CHAPITRE XI

Les différentes et les discriminants du corps de Galois et de ses sous-corps.

§ 46. — Les différentes du corps d'inertie et des corps de ramification.

En rapprochant les résultats que nous venons d'acquérir de ceux du chapitre Y, nous aurons une source de vérités nouvelles. C'est ainsi , qu'en vertu du paragraphe 4i» nous pouvons énoncer un théorème qui va nous donner les propriétés les plus importantes du corps d'inertie.

Théorème 76. — l^a difTérente du corps d'inertie relatif à l'idéal premier ^ n'est pas divisible par ^. Le corps d'inertie comprend tous les sous-corps de K dont les diiTérentes ne sont pas divisibles par ^.

En ce qui concerne les diiTérentes des corps de ramification, on a les théorèmes suivants :

Théorème 77. — La difTérente relative du corps de ramification par rapport au corps d'inertie est divisible par ^'■'~'' = p'^-^ , et elle n'est pas divisible par une puissance supérieure de ^.

Démonstration. — Soit a un nombre entier de A:,, qui est divisible par p^=:^'''' , mais qui ne l'est pas par :p*, et soit A un nombre de K divisible par ^ , mais ne contenant pas ^^ .

Posons -— ^P' suivant ^, P désignant un nombre primitif suivant ^, on a

a^P'^A''" suivant p,,^. Soit dès lors /* une substitution quelconque du corps d'inertie qui n'appartient pas à g^ et supposons que TA^P^'A suivant ^'^, où a* est l'un des nombres a, 2a. ..., {h — \)a [voir S 4i]» il en résultera que

t*x = V -"-''' Sr'= P°"'"a, {p^!^).

Comme r,, est une puissance de p, P°'''"e|e i suivant ^ , et, par suite, a — Ta ne peut être divisible par :|),,^, il est donc exactement divisible par p^,=^^'''\ Si, de plus, (1) est un nombre quelconque de Ar^, , ce nombre, d'après le théorème 72, est nécessairement congru suivant ^ à un nombre w^ du corps d'inertie; il en résulte que co — t*M ^ o suivant p^ . D'où nous pouvons conclure que la difTérente considérée est exactement divisible par «p<"-*"-" = s^'-i-'-' .

On démontre de même le fait suivant :

Théorème 78. — La différente relative du corps de ramification souligné une fois par rapport au corps de ramification k^,, contient exactement ^^^''*'~''v^ = pJ" ~^\ La différente relative du corps de ramification deux fois souligné k= par rapport à A-

contient exactement ^"'û^''^' = f)"'' ~'* et ainsi de suite.

§ 47- — Les diviselhs des discrimixa^jts du corps de galois.

Théouème 79. — Le nombre premier rationnel p est contenu dans le discriminant D du corps K à une puissance dont l'exposant est :

m^ \ i\ — /\. -f h{ro -^ n) + L{ri. — rg) +...}.

Démonstration. — Le théorème 4i rapproché des théorèmes 76, 77, 78 nous apprend que la différente D du corps K contient l'idéal premier ^ exactement à la puissance

r, — 1\ + L(/'v — rv) + L(rr — r=.) -f- . ..

le théorème 68 exige alors l'exactitude de notre proposition.

Dans le cas où il n'existe pas de corps ramifié souligné, l'exposant de p prend dans D la valeur m^{r^ — i).

D'après ce qui précède, ce cas se présentera toutes les fois que p est premier avec M .

Ce résultat est à comparer aux remarques du paragraphe 12.

Théorème 80. — L'exposant de la puissance du nombre premier rationnel/) contenue dans le discriminant D ne dépasse pas une certaine limite qui ne dépend que du degré M du corps de Galois K.

Démonstration. — Tous les exposants L, L, ... qui correspondent à un certain idéal premier ^ sont inférieurs à une limite déterminée par le nombre M. Pour trouver la limite de L, nous désignerons par co un nombre entier de A*- divisible par p-, mais non divisible par p't, et nous choisirons un système dep'' substitutions i\, Uj, ..., l'pP du groupe de ramification, tels qu'en les composant avec g- on obtienne gr„. Le nombre

a = i\ M + l'.o) + . . . + UpP(o

ne sera pas altéré par une substitution de g^; il appartient au corps /f,,. D'autre part, (o^uo) suivant ^^ , et, par suite, a^j3''w suivant ^^.

Si donconavait h'^er^-{-r-, on aurait a^o suivant :p'':p- et e|e o suivant p''p-^. Si donc l'on fait p^pa, où a est un idéal du corps de décomposition premier avec ^), et si l'on désigne par 7 un nombre de ce corps divisible par a et premier

a Y^ avec », ri=:— i- est un nombre entier de /i„; ce nombre serait divisible par p- et ne

p,. t f TV

le serait pas par p,.^ , et, par suite, contrairement au théorème 70, p^ serait un idéal du corps k\,. Comme on peut trouver de même une limite supérieure pour les autres exposants L, ..., on voit que l'exposant (indiqué au théorème 79) de la puissance de p contenue dans D ne peut dépasser une certaine limite qui ne dépend que du degré M du corps K .

Le théorème 80 a d'autant plus d'importance qu'il limite a priori le nombre des nombres premiers contenus dans M . Rangeons dans un même type tous les corps de degré M pour lesquels la décomposition en facteurs premiers de M donne les mêmes valeurs pour les nombres considérés précédemment. Nous pouvons affirmer que, pour une valeur donnée de M, il n'y a qu'un nombre limité de types de corps possibles.

Comme exemple du théorème 80, nous indiquerons le corps quadratique (traité complètement dans la troisième partie de ce livre) et dont le discriminant contient tout nombre premier impair au plus à la première puissance et le nombre premiers au plus à la troisième. (Voir S 69, théorème 96.)