DE LA NOTION DE CLASSE
La démonstration du théorème 5o nous donne un moyen simple de trouver par un nombre fini d'opérations rationnelles un système complet d'idéaux qui ne soient pas équivalents. Il suffit de considérer tous les idéaux dont la norme -^ ly'rfl. Pour voir s'il y a parmi ces idéaux des idéaux équivalents il suffit de former tous les produits deux à deux; soit j un de ces produits, cherchons dans i un nombre t=|= o et de norme minima en valeur absolue, il suffira de voir si j = ('.) et de reconnaître ainsi si les deux facteurs appartiennent à des classes réciproques. Le théorème 46 nous montre que ceci pourra s'efiiectuer par un nombre limité d'opérations. Soit t,, ..., i,„ la base de l'idéal j, il suffît de déterminer pour «,,..., u,„ des valeurs entières rationnelles =|=o telles que les valeurs absolues des parties réelles et des parties imaginaires de M^t'^''*4- ••• +«,„im pour s = i, ..., m soient toutes inférieures à des limites déterminées. Il suffit pour cela d'un nombre limité d'opérations. Nous verrons de même qu'étant donné un idéal un nombre limité d'opérations rationnelles permet de déterminer la classe auquel il appartient.
Nous remarquerons que dans certaines circonstances il pourra être utile de cpnr sidércr un sens restreint de la notion d'équivalence ou de classes, et on dira alors que deux idéaux ne sont équivalents que si leur quotient est un nombre entier ou fractionnaire de norme positive. [Dedekind^
S 20. — Un THÉORÈME AUXILIAIRE RELATIF A LA VALEUR ASYMPTOTIQUE DU NOMBRE DE TOUS LES IDÉAUX PRINCIPAUX QUI SONT DIVISIBLES PAR UN IDÉAL DONNÉ.
Dirichlet a exprimé le nombre des classes des formes binaires de déterminant donné par une voie transcendante. [Dirichlet' •^] Dedekind, suivant son exemple et en se basant sur les résultats du chapitre VI concernant les unités d'un corps, parvint à établir une formule fondamentale à l'aide de laquelle le nombre h des classes d'idéaux d'un corps quelconque se présente comme la limite d'une certaine série infinie. [Dedekind'.] Pour atteindre cette formule nous démontrerons tout d'abord le théorème suivant :
Lemme io. — Si t est une certaine variable positive et T le nombre de tous les idéaux principaux divisibles par a dont la norme ^/, on a
où w est le nombre des racines de l'unité que l'on rencontre dans fr et où R désigne le régulateur du corps, r,, r, ont le sens indiqué au théorème 47. L signifie limite.
Démonstration. — Soit a, %^ une base de l'idéal a; tout nombre entier divisible par a est de la forme
OÙ y,, ..., i'„, sont des entiers rationnels et /,(»), ...,f„{v) sont des formes linéaires a coefficients entiers rationnels des y,, ..., u^.
Considérons les t',, ... , i'„ comme des variables réelles et posons
\Vn{-rù\'
M,, •., «TO seront des fonctions bien déterminées de y,, .... y„ et ^ est une forme pour laquelle n(?) = ± »• Nous calculerons les r premiers logarithmes de la forme ^ €t de là nous tirerons r grandeurs réelles e,(|), ..., e^(i) telles qu'en désignant par £,, .... s^ un système d'unités fondamentales on ait
W = «.(5)UO + ---+e.(l)C(3,);
nous dirons dans le courant de ce S 35 que ces grandeurs e,, ..., e^ sont les exposants de T,.
Si l'on prend pour les v^, ..., v^ des valeurs entières rationnelles qui ne sont pas toutes nulles, il est évident que le nombre tj ainsi obtenu peut être transformé en le multipliant par des puissances des unités e, , .... s^ en un nombre dont les exposants e^, ..., e,. satisfont à
Réciproquement, oh voit que deux nombres r,, y,* dont les exposants sont égaux ne peuvent différer que par un facteur qui est une racine de l'unité. Si donc le nombre des racines de l'unité situées dans k est w, wT où T est le nombre des idéaux principaux divisibles par a et de norme -^ t est égal au nombre des systèmes de
56 D. HILBER^.
valeurs numériques entières différentes des y,, ..., u,„ tels que n(r{) <^t et telles que les exposants <?,, ..., e^ satisfassent à (i3). Posons
la forme ^ '^t par suite les grandeurs /,(5), ..., lf(;), e^, ... , e^ resteront indépendantes de T et contiendront seulement les m nouvelles variables ç, , ..., ^„j. L'inégalité [«(r,)]-^/ devient |n(7i((p))|^ i; de plus, en vertu de (i3), les r logarithmes /,(E), ..., /^(ç) et à cause de /,(;)+... 4- /^, (ç) = //i (;) = o ; aussi /^,(;) sont tous en valeur absolue inférieurs à certaines limites finies déterminées par les s^, ... , e^; il en résulte qu'il en est de' même pour toutes les grandeurs |;*''(ç)l, ..., |^*"'*(cp)| et par suite à cause de [^(■iri (?))!<! i les m grandeurs |t/*'(<p)|, ..,, li^'^'C*)] sont inférieures à des limites finies. Il en résulte que les conditions (i3), en y adjoignant l'inégalité I n (r, (cp)) I <^ I, définissent un espace limité dans l'espace à m dimensions déterminé par les m coordonnées ;p, , ... , (p„,.
Rappelons que nous avons vu au S 19 que les valeurs fonctionnelles l^{■r\), ... , l^X"^ nous donnent a*"' déterminations des variables ç,, ..., cp^; d'après la définition de l'intégrale multiple on a
h^ S m;tt"' 1 = ^--.yy . ..jiU^d-,^ . . . do„„
où il faut étendre l'intégration à tout le volume déterminé par
dans l'espace à m dimensions.
Pour déterminer la valeur de cette intégrale qui est finie, nous ferons le changement de variables suivant : nous prendrons pour nouvelles variables
où ç et '(\ dépendent de cp^ cp,„.
Ces m grandeurs sont toutes des fonctions analytiques, uniformes et régulières de cp,, ..., cp„, à l'intérieur du domaine d'intégration
On a donc
/.../,/,,. ..<;,„=/.../|î^^^|rf.K. ..</+,
D'après les calculs du S ig,
iM)'---^LW
de plus, comme
ln{ri) = /,(,j) + . . . + /,.^,(r,), /,© = ',(•')) - - ^«(^) :
et comme enfin
\n{ri)\'
on voit que
intéffr
aie nrécédente
onc 1
a valeii
: -. ce
aui dén
lontre 1
n(a)|v/rf| auxiliaire.
Dans ce qui suit nous poserons
de sorte que x est une grandeur déterminée par le corps k seul; et cette grandeur y. caractérise le corps k.
S 26. — La détermination du nombre des classes par le résidu de Ç(5) pour s=i.
Théorème 54- — Si l'on désigne par T le nombre de tous les idéaux d'une classe A dont les normes sont <^7, on a
Démonstration. — Soit a un idéal de la classe A~' réciproque de A, et supposons que r représente successivement tous les idéaux de la classe A, le produit va représentera tous les idéaux principaux divisibles par a, et ne représentera qu'une fois chacun d'eux. Si donc dans la formuledu lemme 10 nous remplaçons 1 par t = n{a)t'.
T représentera aussi le nombre des idéaux r de A pour lesquels n(r)<C<'. En divisant par n(a) nous aurons la formule que nous voulons démontrer pour 1=^1'.
Comme le nombre x est indépendant du choix de la classe A, le théorème 54 nous amène immédiatement au
Théorème 55. — Si l'on désigne par T le nombre d^ tous les idéaux du corps k dont les normes sont >^/, et si l'on désigne par h le nombre des classes d'idéaux, on a
L 4 — /ly.
/=oo t
On peut, par des méthodes analytiques, déduire de cette formule une expression fondamentale pour h.
Théorème 56. — La série illimitée
où i parcourt tous les idéaux du corps, converge pour les valeurs réelles de *>>i, et on a
LUs-x)K{s)\=hy,.
[Dedekind'.]
Démonstration. — Désignons par F(n) le nombre des idéaux différents de norme on a évidemment, si T a la même signification qu'au théorème 55,
=oo l n=oo n
La limite du second membre peut être considérée, comme nous allons le voir, comme la valeur limite d'une série illimitée. [Dirichlet*'.] Nous ordonnerons tous les idéaux \ du corps d'après la grandeur de leurs normes, nous écrirons la suite ),. j,. • •• . i/. ••• et nous désignerons la norme de j, par n,; alors
F(i) + . . . + F(n,- i)< ( .^ F(i) + . . . + F(n,) ou
nj n. n.
il en résulte, d'après le théorème 55,
L — =:hy., i=con.
THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 5ç)
c'est-à-dire qu'étant donné la grandeur positive 8 aussi petite que l'on veut il est toujours possible de choisir un nombre eiatier t assez grand pour que
/ivt— 3 I h% + i
pour tous les nombres t'^t.
D'autre part, on sait que si s désigne un nombre réel >» i, la suite
est convergente et que
La dernière égalité nous montre que
LJ(.-i)i:lj = i,
lorsque t' parcourt toutes les valeurs supérieures à un nombre donné. De plus,
,,. , ,. , I hyt. -f- 8 , , , . , , .
1 megfilite — <^ — -; — nous permet de conclure la convergence de la série
pour s^ I, t prenant toutes les valeurs entières positives et i représentant successivement tous les idéaux du corps k.
De plus, les inégalités (i4) nous donnent la formule
(/i^g)'(,,)sl<(*,)S±<(Ax + 8)'(*-,)sl {t')t' {t')n]. {1)1'
où les sommations s'étendent à toutes les valeurs entières f qui sont ^ t. Passant à la limite pour s = i, on voit que
/ix — 8<L (*— i)S-j- </ix + 8.
Mais on a
et cette limite est à la fois ^ hv. — S et <^hA -\-Z, et comme S est un nombre aussi petit que l'on veut, cette limite =Ax.
Le théorème 56 est démontré.
S 27. — On A d'autres développements de Ç(,s). Ç(*) peut encore être représentée de trois autres façons différentes
if)
Dans la première expression la sommation s'étend à tous les nombres entiers rationnels pris pour n; dans la deuxième expression le produit s'étend à tous les idéaux premiers du corps; dans la troisième il s'étend à tous les nombres premiers du corps, /,,/,, .-../e désignant les degrés des idéaux premiers contenus dans p. Toutes ces sommes et ces produits infinis convergent pour 5>i, et comme les termes sont tous positifs, la convergence ne dépend pas de l'ordre des termes.
8 28. — La composition des classes d'idéaux d'un cqrps.
Nous établirons le théorème suivant qui concerne la représentation des classes d'idéaux par des produits. [Schering\ Kronecker".]
Théorème 67. — Il y a toujours q classes A,, ..., A^ telles que toute autre classe A puisse être mise sons la forme A = A^s ..., A;^« et cela d'une seule manière; x^...,x^ prennent les valeurs entières o, i, 2, ... jusqu'à A, — i, ..., h^^, et on a A*»=î, ..., AJ« = i clh = h^ ... hg.
Démonstration. — Chercl\ons pour chaque classe le plus petit exposant e^ tel que A"' = I. Soit A, le plus grand de ces exposants e, et soit H, une classe donnant l'exposant h^. Cherchons maintenant pour chaque classe le plus petit exposant e^ tel que A*> soit une puissance de H,. Soit h^ le plus grand de ces e^ et soit H, une classe donnant l'exposant h^. Cherchons maintenant pour chaque classe A le plus petit exposant £3^0 tel que A"' soit un produit de puissance des classes H,, H,; soit ^3 le plus grand de ces e, et H, une classe donnant h^. Si l'on continue ainsi on voit que l'on obtient une suite de classes H,, H,, ..., H^ qui ont la propriété suivante :
Toute classe A peut être mise d'une façon et d'une seule sous la forme
A = Hf'...H?
Xj x^ ayant les valeurs indiquées au théorème 67.
THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 6l
Soit (r5) H^=H^'H;'i7»...H^
où /<* et où a^, a^^, .... a, sont certains exposants entiers. D'après nos conventions
H*'=H*ii'...H*'
où b^^, .... b^ sont certains nombres entiers, il faut donc que h^ soit divisible par h^ sans quoi il y aurait une puissance moindre que la ^f'"* de H^ qui pourrait être représentée par un produit des classes H,, H,,, .... H^.
Soit hi = hj/, il en résulte que H°''' est représentable par un produit des classes H,, , ..., H,, c'est-à-dire que a,/^ est divisible par h^ ou que a, est divisible par h^. Posons ai = h^c^, et, au lieu de choisir H,, choisissons la classe H^=:H^Hp* : l'égalité (i5) devient
En continuant nous arriverons à remplacer H^ par une classe A^ telle que A**= i. On peut, de plus, faire en sorte que dans ce mode de représentation les nombres h^, ..., hg soient des nombres premiers ou des puissances de nombres premiers. Soit g = p'p" ... où p'p' sont des puissances de nombres premiers différents; on posera, si B est la classe appartenant à g,
nous aurons alors '&"''= i, B'''"^ i, ..., et si l'on écrit
on aura B=:B'"'B'"''' .... On pourra introduire B', B^ ... au lieu de B.
Lorsque les classes A sont choisies de la manière qui vient d'être indiquée, on dit qu'elles forment un système de classes fondamentales .
S 39. — Les caractères D'u^E classe d'idéaux. — Une généralisation
DE LA fonction ^(i) .
Supposons que l'on ait choisi un système de classes fondamentales, toute classe se trouvera bien déternjinée par les exposants £c,, ... , £c^ et par suite par les q racines de l'unité
tiT.x, ijT.r,.
