CHAPITRE IX
Les anneaux du corps.
S 3i. — L'anneau. — L'idéal d'anneau et ses propriétés les plus importantes.
Soient 0, v), ... des nombres algébriques quelconques appartenant au domaine de rationnalité du corps k de degré m, on appellera anneau de nombres, anneau ou domaine d'intégrité le système formé par toutes les fonctions entières de 0, yi, ... à coefficients entiers rationnels.
La somme, la différence, le produit de deux nombres de l'anneau donnent un nombre de l'anneau. Le concept d'anneau est donc invariant relativement à l'addition, la soustraction et la multiplication.
Le plus grand anneau du corps est celui que déterminent w^, ... w^^ où o), , ... , w,,, forment une base du corps. Tout anneau r contient m entiers p, , ... , p„, tels que tout autre nombre de l'anneau p puisse être mis sous la forme
a,, ... , a,„ étant des entiers rationnels. On dit que p,, ... , p„, forment une base de l'anneau. Désignons par ç,[, ..., p'„,, pi"""'', ..., pl^"'' les nombres conjugués de p,, ..., p„, le carré du déterminant
Pi ' • • • ' ?m
Pl ' •- • • • P'm
ri > • • • > Cot
est un nombre rationnel et on le nomme le discriminant de d^ de l'anneau r.
Un idéal d'anneau ou un idéal de l'anneau r est un système illimité de nombi^s entiers algébriques a,, a^, ... de l'anneau r qui a la propriété suivante : toute combinaison linéaire X,a, + \\-{- ••• appartient au système, les coefficients 'k^, X^, ... étant des nombres quelconques de l'anneau r.
Tout idéal d'anneau contient m nombres entiers /, , ... , i,^ telles que tout nombre de l'idéal d'anneau soit égal à une combinaison linéaire de la forme
où a,, ..., a,„ sont des entiers rationnels. Les nombres /,, ..., i^ forment une hase de l'idéal d'anneau.
On démontre l'existence d'une base de l'anneau et celle d'une base de l'idéal d'anneau exactement comme on a démontré l'existence d'une base du corps et celle d'une base d'un idéal aux SS 3 et 4-
On a les théorèmes suivants : [Dedekind'.]
Théorème 6o. — Soient i,, ..., i^ m entiers quelconques du corps k qui ne sont liés par aucune relation linéaire à coefficients entiers, il existe toujours un anneau r tel qu'en désignant par A un nombre entier rationnel convenablement choisi Ai, Ai„, formant la base d'un idéal de l'anneau.
Le théorème 66 se déduit du théorème suivant : '
Théorème 6i. — Il y a dans chaque anneau r des idéaux d'anneaux i,. qui sont aussi des idéaux du corps.
Démonstration. — Exprimons w, , ..,, <o„ en fonction des m nombres de base p,, ..., p^ de l'anneau sous la forme
OT.== •- (i = J,î, ...,m)
où a^,, ..., aj,„ et A sont des entiers rationnels, il en résulte que tout entier du corps k divisible par A est un nombre de l'anneau et que par suite tout idéal du corps divisible par A est aussi un idéal de l'anneau r.
Le plus grand commun diviseur idéal de tous les idéaux du corps, qui sont aussi des idéaux de l'anneau r, est dit le conducteur f de l'anneau. [Dedekind '.] D'où :
Théorème 63. — Tout idéal j du corps qui est divisible par le conducteur f est aussi un idéal d'anneau de l'anneau r.
S Sa. — Les a:<neaux déterminés par un nombre entier. — Le théorème concernant
LA DIFFÉRENTE d'uN NOMBRE ENTIER DU CORPS.
Les anneaux les plus importants sont' ceux qui sont déterminés par un seul nombre entier 6 du corps. Dedekind a fondé sa théorie des discriminants des corps algébriques sur les propriétés de ces anneaux particuliers. [Dedekind *.]
Nous résumerons les principaux résultats de Dedekind dans le théorème suivant :
Théorème 63. — Le plus grand commun diviseur des différentes de tous les entiers du corps k est égal à la différente b du corps. Soit 8 la différente d'un entier 6 qui détermine le corps et f le conducteur de l'anneau déterminé par 6, on a 8 = f6.
Démonstration. — Soit w,, . . . , (o„, une base de k et soient w^, . . . , w^, (o*"~'\ . . . , wj^~'' les nombres conjugués de ces m nombres. Formons le déterminant à m* termes u)|^* :
et désignons les mineurs relatifs à w,, ... , a)„, par Q^, ..., Q,„. Les m produits QQ^, ..., QQ,„ sont alors m entiers du corps k et ils forment les nombres de base d'un idéal du corps k.
En effet, multiplions les (m — i) lignes horizontales du déterminant Q^ respectivement par
U + (ii[, u 4- (oj ,
OÙ u est un paramètre indéterminé. Le déterminant à m — 7 1 lignes prend alors la forme
où/,, ■••,/,„ sont des fonctions entières à coefficients entiers de u. D'autre part, le produit des m — i facteurs linéaires (16) est
+ (o>; + . . . + ^T ') «"" + . • . = u""' + (« - to,) u"-' +
où a est un entier rationnel. Si l'on compare les coefficients de u"'~', on voit que œ^Q^ est une combinaison linéaire à coefficients entiers rationnels de Q,, ... , Q,„, ce qui démontre que QQ,, ... , QQ^ sont les nombres de bases d'un idéal.
Soit Q*[* le déterminant mineur relatif à wj^*, on sait que le déterminant à m lignes formé par les Q[ est égal à ii*""*; par suite, la norme de l'idéal 3 = (QD,, ..., QQ,„) satisfait à
et par suite n(3) = |rf|"'~\ Mais il est évident que le déterminant d du corps est divisible par 3; posons d=^i, il en résulte que /i(j) = lt/|.
Soit 6 un nombre quelconque qui détermine le corps; nous pouvons mettre les m nombres de base du corps sous la forme
«».-» + «L. e + • • • + air/' e"-» + e"-'
OÙ a^, a.^, a'^, ..., a''^Z*\ /«. •••./m-i sont des nombres entiers rationnels.
Déterminons maintenant le conducteur f de l'anneau déterminé par 0 et nous mettrons les nombres de base sous la forme
6^, 6,, ..., ^m-i» /l'./a» •••»/m étant des entiers rationnels.
D'après le théorème 62, p^o)^, p^<j>„,i, ••-, p^'^t ^^ peuvent être que des fonctions entières à coefRcients entiers de 6 ; il en résulte nécessairement que /[ est divisible par/„,„ /,' l'est par /„,. ... ,/l, par/, et par suite 'le produit /;, ..../;, est divisible par le produit /=/, .../„,. Mais comme n(f)=/, ...f„X ••■/L-JL' «» »
où y est un entier rationnel.
Posons, de plus.
i(TO— 1)
On a alors pour la différente S du nombre 6
et, d'après ce qui a été dit au début,
(17) S u,QQ, = |
où u,, ..., u„ sont des indéterminées. Développons ce déterminant suivant les éléments de la première ligne, il s'écrira
Il est facile de voir que -r^, .... ~ sont alors tous des nombres entiers du corps k ; H ri
ils s'obtiennent, comme le montre la formule 17, en multipliant les nombres
QQ, , .... ÛQ,„ par un seul et même facteur situé dans k. Les m'nombres -rji, ... , -7^
sont encore les bases d'un idéal ; soit m cet idéal.
Les nombres de l'idéal m sont tous des fonctions entières à coefficients entiers de 6; cet idéal est donc divisible par f. Posons m = f t où I est un idéal dans k. Notre équation (17) montre alors que
d'où, en prenant la norme, il résulte
l«l = -p\d\ ' c^st-a-dire /'=/i(f)/i(l);
comme d'autre part on a trouvé n(f)=/*gf, il faut que g^i, n(I) = i et par suite n(f)=/, 38 = frf. 8 = fi.
Soit maintenant ^ un idéal premier donné du corps /f; nous démontrerons tout d'abord que l'on peut toujours trouver dans k un nombre 6 = p tel que le conducteur de l'anneau déterminé par p ne soit pas divisible par :p. Soit p le nombre premier rationnel divisible par ^>, /> = ^*a où a est un idéal premier avec p\ de plus, soit p un entier de k, choisi de telle sorte que tout nombre entier de A: soit congru à une fonction entière à coefficients entiers de p suivant toute puissance de p. Le théorème 39 montre l'existence d'un pareil nombre; de plus, supposons p^o suivant a (théorème 25) et que p soit un nombre qui détermine le corps. "Supposons que le descriminant de p=/)''a où a est un entier rationnel premier avec />.
Tout nombre entier w du corps peut alors être mis sous la forme
où F(p) est une fonction entière à coefQcients entiers de p.
En effet, si to^H(p) suivant |>** où H(p) est une fonction entière à coefficients entiers de p, posons w^H(p) + u>*, il en résulte que w'p* est divisible par p*. Posons a)*p*=p*a où a est un entier du corps k. Comme d'après le 8 3 tout nombre
entier a peut être mis sous la forme -77^ où G(p) est une fonction entière à coeffî-
cients entiers de p, il en résulte a)*=— ^ et de plus
flp
ap*H(p) + G(p)
ap
Cette propriété de p que nous venons de trouver nous montre que le nombre ap" se trouve certainement dans le conducteur f de l'anneau détern;iné par p. f n'est donc pas divisible par p, c'est-à-dire que p = 9 est un nombre répondant aux conditions indiquées.
Ces derniers développements prouvent que i est exactement le plus grand commun diviseur des différentes de tous les nombres entiers. D'autre part, ce plus grand commun diviseur, comme il résulte de la définition de la différente du^orps b, contient nécessairement cet idéal b en facteur; nous poserons j = ^l». Comme suivant le théorème i3 n(b) est divisible par le discriminant d, il en résulte que n{i) = n(f^)da où a est un entier rationnel. Mais comme n(i) = ±c?, il en résulte n(^)^ i, "^ = 1,
a = zt: I-
Du théorème 63 on déduit facilement les théorèmes 3i et 37, ainsi que les affirmations énoncées à la fin du S 12 relatives aux nombres premiers contenus dans le discriminant du corps. Il suffît pour déduire ces dernières de décomposer le premier membre de l'équation à laquelle satisfait 6 = p suivant le nombre premier en question p, et de raisonner comme il a été fait au S 1 1, pour le premier membre de l'équation fondamentale.
8 33. — Les idéaux d'anneaux réguliehs et leurs lois de divisibilité.
Soit r un anneau quelconque et i^ = [a, , .... aj un idéal d'anneaU de r, le plus grand commun diviseur des nombres de ce dernier est un idéal du corps; nous nommerons cet idéal i = (v^, .... aj l'idéal dii corps correspondant à j^.
Lorsqu'en particulier l'idéal du corps j est premier avec le conducteur f de l'anneau r, nous dirons que j^ eiSt un idéal d'anneau régulier.
•JfO D. HILBERT.
Théorème. — Soit j un idéal du corps premier avec le conducteur f, il y a toujours dans l'anneau r un idéal d'anneau j^ auquel correspond l'idéal du corps j.
Démonstration. — Déterminons le système de tous les nombres de l'anneau r, qui sont divisibles par l'idéal donné i du corps. Ces nombres forment dans r un idéal d'anneau j^=(a,, ..., aj. Ensuite nous choisissons dans le conducteur f de l'anneau un nombre entier cp premier avec j et dans j un nombre a premier avec ç. Il existera dès lors deux nombres entiers du corps <]> et p tels que !p| + af = i.
Gomme ç} est divisible par f et qu'il fait partie de l'anneau r, a, 8 est aussi un nombre de l'anneau r, et comme d'autre part ap est divisible par j, ap:= i — cpf est
un nombre de l'anneau j,.; et par suite l'idéal du coprs )•=(», aj est premier
avec f .
Comme j* est divisible par j et qu'il divise le produit fi, il en résulte que i* = i. c'est-à-dire que j^ est un idéal d'anneau régulier auquel correspond l'idéal du corps j. ce qui démontre le théorème 6/j.
On entend par produit de deux idéaux d'anneaux '
a,= [a.,...,aj et h=[^, PJ
l'idéal d'anneau
«r^=KP. ^A' ■:•' *.P/. •••' *.PJ-
Il en résulte évidemment le
Théorèwe 65. — Au produit de deux idéaux d'anneau réguliers correspond toujours le produit des idéaux du corps qui correspondent aux facteurs.
Par suite de ce théorème, les lois de divisibilité et de décomposition des idéaux d'anneau réguliers coïncident avec les lois de divisibilité et de décomposition des idéaux du corps premiers avec f.
Dans ce qui suit, nous ne nous occuperons que d'idéaux d'anneau réguliers, nous n'ajouterons plus le mot régulier, c'est-à-dire que lorsque nous parlerons d'un idéal d'anneau il sera sous-entendu qu'il est régulier.
Le théorème aS nous apprend qu'il existe toujours dans le corps k !p(f) nombres entiers incongrus suivant l'idéal f et premier avec f. Lorsque l'un de ces nombres appartient à l'anneau r, cet anneau contient évidemment tous les nombres congrus à celui-ci suivant le conducteur f . Le nombre des entiers incongrus suivant f et premiers avec f contenu dans r est un diviseur de (f(f); nous le désignerons par 9^(f)-
La norme n(a^) d'un idéal d'anneau a^ n'est autre chose que la norme de l'idéal du corps a qui correspond à a^. Cette définition nous donne les propositions élémentaires relative aux normes dès idéaux d'anneau.
S 34- — Les unités d'un anneau. — Les classes d'un anneau.
Le théorème relatif à l'existence des unités fondamentales se retrouve dans un anneau: la manière la plus simple de le déduire du théorème démontré pour les unités du corps consiste à remarquer qu'il résulte du théorème a^ que toute puissance «(f)^""* d'une unité du corps nous donne une unité de l'anneau. Le théorème 47. vrai pour les unités du corps, peut s'énoncer sous la même forme. Désignons ici par s le nombre que nous avons désigné par r au théorème A7. Soient s,, .... s, un système d'unités fondamentales de l'anneau, c'est-à-dire un système de s unités dans l'anneau r tel que toutes les unités de r puissent s'exprimer au moyen du produit de ces nombres et des racines de l'unité contenues dans l'anneau, ^'ous appellerons régulateur R^ de l'anneau le déterminant des s premiers logarithmes de ces unités pris positivement. Nous désignerons par il\. le nombre des racines de l'unité situées dans r. [Dedekind'.]
Deux idéaux d'anneau 0 et b seront dits équivalents, s'il existe deux entiers (a et X tels que u.a= Xb. Ici nous considérerons le concept d'équivalence dans le sens restreint, c'est-à-dire que nous ferons la réserve suivante : la norme de ^ est positive.
Tous les idéaux d'anneau équivalents forment une classe de l'anneau. Un idéal d'anneau (a) où a est un nombre entier positif premier avec f est dit un idéal d'anneau principal; sa classe est dite une classe principale de l'anneau. Les autres définilions et les théorèmes relatifs à la multiplication des classes d'un anneau correspondent exactement à ce que nous avons établi aux SS 23, 38, 39 pour les classes d'idéaux d'un corps; on voit, comme au S 33, que le nombre des classes d'un anneau est limité.
On peut employer pour déterminer le nombre des classes deux méthodes : soit des moyens purement arithmétiques, soit la voie analytique, comme il a été indiqué aux SS 25 et a6. On obtient le résultat suivant : [Dedekind''.]
Théohème 66. — Soit h et h^ le nombre des classes d'idéaux du corps et de l'anneau r, tous deux dans le sens restreint du concept de classes, on a
K^ ?(f)wR,.
Les formations du chapitre VIII se retrouvent dans l'anneau, et l'on peut parvenir ainsi à la notion déforme de'composable correspondant à une classe d'un anneau.
8 35. — Le module. — L\ classe de module.
Soient u.,, .... a,„ m nombres entiers du corps k qui ne sont liés par aucune relation linéaire et homogène à coefficients entiers rationnels, le système des nombres de la forme a, ix, -(- . . . + «^ [j>-„, où a, , ... , a,„ sont des entiers rationnels est dit un module du corps k, et on l'écrit [[x,, ..., [jl^]. Le concept de module est un invariant pour l'addition et la soustraction. On a des exemples de modules : le système de tous les
entiers du corps k, un idéal, un anneau, un idéal d'anneau. Deux modules [[^.^ [x^J
et [Xj, ...; X^] sont dits équivalents lorsqu'il existe deux entiers. |ji et X, tels que [(Xfx, , ... , u-!JL,„]= [XX,, ..., XXJ. Tous les modules équivalents entre eux forment une classe de modules. Dedekind a pris le concept de module comme base de ses recherches sur les nombres algébriques. [Dedekind '• '• •' '.]
Le carré du déterminant
est, on le voit facilement, un nombre entier rationnel, divisible par le carré de la norme de l'idéal m = ((A,, ..., {jl,J. On désigne par î) le quotient de ces deux carrés. On retrouve la même valeur D si l'on forme le même quotient pour tout module équivalent à [[x,, ..., [x^]. Le nombre entier rationnel D caractérise par conséquent la classe de modules déterminée par [u,, ..., u.„]; on lui donne le nom de discriminant de la classe de modules.
Les concepts de forme décomposable et de classe de formes pour le module se définissent d'une façon analogue à celle que nous avons donnée au S 3o pour le corps. [Dedekind*.]
THÉORIE
DES
MEMOIRE de M. David Hilbkht.
Professeur à l'Université de Gœttingen.
PUBLIÉ PAR LA SOCIÉTÉ
DEUTSCHE MATHEMATIKER VEREINIGUNG, en 1897.
Traduit par M. A. Levy.
Professeur au Lycée Saint-Louis.
