CHAPITRE X

Les idéaux premiers du corps de Galois et de ses sous-corps.

$ 36. — La décomposition lmqle des idéaux du corps de galois en idéaux premiers.

Un corps K qui coïncide a\ec tous ses corps conjugués est dit un corps de Galois. Soit k un corps quelconque de degré m et soit k', ... , k"'~' lès m corps conjugués à k, on peut, en réunissant tous les nombres appartenant aux corps k, k' , ..., k^'"~'\ former un nouveau corps K; ce corps K est alors nécessairement un corps de Galois, qui contient les corps k, k', ... , k^"'~'^ comme sous-corps. Tout corps k peut donc être considéré comme un sous-corps d'un corps de Galois. Par suite de cette circonstance nous n'apporterions aucune restriction essentielle à l'étude des nombres algébriques si nous commencions par étudier un corps de Galois. et si nous cherchions à voir ensuite comment les lois de décomposition des idéaux de ce corps de Galois se modifient lorsqu'on passe à un des sous-corps qu'il contient.

Fac. de T., 3a S., IL 29

220 D. HILBÈRT.

La démonstration de la décomposition unique des idéaux en idéaux premiers est très simple pour un corps de Galois [Hilbert^^]. Pour le voir, nous fixerons d'abord le sens de certaines notations.

Soit 0 le nombre entier qui détermine le corps K de degré M; © est une racine d'une équation irréductible de degré M à coefficients entiers et rationnels. Désignons les M racines de cette équation par

où s^, ..., Su désignent des fonctions rationnelles de 0 à coefficients rationnels. Si l'on considère s^@ , .... 5m6 comme des substitutions, elles forment un groupe G de degré M, car deux substitutions successives prises parmi ces M nous donnent encore une de ces substitutions. Soit G le groupe du corps de Galois K. Un idéal 3 qui ne change pas lorsqu'on y remplace ses nombres par leurs conjugués, c'est-à-dire

lorsqu'on fait les M — i substitutions s^ Sm sera dit un Idéal invariant. Un idéal

invariant a les propriétés suivantes :

Lemme II. — La puissance M!*™* de tout idéal invariante est un nombre entier rationnel.

Démonstration. — Soit A un nombre de l'idéal 3 et soient A,, A,, ..., Am les M fonctions symétriques élémentaires des nombres A = 5,A, ^^A, ..., s^A.. Nous désignerons par A le plus grand commun diviseur des M nombres rationnels entiers

De même supposons qu'on ait calculé les mêmes fonctions symétriques et le même plus grand commun diviseur relatifs à tous les nombres B, F. ... , de l'idéal 3 et soient B, C, ... ces diviseurs.

Soit J le plus grand commun diviseur de tous les nombres A, B, C, ... ainsi obtenus.

On a

En effet, les nombres conjugués à A étant aussi des nombres de 3. on a

et par suite tous les nombres (18) et de plus A sont ^ o, (3"').

Comme on peut en dire autant de B, C on a aussi J^o d'après 3**' .

D'autre part, les coefficients A,, A,, ..., Am de l'équation de degré M en A sont

divisibles respectivement par J*'' , ... , J"' et par suite A est divisible par J"^; comme on peut en dire autant de tous les nombres B, F, ... de l'idéal 3, il en résulte que 3**' est divisible par J.

Théorème 67. — A chaque idéal 21 du corps de Galois K on peut faire correspondre un autre idéal 93, tel que le produit 2(35 soit un idéal principal.

Démonstration. — L'idéal 3 = 21^,21 Syi% est un idéal invariant; donc,

d'après le lemme 11, l'idéal

est l'idéal indiqué au théorème 67.

Ce théorème 67 permet de développer les caractères de divisibilité dans un corps de Galois, comme on l'a fait au paragraphe 5 en vertu du théorème 8 pour un corps quelconque k.

Pour déduire alors des lois de divisibilité dans un corps de Galois, les lois de divisibilité pour un corps quelconque k, il faudra démontrer d'abord dans un corps de Galois les théorèmes de Kronecker i3 et i4 relatifs aux formes et on en conclura l'exactitude de ces lois pour un sous-corps k, ou bien on emploiera un moyen direct et approprié de transposition d'un corps à l'autre. [Hilbert*.]

5 87. — Les ÉLÉMEISTS, la différente et le DISCRIMIJiANT DU CORPS DE GALOIS.

Certaines notions établies antérieurement prennent un sens plus simple dans le corps de Galois. Ainsi lés éléments d'un corps de Galois sont des idéaux dans le corps lui-même et on a les faits suivants :

Théorème 68. — Les éléments d'un corps de Galois K se transforment les uns dans les autres par les substitutions 5,, ..., s^. La différente 'S> du corps K est un idéal invariant, et le discriminant D = + N(î£)) est comme idéal la M« puissance de ^.

Démonstration. — Désignons par Q,, ..,, Qj, une base du corps K, les éléments de K sont des idéaux de la forme

©« = (0. — 5mQ,, ..., Qm-5mQm).

Appliquons une substitution quelconque s à l'un de ces éléments 6v et remarquons que les nombres sQ,, ..., sQm forment encore une base du corps; il en résulte que si l'on pose ss^ = s^'S :

L'invariance de la différente du corps résulte de sa représentation

228 D. HTLBERT.

§ 38. — Les sous-corps du coups de galois.

Le corps de Galois permet une étude précise des lois de décomposition de ses nombres en tenant compte des sous-corps qu'il contient, et les résultats qu'on obtient ainsi sont très importants lorsqu'on veut appliquer la théorie générale des corps à des corps algébriques particuliers. [Hilbert^]

Pour caractériser simplement un sous-corps du corps de Galois, nous emploierons les expressions suivantes : Lorsque /'substitutions^^^i.s^, ...,5^ du groupe G forment un sous-groupe g de degré r, l'ensemble des nombres de K qui ne changent pas

lorsqu'on applique toutes ces substitutions g, forme un corps contenu dans K et de

Aï

degré m^—. Nous nommerons ce corps k le sous-corps correspondant au sousgroupe g.

Le corps de Galois appartient au groupe formé par ,f ^ =: i ; au groupe G des M substitutions s correspond le corps des nombres rationnels. — Réciproquement, chaque sous-corps k du corps de Galois appartient à un certain sous-groupe g du groupe G. Le groupe g s'appelle alors le sous-groupe qui détermine le corps Ar.

§ 39. — Les corps de décomposition et le corps d'inertie d'un idéal premier ?p.

Choisissons dans le corps de Galois K un certain idéal premier ^ de degré/; il y a un certain nombre de sous-corps de K s'emboitant les uns dans les autres, caractérisés par l'idéal premier ^ et dont nous allons développer brièvement les merveilleuses propriétés.

Soit/) le nombre premier rationnel divisible par ^P; de plus, soient z, z', z", ..., les r. substitutions du groupe G qui laissent invariable l'idéal premier <^>; elles forment un groupe de degré r. que nous nommerons le groupe de décomposition de l'idéal premier ^ et que nous désignerons par g.. Le corps k. correspondant au groupe g. sera dit le corps de décomposition de l'idéal premier ^ ; il est de

degré m = — .

De plus, soient t, /', /", ... toutes les substitutions s du corps telles que pour tout

nombre entier Q du corps K on ait *Q ^ Q suivant ^ et soit r^ leur nombre, on voit

facilement que ces substitutions forment un groupe de degré r^. Ce groupe, nous le

nommerons le groupe d'inertie de l'idéal premier ^ et nous le désignerons par g^. Le

corps kf qui correspond à g^ nous le désignerons par corps d'inertie de l'idéal pre-

mier ^> ; il est de degré w, = — .

Le rapport entre le groupe d'inertie et le groupe de décomposition résulte des faits suivants :

Théorème 6g. — Le sous-groupe d'inertie g^ de l'idéal premier sp est un sousgroupe invariant du groupe de décomposition g,. On obtient toutes les substitutions du groupe de décomposition et on n'obtient qu'une fois chacune d'elles en multipliant les substitutions du groupe d'inertie par i, z, z^, .... z'^~\ où z est une substitution appropriée du groupe de décomposition.

Démonstration. — Soit / une substitution quelconque de g^ et Q un nombre entier du corps K divisible par 5J>. Posons Q' ^ /~*Q ; on a, en vertu de la propriété du corps d'inertie ù'^fQ'^Q suivant^, c'est-à-dire Q'^o suivant^. L'application de la substitution / donne Q ^o suivant l'idéal premier /^. Comme ceci a lieu pour tous les nombres Q de l'idéal premier ^, il faut que ^ soit divisible par t^ et, par suite, ^ = t^. c'est-à-dire que le groupe d'inertie est un sous-groupe du groupe de décomposition.

Désignons maintenant par P un nombre primitif de l'idéal premier ^ congru à o suivant tous les idéaux conjugués à ?P et premiers avec ^. Le théorème 25 montre que l'on peut former un pareil nombre. Ceci fait, composons la fonction entière à coefficients entiers de degré M en a:* :

¥(x) = {x — s,P){x — s^V) ... (x — s,iP).

Comme P est une racine entière de la congruence F(a")^o suivant ^, on sait, d'après le théorème 27, que P** est aussi racine de cette congruence, et il résulte de là que, parmi les M substitutions, l'une au moins donne ^P^P** suivant ^. Si alors on avait s~'^ =|= ^, on aurait, en vertu du choix de P, la congruence P ^ o suivant s~'^, et. par suite. ^P^o suivant^, ce qui est contraire à la congruence trouvée précédemment.

A cause de s?J>r=?^ la substitution s appartient au groupe de décomposition; posons s = z; en appliquant plusieurs fois de suite la substitution z à la congruence zV^P'' suivant ^, nous aurons

z'-P^V'-, z'P = VP\ ..., z^P=I>p^=P (suivant«t>);

c'est pourquoi z^ est une substitution du groupe d'inertie, car tout nombre entier du corps Q du corps K peut être mis sous la forme de Q = P" -f- Il ou = II, où a est un nombre entier rationnel et n un nombre du corps divisible par ^. A cause de 2^^^=^ on a en effet z'^Q ^ Q suivant ^.

La congruence zP^P'' suivant ^ nous apprend que z~HzP^P suivant ^, où / est une substitution quelconque du groupe d'inertie g^. Si nous posons z' = z~Hz et si Q est un nombre entier du corps tel que Q ^ P" suivant (^), zQ ^ (zP)" ^ P" ^ Q suivant ^, et de même si Q^o suivant ^, c'est-à-dire que z'^z~Hz appartient au groupe d'inertie.

23o D. HILBERT.

Soit donc P(P) la fonction entière à coefficients entiers de degré /de P qui ^o suivant ^ ; alors, d'après le théorème 27, la congruence P(£c) ^ o suivant ^ admet les racines P, P^, P*" ~*, et d'après le théorème 26 elle n'en a pas d'autres.

Soit maintenant z* une substitution quelconque du groupe de décomposition; il résulte de la congruence P(P)^o suivant ^, que P(z*P) ^ o, et, par suite,

2*p^ pp^ suivant ^, où i a l'une des / valeurs o, i / — i. Comme d'autre part

P^' = z'P, 2~'2*P ^ P suivant «p, et, par suite, z~^z* est une substitution t du groupe d'inertie, c'est-à-dire z* = z7 .

Toutes les substitutions du groupe de décomposition peuvent donc être représentées sous cette forme, et comme réciproquement z'f pour i=o, I, ...,/ — I représente des substitutions distinctes, la dernière partie du théorème 69 est démontrée. Enfin, l'invariance du groupe d'inertie résulte de ce fait que z~Hz appartient à ce groupe. De plus, on a r. =/r^ .

§ 4o. — Un TnÉORÈME relatif au corps de décomposition.

Le théorème suivant exprime la propriété la plus importante du corps de décomposition.

Théorème 70. — L'idéal '^ = ?ï>''' est situé dans le corps Ar^ et il est un idéal premier de ce corps du premier degré. Dans le corps de décomposition k., p^pa, où a est un idéal premier avec p .

Démonstration. — La norme relative de l'idéal premier ^ par rapport au corps k. est Nfc.(5ï>) = ^''' . Pour trouver la plus petite puissance de l'idéal premier ^ située dans /Cj, supposons qu'on ait trouvé le plus grand commun diviseur des nombres entiers de k. qui sont divisibles par ^. Ce nombre est nécessairement un idéal premier p de k., et comme ^'- est dans k. . p est certainement une puissance de ^, soit :p = '5|>". Pour déterminer u, nous ferons les considérations suivantes. Soit A un nombre de K qui n'est pas divisible par 5^ et qui satisfait à A ^^ zA suivant ^ et si A^P' suivant ^, i^pi suivant p^ — i, et, par suite, i est divisible par i +p4-/>* ... -i- p^~* , c'est-à-dire qu'il n'y a que p — i nombres incongrus suivant ^ de la forme considérée; on a donc A^a suivant ^, où a est un nombre entier rationnel. De là, il résulte en particulier que tout nombre a du corps k. est congru à un nombre rationnel a suivant ^S , et par suite aussi suivant p, c'est-à-dire que p est un idéal premier du premier degré du corps k. et la norme de p dans ce corps k.=^p.

D'autre part, dans le corps K, la norme de p satisfait à N(:p) = ai(^))''-, et à cause de :p = ?ï>" et de N(?J>) =/)^ il résulte p''^ = p''', c'est-à-dire m= /\.

La définition du corps de décomposition donne N(sp) = ^''-51 , où 21 est un idéal premier avec ^. Si p = pa, qn a lS(^)=p^ =p'^a'^, et, par suite. a^ = %, ce qui démontre la dernière partie du théorème 70.

S 4i. — Le corps de ramification d'un idéal premier ^.

Nous allons étudier de plus près la nature du corps d'inertie et désigner par A un nombre bien déterminé du corps K divisible par ^ et non par «ï>*, et nous déterminerons pour toutes les substitutions du corps d'inertie t, t', f, ... les congruences

<A=P"AJ

rA = P"''A)

où a, a , a", ... sont des nombres de la suite o.i,2,...,p'^ — 2.

Parmi ces substitutions t, t', t", ..., désignons paru, v', v", ... celles qui correspondent à la valeur zéro des exposants a, a', a", soit r,, leur nombre; elles forment, il est facile de le voir, un sous-groupe invariant du groupe d'inertie. Nous désignerons ce sous-groupe de degré r,, par le nom de sous-groupe de ramification (Verzweigungsgruppe) de l'idéal premier ^, et nous écrirons g^.. Le corps k^ qui lui appartient sera dit le corps de ramification de l'idéal premier ^.

Le théorème suivant caractérise les rapports du groupe de ramification et du groupe d'inertie.

Théorème 71. — Le groupe de ramification g^ est un sous-groupe invariant du groupe d'inertie; son degré est une puissance de/), soit r^=^p'. On obtient toutes les substitutions du groupe d'inertie et on n'obtient qu'une fois chacune d'elles, en multipliant chaque substitution du groupe de ramification par i, /, /*, ..., /*"*, où

r h = —^el où / est une substitution convenablement choisie du groupe d'inertie;

h est un diviseur de p'^ — i .

Démonstration. — Soit ^" une puissance assez élevée de ^ pour que pour toute substitution v du groupe de ramification différente de i, on ait yA=[zA suivant ^". Posons l'A^A + BA* suivant «|)^ B désignant un entier de K, il en résulte que i'''A^A suivant ?})', et, de même, u^'A^A suivant «ï>* et ainsi de suite; enfin, tiP"-»A^ A suivant «P". Il en résulte que v''"~*= i, c'est-à-dire que le degré 7\, du groupe de décomposition est une puissance de p; soit rj,=p'.

Soit maintenant a le plus petit parmi les exposants a, a' , a" , ... qui ne sont pas nuls, et soit h le nombre de ces exposants distincts. Tous ces nombres seront des multiples de a et coïncident avec o, a, aa, ..., (h — i)a; et. de plus, ha=p'^ — i. Nous reconnaissons en même temps que toutes les substitutions du groupe d'inertie peuvent être mises sous la forme t'v, où i prend les valeurs 0,1,...,^ — t, et où u parcourt toutes les substitutions du groupe de ramification g^,. On a donc

/', = hr^.

§ 42. — Un théorème relatif au corps d'inertie.

Le théorème suivant va nous expliquer comment se comportent les idéaux «^ et :p dans le corps k^ .

Théorème 72. — Tout nombre du corps K est congru suivant 5J> à un nombre du corps d'inertie. Le corps d'inertie ne décompose pas ^, mais il en élève le degré, en ce que p, en passant du corps k., où il est un idéal premier du premier degré, se transforme en passant dans le corps supérieur k^ en un idéal premier du degré/.

Démonstration. — Posons

z=juP, u'P, y"P, ...jp'<^-'*,

X == ^ (îc + /x + fV +... + /*-::) ;

nous entendons par P un nombre primitif suivant ^ et par t une substitution comme au théorème 71, le nombre 7: est un nombre du corps Ar^, et le nombre •/. est situé dans le corps k^. Pour le démontrer, il suffît de se rappeler que 7. reste inaltéré lorsqu'on hii applique la substitution /, car /'' appartient à </,, et parce que les nombres x, <x, ..., t^~*'K ne sont pas altérés par une substitution appartenant à gr,,. Ces deux nombres TU et X sont tous deux congrus suivant l'idéal premier ^ au nombre primitif P. Comme par suite k^ contient exactement/)'^ nombres incongrus suivant ^, p = ^''i ne peut se décomposer dans le corps k^ et il est dans ce corps un idéal premier de degré/.

§ 43. — Théorèmes relatifs au groupe de ramification et au corps de ramification.

Il est facile dès lors d'établir la propriété caractéristique du groupe de ramification et qui est la suivante :

Théorème 78. — Le groupe de ramification g^ se compose de toutes les substitutions s qui, appliquées h tous les nombres entiers Q du corps K, donnent la congruence

sÇl^Q. suivant ^* .

Démonstration. — Soit O de k congru à m du corps d'inertie suivant ^, posons par suite Q — o)^BA suivant ^^ où A a le sens du paragraphe 4i et où B est un nombre convenablement choisi du corps K. Si nous appliquons une substitution v du corps de ramification, il vient vQ, — (o^y(BA)^BA^Q — w, c'est-à-dire l'Q^Q suivant ^^ . '

On reconnaît de plus facilement que l'on a :

THÉORIE DES CORPS DE NOxMBRES ALGEBRIQUES. 2 33

Théorème 74. — L'idéal :p,, = ?!>''«' est situé dans le corps de ramification, dans lequel il a le degré/, et l'on voit que, dans le corps de ramification, l'idéal :p = t>^ se décompose en h facteurs premiers égaux.

§ 44- — Les coups de ramification soulignés d'un idéal premier ^.

Nous nous proposons maintenant d'examiner de plus près la séparation de l'idéal pp en facteurs égaux.

Nous désignerons par L le plus grand exposant tel que pour toute substitution v du groupe de ramification, tous les nombres entiers du corps K satisfassent à l'Q^l} suivant ^^, et nous déterminerons toutes les substitutions s du groupe de ramification, telles que sQ^Q suivant ^P*-"^' ; elles forment un sous-groupe g- du groupe de ramification que nous appellerons le groupe de ramification une fois souligné de l'idéal premier ^. Le corps k- correspondant à g- sera dit le corps de ramification une fois souligné de l'idéal ^S.

Voici les propriétés les plus importantes de ce corps.

Théorème 75. — Le groupe de ramification une fois souligné g- est un sousgroupe du groupe de ramification g^,. Soit /'- =/>^ son degré. On obtient toutes les substitutions de g^ et on ne les obtient qu'une fois, en multipliant loules les substitutions du groupe de ramification souligné une fois g- par certaines substitutions en nombre />«, t',, i\, ... , v^ë du groupe de ramification ; ici ces />'' substitutions offrent cette particularité que pour deux quelconques d'entre elles i\, i\', on ait toujours une relation de la forme v,v,' = iy-vJi, où v est une substitution de a- . L'idéal

p- = ^''v est un idéal premier dans k-: et, par suite, dans k-, l'idéal p^^p- se sépare en /)'' facteurs premiers égaux ; et ë est un exposant qui ne dépasse pas le degré /de l'idéal premier ^.

Démonstration. — Soit A un entier de K divisible par ^ et non par >P*; déterminons un système de substitutions i', . ... , v^ du groupe de ramification tel que, si l'on pose

y A = \ + B,A' , . . . , y^A = A -f- B^AS (>P' +•)

les nombres entiers B, , ..., B,. soient tous incongrus suivant ^, et tel qu'on ne puisse ajouter à ce système i\, ..., u^ de nouvelle substitution qui ne soit en contradiction avec la dernière condition.

Choisissons alors une substitution quelconque v* du groupe de ramification g^, et posons y*A^A-|-BA'^ suivant ^^+\ B sera congru à l'un des nombres B,, ..., B^ suivant ^; soit, par exemple, B^B. suivant ^, il en résulte que y.~'y*A^A suivant 5p''+'. Le théorème 72 nous apprend que tout nombre entier Q de K est congru Fac. de T., 3r S., H. 3o

D. IIILBERT.

ù une expression a, 4- [i^ V + ... + >,,A'' suivant ^'■+', où a^, j3^, .... X, sont des nombres entiers du corps d'inerlie, et il s'ensuit que Q satisfait à v~*v*Q^Ù suivant ^'-+'. c'est-à-dire que v~^v* = v ou que t»* = u.y. Cette égalité démontre les propriétés du groupe </- affirmées au théorème 76.

Posons r- = p^ et soit ë=/ — T.

On voit comment il faut poursuivre la mélhode. Soit L l'exposant le plus élevé, tel que pour toute substitution v tous les nombres du corps K satisfont à la congruence vù^Q suivant ^^, nous déterminerons toutes les substitutions y pour lesquelles on a constamment yQ^^Q suivant ^^+'. Ces substitutions forment un sous-groupe invariant g= du groupe g^,. le groupe de ramification deux fois souligné de l'idéal premier ^, soit r^^^^p' son degré; posons ^=7 — /, on a p-zz=zpp^ , où p^^ est un idéal premier du corps k= qui correspond à g~.

En continuant ainsi nous atteindrons le groupe de ramification trois fois souligné et ainsi de suite. Supposons que le groupe de ramification i fois souligné de l'idéal premier ^ soit celui qui ne contient plus que la substitution 1 ; le corps de ramification i fois souligné de l'idéal premier ^ est alors le corps K lui-même et la nature de gr„ nous est alors parfaitement connue. II est évident qu'il ne peut exister de corps de ramification soulignés de l'idéal premier ^, que si le degré M du corps K est divisible par />.

§ 45. — Un résumé «apide des théorèmes relatifs a la décomposition d'un nombre premier rationnel p dans le corps de galois.

Les théorèmes démontrés du paragraphe 89 au paragraphe 44 nous montrent tout à fait ce qui se passe lorsqu'on décompose un nombre premier rationnel p dans un corps de Galois.

S'il s'agit d'un facteur déterminé ^ de, p, nous commencerons par mettre p sous la forme p = pa dans le corps de décomposition de ^, où p est un idéal premier du premier degré et où a est un idéal du corps de décomposition qui n'est pas divisible par p.

Le corps de décomposition de ^ est contenu comme sous-corps dans le corps d'inertie de ^, qui, de son côté, ne produit aucune décomposition de p, mais qui a fait de p un idéal premier de degré/. Si le corps R est lui-même le corps de décomposition ou le corps d'inertie, ce premier pas termine la décomposition. Sinon p peut encore être décomposé en d'autres facteurs dans K, ainsi p devient d'abord dans le corps de ramification la puissance d'un idéal premier p^,, dont l'exposant est contenu dans p^ — I et n'est par suite pas divisible par p.

La condition nécessaire et suffisante pour que la décomposition de p soit alors

terminée, est que p ne soit pas contenu dans le degré du groupe d'inertie et que. par suite, le corps K soit lui-même le corps de ramification.

Dans les corps de ramification soulignés, la décomposition se poursuit sans cesse et les exposants des puissances sont de la forme p^ , />*, ... et aucun des exposants ê, e ne dépasse le degré/ de l'idéal premier ^ .

La table qui va suivre donne une \ue d'ensemble sur les résultats; la première ligne désigne les corps, la seconde les degrés des groupes correspondants, la troisième les degrés des corps, la quatrième leur degré relatif par rapport au corps immédiatement inférieur, la cinquième les idéaux premiers des corps et leurs représentations au moyen des puissances de ?|) .

Nous admettrons que K est un corps de ramification trois fois souligné.

Tous les nombres indiquant les degrés ou les exposants dans cette table ont pour tout idéal premier du corps K qui divise p les mêmes valeurs que pour ^ ; ils sont, par suite, parfaitement déterminés par p.

ni = —

P — Pv

Pv = Pv

Pe=pi

Pc, = ^''^

2 36 D. HrLBERT.