CHAPITRE XII

Les rapports entre les propriétés arithmétiques et les propriétés algébriques

du corps de Galois.

§ 48. — Le corps de galois relatif, le corps abélie> relatif,

LE CORPS cyclique RELATIF.

Lorsque le groupe G des substitutions s^, ..., Sm d'un groupe de Galois forme un groupe abélien, c'est-à-dire lorsque les substitutions s^, ..., 5.m peuvent se permuter entre elles, le corps de Galois K est un corps abélien.

En particulier, si ce groupe de substitutions G est cyclique, c'est-à-dire si les M substitutions s^, ..., «m peuvent toutes être représentées par des puissances de l'une d'entre elles, le corps abélien K est dit un corps cyclique.

En appliquant aux substitutions d'un groupe abélien les considérations faites au numéro 28 pour les classes d'idéaux, on arrive au théorème : tout corps abélien est composé de corps cycliques. D'autre part, les corps cycliques se composent à leur tour de corps cycliques particuliers, ceux dont le degré est un nombre premier ou la puissance d'un nombre premier.

Ces notions peuvent être généralisées ainsi :

Soit 0 une racine de l'équation de degré / :

0'-fa,0'-* + ... + a, = o,

dont les coefficients a, ... , a^ appartiennent à un corps k de degré m . Supposons de plus cette équation irréductible dans le domaine k de rationalité et qu'elle ait la propriété suivante, les / — i autres racines 0', ..., 6'~' de cette équation sont des fonctions entières rationnelles de 0 dont les coefficients sont des nombres de k.

Le corps de nombre K composé de 0 et des nombres de k est dit alors un corps de Galois relatif par rapport au corps k de degré M = Im .

Le degré / de l'équation précédente est le degré relatif de K .

Sil'onpose 0 = S,0, 0'=S,0, 0'-' = S,0, le groupe des substitutions S^, S,, ..., S^ est appelé le groupe relatif; si ce groupe est abélien, le corps R est dit un corps abélien relatif par rapport à k. Si ce groupe relatif est cyclique, le corps K est dit cyclique relatif par rapport à k.

S /iQ. — Les propriétés algébriques du corps d'inertie et du corps de ramification. — La représentation des nombres du corps de galois par des radicaux

DANS le domaine DU CORPS DE DÉCOMPOSITION.

A l'aide des notions que nous venons de définir, nous pourrons énoncer très simplement quelques propriétés algébriques importantes du corps de décomposition et du corps d'inertie, ainsi que des corps de ramification, qui sont d'ailleurs une conséquence des propriétés de leurs groupes démontrées plus haut.

Théorème 81. — Le corps d'inertie k^ est un corps cyclique relatif de degré relatif /par rapport au corps de décomposition k.. Le corps de ramification A",, est cyclique relatif de degré relatif h par rapport à k^. Le corps de ramification une fois souligné /i- est un corps abélien relatif de degré relatif p^ par rapport à A-,,; le corps A'= est un corps abélien relatif de degré relatif p*" par rapport à A- et ainsi de suite. Les groupes abéliens relatifs des corps A-, A'= ... ne contiennent que des substitutions de degré p.

D'après ce théorème 81, la séparation en facteurs égaux s'opère au moyen d'une suite d'équations abélienncs, et ce résultat exprime une propriété surprenante et nouvelle du corps de décomposition.

Théorème 82. — Le corps de décomposition de tout idéal premier dans R détermine un domaine de rationalité, dans lequel les nombres du corps primitif R s'expriment uniquement au moyen de radicaux.

Ce théorème 82 met bien en lumière toute l'importance des équations solubles par radicaux ; car il montre que dans le problème de la décomposition des nombres en idéaux premiers, les solutions les plus importantes et les plus difficiles se présentent pour les corps relatifs, dont les nombres peuvent être représentés au moyen de radicaux dans certains domaines de rationalité.

2 4o D. IIILBERT.

§ 5o. — h^ DENSITÉ DES IDÉAUX PREMIERS DU PREMIER DEGRÉ ET LE RAPPORT EINTRE CETTE DEKSITÉ ET LES PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES DU CORPS.

C'est un fait merveilleux que la fréquence de certains idéaux premiers du premier degré d'un corps permet de conclure des propositions relatives à la nature algébrique de ce corps. [Kronecker '*.]

Soit k un corps quelconque de degré m et soit p. un nombre premier rationnel qui peut se décomposer exactement en i idéaux premiers distincts du premier degré. Si la limite

log

existe, en supposant que la somme écrite au numérateur s'étende à tous les nombres premiers/)., nous dirons que les nombres premiers de l'espèce p^ ont une densité; si cette limite a pour valeur A., nous dirons que A^ est la densité des nombres premiers delà forme/);. Kronecker admet implicitement, dans ses recherches, que les nombres

premiers des m sortes p^, p^ p^^ ont une densité. La vérité de cette hypothèse n'a

pas encore été démontrée ('). Par contre, on arrive à démontrer le théorème suivant :

Théorème 83. — Si m — i sortes de nombres premiers parmi les m sortes p,, ...,/)„, d'un corps de degré m ont une densité, la m' aussi a une densité et on a entre les m densités la relation

A, + 2A,+ ... + mA,„=i.

Démonslndion. — Employant la deuxième expression de Z{s) indiquée au numéro 37 et prenant le logarithme, il vient

(1) Dans le cas où le groupe de l'équation qui détermine k est le groupe symétrique, les remarques de Kronecker permettent de déterminer les densités A^, ..., A„, ; Frobenius a démontré l'existence de ces densités et a déterminé leurs valeurs; ce sont des nombres rationnels (jui dépendent du groupe de l'équation de k. [Frobenius \]

OÙ les sommes s'étendent à tous les idéaux premiers p du corps. Désignons par p, les idéaux premiers du premier degré; nous aurons évidemment

où la. somme du premier membre s'étend à tous les idéaux du premier degré et où la somme du second membre s'étend h tous les nombres premiers rationnels/>.,/j^, ...,/),„.

Nous remarquons, d'autre part, que pour tous les idéaux p de degré supérieur au premier n{p) ^/)*, et qu'un nombre premier quelconque/) contient au plus m idéaux premiers ; il en résulte que

où la dernière somme s'étend à tous les entiers /z> i. On trouve de même que

On déduit de ces inégalités que

iog:(.)-y '

tend vers une limite finie pour s= i.

D'après le théorème 56, log Z(s) — log tend aussi vers une limite finie

pour 5 = 1; on peut en dire autant de

y-^-iog-^,

c'est-à-dire que

n(pj

ls=\)

log

d'où, en tenant compte de (19), la vérité de notre affirmation.

Pour un corps de Galois K de degré M, on a A^ = o , A^ =: o , . . . , ^„^^ = o , et, par suite, en vertu du théorème 83, le

Fac. de T., 3« S., IL 3i

Théorème 84- — Dans un corps de Galois de degré M, les nombres premiers p^ qui se décomposent en idéaux premiers du premier degré ont une densité, cette densité

est Aj, = — .

Soit A- un corps quelconque et K le corps de Galois de degré M formé de k et de ses conjugués k' , ..., /i*"'~**. on reconnaît facilement que les nombres premiers y>,„ de k coïncident avec les nombres premiers pv de k , et par suite les nombres premiers p„ de k ont une densité, et cette densité est égale à—, c'est-à-dire à l'inverse '" M

du degré de la résolvante de Galois. [Kronecker^'.]