CHAPITRE XIV

Les idéaux premiers du premier degré et la notion de classe.

§ 53. — Les idéaux premiers du premier degré e:ngeindrent des classes d'idéaux.

Il est intéressant de voir que les principes développés dans les chapitres X-Xll éclairent aussi la génération et la nature des classes d'idéaux. Nous exposerons dans ce chapitre et dans le suivant les théorèmes généraux importants relatifs à ces questions. Le premier théorème concerne la génération des classes d'idéaux d'un corps de Galois au moyen d'idéaux premiers du premier degré et s'énonce :

Théorème 89. — Dans toute classe d'idéaux d'un corps de Galois il y a des idéaux dont tous les facteurs premiers sont des idéaux du premier degré.

Nous- démontrerons d'abord le

Lemme 12. — Soit K un corps de Galois de degré M et de discriminant D et «P un idéal premier de ce corps de degré /> i qui n'est pas contenu dans DM ! ; il y a toujours dans K un nombre entier Q premier avec DM! , divisible par ^ et non par 5^*, et dont tous les autres facteurs premiers sont de degré inférieur à/.

Démonstration. — Soit P un entier du corps K, tel que tout autre entier Q soit congru à une fonction entière à coefficients entiers de P suivant (^)*. D'après le théorème 29, ce nombre existe. Désignons par (^'), ..., (^*"'') les idéaux conjugués de ^ et distincts de ^, et déterminons un nombre A de R qui satisfait aux con-

gruences

Et soit z une substitution du groupe de décomposition telle que zp^ p'' suivant ^, il est évident que les/ — i différences A — 2:A, A — 2^*A. A — z'^~^A sont premières avec ^. Si, d'autre part, s est une substitution n'appartenant pas au groupe de décomposition, ^A est divisible par %*, et, par suite, la différence A — «A est première avec 5p. La différente de A sera donc aussi première avec ^, et il en résulte que A est un nombre qui détermine K, d'après une remarque antérieure. En tenant compte du théorème 3i, on voit que R est le corps d'inertie de ^ et, par conséquent, A satisfait à une équation de la forme

où a,, ..., a^ sont des nombres du corps de décomposition k de l'idéal premier ^.

THKORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 245

Nous désignerons par k\ k", ... les autres sous-corps de même degré—; A est alors racine des équations

a/, ... , a^' étant des nombres de k', a/'; ... , a." des nombres de k" , etc. Déterminons, dès lors, /nombres entiers rationnels tels que

ceci est possible, car, d'après le théorème 70, ^ est du premier degré dans ^i. Soient ensuite b^, ..., 6^, /entiers rationnels satisfaisant aux congruences

et pour lesquels, de plus, aucune des difTérences appartenant à l'indice i

p^ = M!/j, — a,, S/ = M!6, — a/, ... ne s'annule.

Nous poserons, de plus,

Enfin, nous désignerons par 7,, ..., q^ les nombres premiers rationnels tous différents dep, qui sont contenus dans le discriminant A de A ou dans les normes des nombres fJ^, fi^', ... et qui sont plus grands que M. Soit q^ un quelconque de ces nombres, il ne peut contenir dans R que M facteurs premiers au plus; il faudra donc que l'un des q^ nombres (^,>>M), B, B + i. B + 2. •••> B 4- ^, — i. soit premier aA'CC q^; soit, par exemple, B + c^ un nombre premier avec </.. Si l'on calcule im nombre entier rationnel c qui satisfait aux / congruences W.pc^c^ suivant q^ pour t= I. 2, ... , /,

est un nombre qui a les propriétés exigées par le lemme la.

En effet • d'après la congruence A^i suivant M!, le nombre Q est premier avec tous les nombres premiers rationnels <^M; et, à cause des conditions qui nous ont servies à déterminer c, Q est premier avec tous les nombres premiers rationnels contenus dans A et supérieurs à M. Le nombre Q est donc premier avec tous les nombres premiers rationnels contenus dans A et différents de p.

De plus, Q est divisible par «p et non par ^', ^", ..., «ï>*"'', car M ! 6^ ^ a^ e|e o suivant p. Le nombre Q est de la forme

OÙ m, ... , /»^ sont des entiers rationnels. Comme A^ P suivent ^^ et que p ne peut satisfaire à aucune congruence de degré inférieur à 2/ suivant ^% Q ne peut pas être divisible par ^'. Si, d'autre part, Q était divisible par un idéal premier Ci de degré /'>/ et si l'on désignait par 1, z' , z''', ..., 2'^^' les/' substitutions du groupe de décomposition de d par lesquelles ce dernier groupe résulte du groupe d'inertie, on aurait les/' congruences

(c'A)'+mX2'A/~'+-+^V^O-' W'

et ceci exigerait que le discriminant K de A soit divisible par û, ce qui n'a pas lieu. Enfin, supposons que Q soit divisible par un idéal premier d de degré /; l'un des corps k. A', /i", ... serait le corps de décomposition de Cl, soit, par exemple, le corps k\

Ecrivons alors Q sous la forme

Q-(A^+ a/A'-' + ... + a/)=3/A'-* + ... + 8/, OÙ p/, ..., fi/ sont des nombres de k\ Si i, 2', 2'*, ..., 2'^"' sont les / substitutions qui font résulter le corps de décomposition de Cl de son corps d'inertie, on voit que

S/A'-' + ... + fV = o, (Cl),

[i;(z'A/"* + -- + iV^«' (^)'

et ces congruences démontreraient que soit A, soit ft/, fut divisible par Cl, ce qui est contraire à ce qui précède.

Dans chaque classe on peut trouver un idéal premier avec DM ! ; on voit alors facilement, en tenant compte du lemme 12, qu'on a le droit d'affirmer le théorème 89. Kummer l'avait déjà démontré pour le corps circulaire (Kreiskôrper). [Kummer*.]