CHAPITRE VIII

Les formes décomposables du corps

S 3o. — Les formes décomposables du corps. — Les classes de formes

ET leur composition.

Soient Ç**', .,.., $''"* m formes linéaires des m variables a, u,„ avec des coefficients quelconques réels ou imaginaires, le produit

U(u,,....uJ:=5"»...E'""

est dit une forme décomposable de degré m des m variables u^, ..., tt„,. Les coefficients des produits de u,, ..., u„, sont dits les coefficients de la forme. Si l'on tient compte des formules

^* log U ? log 5,"' ? log Ç"* :^ log 5<"'> ? log ?"">

on voit, d'après le théorème relatif à la multiplication des déterminants, que le carré du déterminant des m formes linéaires ^'**, ... , ;*"'' est égal à

:)MogU ^MogU

et qu'il est par suite égal à une fonction entière à coefficients entiers de U; on lui donne le nom de discriminant de la forme U. Une forme U, dont les coefficients sont des entiers rationnels sans diviseur commun, prend le nom de forme primitive ; elle est une forme unité rationnelle.

Supposons qu'en particulier a,, ..., a^ forment une base d'un idéal a, la norme n(;) =n(a,a, -f- ... -f a„u^) est une forme décomposable de degré m. Les coefficients de cette forme sont des entiers dont le plus grand commun diviseur est n(a). Lorsqu'on supprime ce facteur on crée une forme U, à laquelle on donne le nom de forme décomposable du corps k et qui a les propriétés suivantes :

Si l'on remplace la base a,, ... , a„, par une autre base a*, ... , a* du même idéal a on obtient une nouvelle forme U* qui se déduit de U par une transformation linéaire à coefficients entiers rationnels et dont le déterminant =±1- Si l'on réunit toutes ces formes transformées dans le concept de classes de forme, on voit qu'à chaque idéal a correspond une classe de formes. On obtient la même classe de formes en partant de a a au lieu de partir de a, a désignant un nombre quelconque entier ou fractionnaire du corps, c'est-à-dire qu'à chaque idéal d'une même classe correspond une même classe de formes.

Comme il est évident que le. discriminant de la forme /i(;) = n(a)U est égal à n{a)*d, il en résulte :

Théorème 58. — Le discriminant d'une forme décomposable U du corps est égal au discriminant du corps. [Dedekind'.]

Les propriétés des formes U que nous venons d'énoncer les déterminent complètement; car on a le théorème réciproque. ,

Théorème 69. — Soit U une forme primitive, décomposable dans k, mais indécomposable dans tout corps de degré inférieur, de degré m et de discriminant rf égal au discriminant du corps, nous pouvons affirmer qu'il y a dans k au moins une et au plus m classes d'idéaux auxquelles appartient cette forme U.

Démonstration. — Soit, par exemple,

un facteur linéaire de U, dont les coefficients sont des nombres de k, nous multiplierons 71 par un nombre a tel que

^==aT, = a, «. + ... + »„.«,„

soit une forme linéaire à coefficients entiers a,, ..., a^. Posons a = (x^, ..., »„,): on voit, d'après le théorème 20, que n(;) = n(a)U, et comme le discriminant de la forme U est égal au discriminant du corps, on voit que

Il résulte de là, grâce à la réciproque du théorème 19, que a, a,„ forment la base

de l'idéal a.

Si les deux formes U et V correspondent aux deux idéaux a et h, la forme'W, qui correspond à l'idéal c = a1>, est dite une forme composée de U et de Y. [Dedekind'.]

D'après ce qui vient d'être dit, reconnaître si deux formes données du corps k appartiennent ou non à la même classe, cela revient à reconnaître l'équivalence de deux idéaux donnés. Cette recherche n'exige qu'un nombre fini d'opérations. (Voir S 2/|.)