier fait, appliqué de la même manière, montre que parmi les corps de tous les degrés possibles il n'y en a qu'un nombre limité ayant un discriminant donné d.
De ces mêmes principes, nous tirerons encore une conséquence très importante pour le chapitre vu. [Minkowski '• '.]
Théorème 46. — Soit a un idéal donné du corps k, il y a toujours un nombre a du corps différent de o divisible par a et tel que
Démonstration. — Soient
les m nombres de base de l'idéal a ; formons comnle nous l'avons fait précédemment, au moyen de w,, ... , w„,, m formes linéaires/^, ...,/,„ à coefficients réels; la valeur du déterminant de ces m formes sera
«ii. .... a,„
««M' •••' «mm
f\l\ D. HILBERT.
qui, d'après le théorème 19, égale en valeur absolue [n(a)v/rfi. Si maintenant nous
attribuons aux m formes/,, /, /^ l'une des constantes réelles y.,, x,, ... , y,„ dont
le produit = | n(a)\/d \ et qui satisfont aux conditions y.,=x,' dans le cas où A:'" et /f**> sont des corps imaginaires conjugués, le théorème 46 résulte du théorème 4a.
S 19. — Le théorème qui prouve l'existence des unités du corps. — Un théorème
AUXILIAIRE AU SUJET d'uNE UNITÉ POSSÉDANT UNE PROPRIÉTÉ PARTICULIÈRE.
Le théorème qui va suivre, relatif aux unités du corps k, nous dorme la base fondamentale d'une étude plus approfondie des nombres entiers algébriques.
Mais tout d'abord nous appellerons unité du corps k tout nombre entier e dont la
valeur inverse - est encore un nombre entier. La norme d'une unité =± i, et, réci-
proquement , si la norme d'un entier du corps = zt i , ce nombre est une unité du corps.
Théorème 47- — Supposons que parmi les m corps conjugués /c'*', ... , /f*"*' il y ait r,
corps réels et r^= ^ corps imaginaires conjugués, le corps /f=/c*** contient un
système de r = r^-\- r^ — i unités s,, ... , e^ telles que toute autre unité du corps peut être mise sous la forme £ = p£"' ... t"'' et cela d'une seule manière, a,, ... , a^ étant des nombres entiers rationnels et p une racine de l'unité située dans k.
Pour préparer la démonstration de ce théorème, nous ordonnerons les m corps conjugués /f'*', ... , Ar*"* de la façon suivante :
Nous écrirons d'abord les r, corps réels A"''* .... /f'*"*, puis nous prendrons un corps de chaque couple de corps imaginaires conjugués /c''"'^'', ..., /c''"''^'"»* , et nous ferons suivre ces derniers de leurs corps conjugués /f''"'"^'"»'*^'', ..., /f'""'. Nous formerons, avec m variables réelles quelconques u,, «,, ... , u^. les m formes linéaires
et nous écrirons ^, = 1- Si l^. ..., ?„, soat tous =|=o, nous poserons, dans le cas de k^^Téel: •
logr;,| = /,(?),
et dans le cas où /f'*> et /f'*'' sont des corps imaginaires conjugués :
iog(i:)=ïi,{i)-iiA^),
où //Ç), ..., /„(?) sont tous des grandeurs réelles et où en particulier les formes l^{l) satisfont à
les grandeurs 1^(1), ..., /,„(ç) ont donc une détermination unique en fonction des variables réelles u,, u,, ..., u^, nous les appellerons logarithmes de la forme -.. De plus, si l'on désigne par //i(|) la partie réelle du logarithme de /i(ç), on a
Si «, , ..., «^ sont des entiers rationnels qui ne sont pas tous nuls, ? = ^, représente un nombre a =|= o du corps k = k^'K Les grandeurs /,(£), ..., l^(^) sont alors parfaitement déterminées par a et nous les nommerons les logarithmes du nombre a.
Si £ est une unité du corps k, on a en vertu de'n(c) = jh i :
Par contre, les logarithmes /,(|), ..., /,„(^) nous donnent pour les variables
u, , u,, .... u,„ 2*^' valeurs, car les /\ yaleurs réelles ^, , Ç, ^r,^^ sont déterminées
qu'au signe près, tandis que les valeurs imaginaires conjuguées 5^,, ..., Ç„ sont parfaitement déterminées.
Nous aurons à nous servir du déterminant fonctionnel de ces relations ; nous désignerons le déterminant fonctionnel des fonctions /,,/,, .... Xi ^®s variables a:,,
x.,....x„par'^'' •••'•^'"
On a entre les valeurs absolues les relations
i,(l),.-.,Lil)
Çj = h(Ç)|.
et en multipliant ces deux relations nous aurons
Dans ce qui suit, nous considérerons surtout les r premiers logarithmes de la forme Ç ou du nombre a. Pour ces r premiers logarithmes, on a évidemment
Nous démontrerons dès lors le
Lemme ^. — Il y a toujours dans le corps k une unité s qui satisfait à
où Y,» T,» •••» tr s^^* ^^^ constantes réelles quelconques données qui ne sont pas toutes nulles.
Démonstration. — Soit to un nombre quelconque du corps qui n'est pas nul ; posons pour abréger
déterminons. ensuite un système de r grandeurs réelles telles que Yi ^^ + • • • + Yr^r = ' » et posons
JV,+;'
OÙ t représente un paramètre arbitraire.
Nous distinguerons deux cas suivant que les m corj)S conjugués Ar*'*, ... , /c'"" sont réels ou non. Dans le premier cas, nous attribuerons aux r = m — i corps /c**', ...j, A:'*"* les grandeurs A,, ... , A^ et au dernier corps fc'"*^ la constante
Dans le second cas, nous attribuerons aux corps /:'**, ...,k^'^ les grandeurs A, A,.,
et au corps imaginaire A:*'"'^*' nous ferons correspondre
v/rf
Enfin, aux m — r — i corps imaginaires qui restent k^'^\ ..., A:'*"*, nous ferons correspondre les mêmes constantes que celles qui correspondent déjà à leurs conjugués, nous désignerons ces constantes par A^,, .... A„.
Dans les deux cas
et les constantes A,, .... A„ remplissent les conditions imposées aux constantes •/.,, X,, ... , x^ du théorème 42.
Il y a donc, suivant ce théorème 42, un nombre a du corps k différent de zéro et tel que
(10) 1*">KA., ..., |a""KA„.,
et par suite tel que ] /i(a) [ <^ | y^c^ | . Mais comme \n{t)\ ^ i, on a pour toutes les valeurs de s = I, 2, ... , m
si donc nous tenons compje de
et de
il en résulte (II)
Désignons la valeur réelle'de log 1 \Jd\ par S, (lo) et (i i) nous donnent
ou o<|/,(a) — X,/l<28 On voit donc que l'expression
est comprise entre deux limites finies 8, et 8,>8,, qui ne dépendent que de d et des valeurs y, t ••• . Yr' i^s^is qui ne dépendent pas de la valeur du paramètre t.
Soit une grandeur A > o^ — B, et donnons à t successivement les valeurs t = o, A, 2 A, 3 A, .... on obtiendra une suite infinie de nombres a, p, y ••• » dont les normes prises en' valeur absolue sont >^ Iv^l et qui de plus satisfont aux conditions L(a)<L(fl)<L(Y)<....
Comme les nombres rationnels qui en valeur absolue sont »^ | \/d\ ne contiennent qu'un nombre fini d'idéaux différents en facteur, la suite illimitée d'idéaux principaux (a), (,8), (y), ... ne peut contenir qu'un nombre limité d'idéaux différents, et par suite on trouvera une infinité de fois dans cette suite deux idéaux égaux. Soit, par
exemple (a) = (jî), alors e = - est une unité, et cette unité, à cause de
oc
L(£)=-L(fl)-L(a)>o, remplit les conditions du lemme 9.
S 20. — Démonstration de l'existence des unités.
Pour démontrer dès lors le théorème 47, nous choisirons dans k une unité if), conforme au lemme 9, telle que /j(yJj)=}=o, et ensuite une unité y), telle que le déterminant
ensuite une unité -ri, telle que le déterminant
iM' iM> iMÙ h(-nX iM> iMÙ
et ainsi de suite, on parvient ainsi finalement au déterminant
Par suite, si H est une unité quelconque du corps, les r premiers logarithmes peuvent toujours être mis sous la forme
lr(^) = eM\) + '--^eMy^;)
où e^ e^ sont des grandeurs réelles. Cette représentation montre à son tour que
l'on peut écrire
/.(H) = m./.(-ri.) + . . . + mj^itj + E.,
C(H) = m./,(7i.) + . . . + mX(-0 + E,
où m^, ..., m^ sont les plus grandes valeurs numériques rationnelles entières contenues dans e,. .... e^. Les nombres E^, ... , E^ sont à leur tour de la forme
Comme ici \^.^, ... , tx^ sont des valeurs réelles !^ o et «< i, les valeurs E,, ... , E^ prises en valeur absolue sont inférieures à une limite x qui ne dépend pas de H, c'est-à-dire que les r premiers logarithmes de Tunité
sont tous inférieurs à la limite x. Mais comme
la valeur absolue de /^j(H) est inférieure à rx, et on a les inégalités
lH'*'|<e^ ..., |H'^»l<e% |H"■-^''|<e^
c'est-à-dire que toutes les valeurs conjuguées de l'unité H sont, en valeur absolue, inférieures à e*"*.
D'après le théorème 43, il n'existe qu'un nombre limité de pareilles unités. Désignons-les par H^, . . . , Hq ; il en résultera H = Hg ou H = Hsiri^' ... vj^!''' où S est l'un des nombres i, 2, . . . , G. Soit H^. l'une quelconque des unités H^, . . . , Hq et for-
nions les G + i premières puissances de U^, d'après ce qui vient d'êlre dit, deux quelconques de ces puissances pourront être mises sous la forme
et
H m" mî
où Hg représente chaque fois la même de ces G unités; leur quotient pourra donc être mis sous la forme t"' .. . t,""". Nous avons donc démontré qu'à toute unité H^ correspond un exposant M^ tel que M^""" soit un produit de puissance des unités r^^, .. . , 7)^. Soit M le plus petit multiple commun des composants H^, .. . , H^, cet exposant G aura la même propriété pour toutes les G unités H^, ... , Hg, et il en résultera que les r premiers logarithmes d'une unité quelconque H admettent la représentation
UH) =
où m, m^ sont des nombres entiers rationnels.
En appliquant dès lors à ce système illimité de logarithmes de toutes les unités du corps le raisonnement appliqué paragraphe 3 pour le théorème (5) relatif à l'existence de la base du corps, on arrive au résultat suivant. Il y a un système de r unités £,, ..., e,. telle que les logarithmes d'une unité quelconque H du corps puisse s'exprimer par
où a,, .... a^ sont des entiers rationnels. Le système d'unités e, , — s^ satisfait aux conditions du théorème 47-
En effet : Soit H une unité quelconque, dont les logarithmes ont la forme précé-
dente. p = -s ^ est une unité dont Içs logarithmes sont évidemment tous nuls.
El • • • £r
Une telle unité p est nécessairement une racine de l'unité ; car, d'après ce qui a été démontré, p^z=rî^' . . . yj""" où m^, . . . , m^ sont certains nombres entiers rationnels. En passant aux logarithmes on voit que
c'est-à-dire m, = o, .... m^=o et par suite p"= i. L'unité H est donc représentée comme l'exige notrç théorème 47-
Il résulte de la façon dont nous avons déterminé e , s^ que
