CHAPITRE XllI

La composition des corps de nombres.

§ 5i. — Le corps de Galois composé d'un corps k et de ses conjugués.

Théorème 85. — Si des deux corps /i, et k^ on compose un corps K, le discriminant du corps composé contient comme facteurs premiers rationnels ceux contenus dans le discriminant de k^, ou dans celui de k^, ou dans les deux, et ne contient que ceux-là.

La démonstration de ce théorème résulte immédiatement du théorème Sg. Une conséquence immédiate du théorème 85 est la suivante :

Théorème 86. — Si d'un corps k de degré m et de tous ses corps conjugués k', ... , /i''""'' on compose un corps de Galois K, le discriminant du corps R contient tous les facteurs premiers de k et il n'en contient pas d'autres.

§ 52. — La composition de deux corps dont les discriminants sont premiers entre eux.

Le cas de deux corps dont les discriminants sont premiers entre eux présente un intérêt particulier. Le théorème le plus important et le plus fertile de ce cas est le suivant :

Théorème 87. — Deux corps k^ et k^ de degrés respectifs w,, m^, dont les discriminants sont premiers entre eux, se composent toujours en un corps de degré mjii„.

Démonstration. — Soit K^ le corps de Galois composé de /t\ et de tous ses conjugués ; le discriminant de K^, d'après le théorème 86, est premier avec celui de k^.

Soit j un nombre qui détermine k^ ; ce nombre est racine d'une équation irréductible de degré m, à coefficients entiers et rationnels.

Si donc le corps composé de h\ et de k^ était d'un degré inférieur à ni^rn^, cette équation se réduirait dans le domaine k^, c'est-à-dire que j serait racine d'une équation de la forme

de degré r<^m^ et dont les coefficients a^, ..., a^ seraient des nombres de k^. Soit k le corps de nombres formé avec a, , ... , a^. Comme a^, ... , a^ peuvent être exprimées rationnellement en fonction des racines de la dernière équation, k est un sous-corps de fr, , et comme k est aussi un sous-corps de k^, le discriminant de k d'après le tbéorème 89 diviserait celui de A\ et celui de A'^, et le discriminant de ce corps k serait égal à I, ce qui est contraire au théorème 44-

Nous signalerons encore les faits suivants, faciles à vérifier.

Théorème 88. — Si Ar, et A, sont deux corps, le premier de degré /;?, , le second de degré m^ de discriminants d^ et d^ premiers entre eux, le discriminant du corps composé K est d'p^d^' .

On obtient les nombres d'une base du corps K, en multipliant chacun des m^, nombres d'une base du corps A, , par chacun des m,, nombres d'une base du corps k . Soit p un nombre rationnel qui se décompose en /> = !|)^' ip^' ... ip,^»" dans k^ et en p = <\t<^i-- <\3, où p,, ..., p^ sont des idéaux premiers distincts de k^, et q,, q^

des idéaux distincts de k^; on a dans K la décomposition p= j \3u, où le produit

s'étend à /=i, .... r, l=i, ..., s. et où 3^, est l'idéal de R défini comme étant le plus grand commun diviseur de p^ et de q^. Les idéaux 3^^ ne sont pas nécessairement des idéaux premiers de K .

Lorsqu'on part de deux corps k^, k^ de discriminants quelconques, la solution de la question ne devient simple que si l'on fait des hypothèses restrictives sur la nature du corps et des nombres premiers que l'on veut décomposer. [IlenseP.]

Les résultats exposés dans les chapitres X à XIII me semblent être les principes les plus importants d'une théorie des idéaux et des discriminants d'un corps de Galois. Les méthodes suivies pourraient encore être développées dans bien des directions, en particulier on pourrait étendre sans y changer beaucoup au corps de Galois relatif une série de théorèmes démontrés depuis le paragraphe 89 jusqu'au paragraphe 44- [Dedeltind**.]