CHAPITRE VU

Les classes d'idéaux des corps.

S 33. — La classe des idéaux. — Le NOMnivE des classes d'idéaux est llmité.

Tout nombre entier du corps k détermine un idéal principal. Tout nombre fractionnaire y. de k peut être représenté par le quotient de deux nombres entiers x et fi

et par suite par le quotient de deux idéaux a elh y. ^ r- = - .

Si nous supposons a eih débarrassés de tous leurs facteurs idéaux communs, la représentation du nombre x par un quotient de deux idéaux est unique. Récipro-

quement, si le quotient - de deux idéaux a et h, que ceux-ci aient un facteur com-

mun ou non, est égal au nombre entier ou à un nombre fractionnaire /. = - du corps,

on dit que les deux idéaux a et h sont équivalents, ce qu'on écrit a^^b. De - = - il

résulte (fi) a = (x)h.

Nous reconnaîtrons donc que deux idéaux sont équivalents si en multipliant l'un et l'autre par certains idéaux principaux on obtient un même idéal. L'ensemble des idéaux équivalents à un même idéal forme une classe d'idéaux.

Tous les idéaux principaux sont équivalents à l'idéal (i). La classe obtenue ainsi s'appelle la classe principale et on la désigne par i. Si a-^^fl' et b^^^b', on a aa'-^bb'.

Soit A une classe qui contient a, et B une classe qui contient h. La classe qui contient ab est dite le produit des classes A et B, et on les désigne par AB. On a évidemment i . B = B, et réciproquement. Si A . B = B, on a nécessairement A = i .

Il est parfois avantageux d'employer la notation de quotients d'idéaux. Nous conviendrons que

a b ah

équivaut à ah' = a'h ou ah'^^a'b.

Théorème /jg. — Il y a toujours une classe B et une seule dont le produit par une classe A donnée est la classe principale.

Démonstration. — Soit a un idéal de la classe A et a un nombre divisible par a, de façon que x = ah; soit alors B la classe de l'idéal h, on a AB = i. S'il existait une autre classe B' telle que AB'= i, on aurait ABB'=::B'=B.

La classe B est dite la classe réciprogiie de A; on la désigne par A~*.

On a de plus le fait fondamental suivant :

Théorème 5o. — Il y a dans toute classe d'idéaux un idéal dont la norme est inférieure à la valeur absolue de la racine carrée du discriminant du corps. [Minkowski '-^.J Le nombre des classes d'idéauxdu corps de nombres est fini. [Dedekind', Kronecker*®.]

Démonstration. — Soit A une classe quelconque et soit j un idéal de la classe réciproque A~'; on sait d'après le théorème 46 qu'il existe un nombre entier i divisible par j dont la norme |«(t)| -^n(i)lyrf| . Soit \ = \a, a appartient à la classe A, et comme |n(t)| = (j)n(a), on a n{a)^ \\d\. Mais comme les nombres entiers rationnels <^|vc/| ne contiennent qu'un nombre fini d'idéaux en facteurs, la deuxième partie du théorème 5o est démontrée.

S aS. — Une a.pplication du théorème sur le nombre fini des classes.

Le théorème 5o que nous venons de démontrer permet bien des déductions, dont nous signalerons les suivantes :

Théorème 5i. — Si h est le nombre des classes d'idéaux, la /i'^""^ puissance de toute classe donne la classe principale.

Démonstration. — Considérons l,a suite S., A*, ..., A"^'; deux classes de cette suite coïncident nécessairement, soient A'" et A"""^*, comme A''A*= A*", A^= i ; il en résulte

que A'^: I, A, ... , A*~* sont toutes différentes entre elles. Soit B une classe différente dea e précédentes; B, AB, ..., A''~'B nous donnent e classes nouvelles diff'érentes entre elles et différentes des précédentes; en continuant on voit que h est un multiple de e, ce qui démontre le théorème 5i.

La A'^""* puissance d'un idéal a est donc toujours un idéal principal.

Théorème 62. — Soient a et p deux entiers quelconques, il y a toujours un nombre entier y différent de o qui divise a et ,8 et susceptible d'être mis sous la forme Y = ^a 4- 7|P où ç et Tf) sont des nombres Convenablement choisis. Les nombres y. ^. t^ n'appartiennent pas en général au corps déterminé par a et p. [Dedekind*.]

Théorème 53. — Pour que x et p, v* et p* soient deux couples de nombres du corps k tels que j = (y., p) = (x*, p*), il est nécessaire et suffisant que l'oii puisse trouver dans le corps k quatre nombres entiers -a, p, y, 8 dont le déterminant a 8 — ?Y = I et tels que ■

y* = ax + Pp ,

p*=YX+Sp.

[Hurwitz*.]

Démonstration. — La condition est suffisante, car les équations précédentes permettent d'écrire

x=x*x*+rp*.

P = yV + 8*p'

où a*, p*, Y*, 8 sont entiers. De plus, la condition est nécessaire, car si l'on désigne par h le nombre des classes 'd'idéaux on a j* = (x*, p*) = (x**, p*'*) = (t) où t est un entier du corps. Soit

T = IJ.X 4-vp =[A X 4-v p

OÙ ji, V, [A*, V* sont des entiers de k; alors il est évident que les quatre entiers

ixx*x*-' + V* pp'*-* „ vx-p"- - %'xp**-'

satisfont aux conditions du théorème 53. On voit que aS — ^^z=\ en faisant le produit des déterminantes

[XX , p

vp'^', -X

et — x =

D'après le théorème la, tout idéal peut être mis sous. la forme i = (x, p). Posons

6 = - : le nombre entier ou fractionnaire 6 détermine complètement la classe d'idéaux

à laquelle appartient j. Nous dirons que 6 est le nombre Jractionnaire attribué à la

classe d'idéaux. Le théorème 53 nous montre que si 6* = — - est une autre fraction

P attribuée à cette classe d'idéaux, il existe dans le corps k nécessairement quatre

nombres a. 8. v, S de déterminants i tels que 6*=: -.

s 24. — Comment otj établit le système des classes d'idéaux. — Sens plus restreint