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U-n.). ■■■> eu.) où A est un nombre entier rationnel et où R désigne

Le déterminant R=j=o, et par suite la représentation de H au moyen des s,, n'est possible que d'une seule manière.

Le théorème fondamental 47 est donc complètement démontré.

S 21. — Les LMTÉS FO>iDAME>TALES. — Le RÉGULATEUR DU CORPS. — Un SYSTEME

d'imtés I>DÉPE?{DAMTES.

Le système des unités s,, ... , s,, ayant la propriété dite au théorème 47 est dit un système d'unités fondamentales du corps k. 11 en résulte facilement que si e^, ..., s* représente un autre système d'unités fondamentales, le déterminant des r systèmes de /' logarithmes est égal au signe près à R. Nous écrirons constamment ces unités dans un ordre tel que R soit un nombre positif. Le nombre R est alors parfaitement déterminé dans le corps k et nous le nommerons le régulateur du corps k.

Dans le courant de la démonstration précédente nous avons reconnu qu'une unité dont tous les logarithmes sont ^o est une racine de l'unité. Ce fait est contenu dans le théorème suivant, que l'on peut démontrer d'ailleurs d'une façon directe. [Kronccker*, Minkowski'.]

Théorème 48. — 7'oute unité telle que sa valeur absolue égale i, ainsi que les valeurs de toutes ses conjuguées, est une racine de l'unité.

Tout corps contient les unités -f i et — i, le nombre de toutes les racines de liinilé qu'on y rencontre est toujours pair, et il ne peut être >3 que si tous les m corps conjugués sont imaginaires.

On dit qu'un système de / unités r^^, . . . , yi^ forme un système de t unités indépendantes s'il n'existe entre ces unités aucune relation dé la forme t)"' ... vif = i où Wj, . . . , m^ sont des nombres entiers rationnels qui ne sont pas tous nuls; / est toujours -^ r. En particulier les unités fondamentales e, , ..., s, forment un système de r unités indépendantes. Si l'on a, d'autre part, un système quelconque de r unités indépendantes tj^, . . . , t,„, il existe toujours un entier rationnel M tel que

OÙ les exposants m, m^ sont des entiers rationnels: car si T,^=p^£"'* . . . î"" pour

A'= I, 2 r où les p^ désignent des racines de l'unité et où a„, . . . , a^^ sont des

exposants entiers et rationnels, le déterminant A formé par ces exposants entiers a„, . . . , a^^ est nécessairement =|^ o, et cela en vertu de l'hypothèse sur l'indépendance des unités y,, t,^. La A*"'"* puissance de toute unité e du corps est égale à

un produit de puissance des t„, ... , t,,. multiplié par une racine de J'unité p. Soit pE=: I pour toutes les racines de l'unité dans A: le nombre M = AE aura la propriéfé demandée.

La démonstration de notre théorème fondamental ^7 nous a montré la possibilité d'obtenir les unités fondamentales s,, ..., z^ par un nombre limité d'opérations rationnelles. Lorsqu'on cherche à calculer ces unités de la façon la plus simple on est conduit à un algorithme semblable aux fi'actions continues, et ce qui forme alors le principal intérêt de la question c'est la périodicité des développements obtenus. [Minkowski^**.]