ÉGALE A I

Nous allons démontrer une série de théorèmes fondamentaux concernant les corps abéliens relatifs. Pour mieux pouvoir les énoncer et les démontrer, nous allons fixer quelques notations et quelques définitions.

Soit K un corps de nombres de degré /m, cyclique relatif par rapport au corps k

de degré m, le degré relatif / étant un nombre premier. Soient i, S, S*, .... S'~' les substitutions du groupe cyclique relatif. Enfin, nous définissons ainsi la notion de puissance symbolique d'un nombre A du corps K : Soit A un nombre quelconque de K entier ou fractionnaire et soient a, a,, a^, .... «/, des nombres entiers rationnels quelconques, nous écrirons

A" (SA)«'(SA>...(S'-^ Absous la forme abrégée

où F(S) désigne la fonction entière à coefficients entiers qui constitue l'exposant du premier membre. La puissance symbolique de degré F(S) de A est à son tour un nombre entier ou fractionnaire de K. Ces exposants symboliques peuvent être considérés comme une généralisation d'une notation introduite par Kronecker au sujet du corps circulaire. [Kronecker*.]

Ceci posé, nous aurons une suite de théorèmes.

Théorème 90. — Tout nombre entier ou fractionnaire A de K dont la norme relative, par rapport à k, est égale à i peut être considéré comme la puissance symbolique de degré (i — S) d'un certain nombre B du corps K.

Démonstration. — Soit x une variable et 0 un nombre qui détermine K; posons

B^. = I + Ax + Ax + Ax + • • • + Ax

et remarquons qu'en vertu de l'hypothèse

et que, par suite, on a aussi il en résulte que

B^ est une fonction rationnelle de x qui n'est pas identiquement nulle; on peut donc trouver un nombre x = a tel que Bo ne soit pas nul dans K. Le nombre

satisfait alors à

Posons B* = 7 , où B désigne un entier algébrique de K et 6 un entier rationnel ;

b on a aussi

§ 55. — Le système des unités fondamentales relatives. — On démontre

qu'elles existent.

Un deuxième théorème important concerne les unités du corps K. Supposons que. parmi les m corps conjugués déterminés par k, r^ soient réels et qu'il y ait i\ couples de corps imaginaires conjugués, d'après le théorème 47 le nombre des unités fondamentales de k est r = )\ + r^ — i. Nous entendrons par système d'unités fondamentales relatives du corps K par rapport à k un système de r + i unités Hj. Hï» •••> Hr i ^^^ corps K, telles qu'une unité de la forme

ne peut être la puissance symbolique de degré (1 — S) d'une unité de K que si les entiers algébriques F,(^), ..., F(,^^,j(w) sont tous divisibles par i — 'Ç.

Ici, F,(S), ..., F,^,,(S) sont des fonctions entières à coefficients entiers de S, [s] est une unité quelconque de k ou une unité du corps K dont la puissance Z^"* est une unité dans k; et enfin, Z, est une racine /'"'* de l'unité différente de i.

Théorème 91. — Lorsque le degré relatif / du corps K cyclique relatif par rapport au corps k est un nombre premier impair, K possède un système de r -)- i unités relatives fondamentales, où r a par rapport à A: le sens du théorème 47.

Démonstration. — Comme /=|r 2 parmi les Im corps conjugués déterminés par K, i] y a /7\ corps réels et Ir, couples de corps imaginaires. Soient £,, z^, ..., s^, un système de r = r^ + /'^ — i unités fondamentales du corps k. Choisissons parmi les unités de K une unité E, . telle que E, ^ î, • ••. î,. soit un système d'unités indépendantes; nous pouvons affirmer qu'alors

forment un système d'unités indépendantes.

Pour le démontrer, supposons qu'il n'en soit pas ainsi et imaginons E^'^^^s*, où F(S) est une fonction entière à coefficients entiers de degré (/ — 2) qui n'est pas identiquement nulle et où s* est une unité du corps k. Comme la fonction 1 + S + ... + S'~* est irréductible (comparer à la remarque qui termine le § 91), on peut déterminer deux fonctions entières à coefficients entiers, G^ et G^ de S, et un nombre entier rationnel a différent de zéro, tels que

FG. + (i +S+... -f S'-')G, = a.

THÉORIE DES CORPS Dli NOiMBRES ALGEBRIQUES. 249

Il en résulte, en tenant compte de

ci+s+.-.+s'-' - -•• que

En ___ •«* 1 ~ '

ce qui est contraire à l'hypothèse. Ici, s** et e*** sont des unités de k.

Choisissons maintenant E, telles que E^^ E,» Ei- ■••. Ef"*. £,. •••, î^ foni^ient un système d'unités indépendantes; nous montrerons, comme précédemment, qu'alors aussi les unités E.. E^. •••, E^'"*. E,. •••> Ef~*. s,. •■• . î,. forment un système d'unités indépendantes. En continuant ainsi, nous obtiendrons /*, + i\ = r -f i unités E,. •••' Er-j' telles que les unités

forment un système d'unités indépendantes. Le nombre de ces unités est

Soit maintenant /'" une puissance assez élevée de /, pour que l'expression

(.o) Er....E

où Fj(S). ..., F^/S) sont des fonctions entières à coefficients entiers quelconques de S et où [s] a le sens indiqué au début du paragraphe et ne puisse devenir la puissance d'exposant /"' d'une unité de K que si tous les coefficient? des fonctions F,(S), ... , F^,(S) sont divisibles par /. On voit qu'un pareil exposant /'" exis::e si l'on considère les Ir^ + /r, — i unités du corps K données par le théorème 47- Tenons compte maintenant de l'identité

où G est une fonction entière; comme d'après cela la (i — S)""ème puissance symbolique d'un nombre de K est aussi une véritable puissance T'ème, il en résulte que l'expression (20) ne peut être la puissance symbolique d'exposant (i — S)"" d'une unité que si tous les entiers algébriques F,(u), .... F^^,(w) sont tous divisibles par

Soit e^ le plus grand nombre entier rationnelle, tel qu'une expression de la forme (20) soit une puissance symbolique d'exposant (i — S)"i d'une unité, sans que tous les nombres F,(«^), ..., F^^,(ç) soient tous divisibles par i — Z; admettons que

e;..« ... E:;f'"H=Hr'"

soit une pareille expression où F,(S), ..., F^,,(S) sont certaines fonctions entières rationnelles de S et où Fj(S), par exemple, n'est pas divisible par i — Z; [e] a la signification précédente et H, est une certaine unité de K.

Fac. de T., 3« S., II. 82

Admettons maintenant qne e^ est le plus grand entier ^o tel qu'il existe une expression correspondante formée des unités E^, ••• , E^, ,. qui soit la puissance symbolique de degré (i — S)^2 d'une unit-' de K, soit

OÙ I%(S), .... F,, /S) sont encore des fonctions rationnelles entières de S et où FJX), par exemple, n'est pas divisible par i — Ç. En continuant ainsi, nous trouverons r -f I unités, H.» Ha> ••■, H,.i. qui forment un système d'unités relatives fondamentales de K.

Pour le démontrer, admettons qu'il n'en soit pas ainsi; il y aurait alors /' 4- i fonctions entières rationnelles GjS), ..., G,^,, telles que

où Z est une imité de K; soit, de plus, parmi les nombres G,(w), ..., G^ ,(Ç), par exemple G,,(^), le premier, qui n'est pas divisible par i — Z, il est évident que la seconde partie du dernier produit, c'est-à-dire

serait aussi la puissance symbolique de degré i — S d'une unité du corps K. Mais dans la suite des nombres e,, e^, ..., e^^ aucun ne dépasse le précédent; en élevant le dernier produit à la puissance (i — S)^" et en introduisant les unités E,,. •••, E,^, nous nous heurterions à une contradiction.

Ce théorème 91 est vrai aussi pour 1=2, comme on le voit facilement, si, parmi les am corps conjugués déterminés par K, il y a deux fois autant de corps réels que dans les m corps conjugués déterminés par k.

§ 56. — L'existekce D'^^E lkité de K, dont la korme relative est égale a i et qui

CEPEKDAKT n'eST PAS LE QUOTIENT DE DEUX UNITES RELATIVES CONJUGUÉES.

Théorème 92. — Dans le cas où le degré relatif / du corps cyclique relatif K par rapport à k est un nombre premier impair, il y a toujours dans K une unité H. dont la norme relative par rapport à k est égale à i et qui n'esf pas la puissance symbolique de degré (i — S) d'une unité du corps K.

Démonstration. — Admettons d'abord que le corps k ne contient pas la racine /*""' de l'unité t^. Soient r,,, ..., r,^,, /' + i unités quelconques de k; il en résulte qu'il existe toujours r -\- i entiers rationnels a^, ..., «^,, qui ne sont pas tous divisibles par / et tels que -0"' -r, "''+'= i. En effet, si dans cette dernière égalité tous les

exposants o, , . . . , a^^ ^ étaient tous divisibles par /, r^' . . . r,^ ' serait racine f*"* de

l'unité, qui serait = i en vertu de l'hypothèse; de là, par la répétition du procédé, résulte la démonstration. Si r,,, ..., r,,^, sont les normes relatives des H,, •••. H^n unités fondamentales de k et que nous posions

— M, •• • n^^, , il en résulte que

et par suite, d'après le théorème 90, H^A^~^; comme H,> •••. H,^^ sont des unités fondamentales relatives, il en résulte que A n'est pas une unité.

Pour démontrer le théorème 92 dans le cas général, nous admettrons que k con-

ih,-

tient la racine primitive y i =^Z', mais qu'il ne contient pas la racine primitive d'indice t\ On reconnaît, par un procédé analogue au précédent, que si ï;^, ..., y;^;^ sont r + 2 unités quelconques de k, on peut toujours trouver un nombre entier rationnel 7. et, de plus, r -\- 2 entiers rationnels a,, ... , a^^^ non tous divisibles par /, tels que

'il • • • ^lr+2 — -> •

Considérons, d'autre part, que la norme relative

et que par conséquent, d'après le" théorème 90, Z doit être une puissance symbolique de degré (i — S). Si donc il n'y avait aucune unité E fie k, telle que ^=: E'~"^. C serait lui-même un nombre répondant à la question. Dans le cas contraire, il faut que g'(i-ç)__ j^ c'est-à-dire e' = SE', et, par suite, e' serait une unité t de k, tandis que E lui-même n'est pas dans k. Comme E = \/î. on a N4(E) = E' = £- Soit H,» •••. H,.,, un Svystème d'unités relatives fondamentales dans k, nous poserons

où a, ttj, ..., a^^j sont les nombres déterminés précédemment, et où [e] est la racine l'""' d'une unité du corps k; alors N^(H)= i. Les nombres a,, ..., a,.,., ne peuvent pas tous être divisibles par /. Car de

on tirerait

où h est un entier rationnel. Comme d'après notre hypothèse a^^ ne peut pas aussi être divisible par /, il résulterait des dernières égalités que E est dans A:, ce qui n'a pas lieu. L'unité H remplit toutes les conditions du théorème 92.

252 D. IIILBERT.

Les théorèmes 90, 91 et 92 ont été démontrés en partie et sous une autre forme par Kummer, dans le cas où le sous-corps k est le corps circulaire (Kreiskôrper) de degré / — i déterminé par ^. [Rummer^''^"- -'].

S 57. — Les idéaux ambiges et la différente relative du corps cyclique relatif K.

Lorsqu'un idéal 51 du corps cyclique relatif reste inaltéré après la substitution S et qu'il ne contient aucun facteur qui soit un idéal de k, on dit que 31 est un idéal ambige. En particulier, un idéal premier du corps K qui n'est pas altéré par la substitution S et qui n'appartient pas à k est dit un idéal premier ambige.

Théorème 98. — La différente du corps cyclique relatif K par rapport à Ar contient tous les idéaux premiers ^ qui sont ambiges et elle n'en contient pas d'autres.

Démonstration. — Soit ^ un idéal ambige; sa norme relative est N4(^) = ^'. Comme k ne peut contenir une puissance inférieure de ^, ^' z=p est un idéal premier de A". Réciproquement, si p idéal premier de k est égal à la /•"'"* puissance d'un idéal ^ dans K, ^ est un idéal premier ambige.

Nous distinguerons trois espèces d'idéaux premiers p du corps k : d'abord, ceux qui sont égaux à la /^'"^ puissance d'un idéal premier ^ de K; deuxièmement, ceux qui dans K se décomposent en / idéaux premiers distincts de K, 9(S,, ..., ^,; et enfin ceux qui sont aussi des idéaux premiers de R.

Dans le premier cas, la norme N(^)^p^ d'où N(;p) = N(5|>') = p"^, et, par suite, la norme n(p) de l'idéal premier p du corps k est aussi égale à p'. L'égalité des normes permet dafTirmer que tout nombre entier de R est congru à un nombre entier de k suivant ^: ceci permet de reconnaître que la différente relative de R par rapport à k est nécessairement divisible par ^.

Dans le second cas, on peut toujours trouver dans R un entier A qui n'est pas divisible par ^■, mais qui l'est par tous les autres idéaux premiers ^, , ..., ^i,, ^i^, — ^i', c'est ce qui fait que la différente relative de A- et par suite celle du corps R, n'est pas divisible par %*,.

Pour ce qui concerne enfin les idéaux p de la troisième espèce, soit p un nombre primitif suivant l'idéal premier :|) de R et p un nombre primitif suivant p dans k, et supposons aussi que p soit un nombre qui détermine le corps, p satisfait alors à une équation de degré / de la forme

dont les coefficients a, , ... , a^ sont des nombres entiers de k.

Posons

où/,(p), ...,f,(p) sont des fonctions entières à coefficients entiers de p. Nous obtiendrons la congruence

F(P) = P' + /,(?)P'-' + . . . + /Xp) = o , (^) .

Comme N(:p) ^ (n[^)])', le nombre des entiers de K incongrus suivant p est égal à la Z^"" puissance du nombre des entiers de k incongrus suivant p. p ne peut satisfaire à aucune congruence de même espèce et de degré inférieur à /, c'est-à-dire

que =|5 o suivant », ou encore la différente relative du nombre p n'est pas

divisible par p.

Ces considérations nous montrent que la différente relative du corps K est toujours un nombre premier avec les idéaux premiers de seconde et de troisième espèce, d'où le théorème 98.

S 58. — Le théorème fondamental sur le corps cyclique relatif dont la différente

RELATIVE EST ÉGALE A I . — On DÉSIGNE CE CORPS LE CORPS DE CLASSE.

Les théorèmes 90, 92, 98 nous apprennent un fait de très grande importance pour la théorie des corps de nombres. Ce fait s'énonce :

Théorème 9/i. — Lorsque le corps cyclique relatif K de degré premier impair / a par rapport à k sa différente relative égale à i, il y a toujours dans k un idéal j, qui n'est pas un idéal principal de k, mais qui devient un idéal principal dans K. La /''"'•' puissance de cet idéal j est alors aussi nécessairement un idéal principal dans k et le nombre des classes du corps k est divisible par /.

Démonslration. — D'après le théorème 92, il y a une unité H de norme relative égale à i qui n'est pas la puissance de degré (i — S) d'une unité. D'après le théorème 90, H = A'"'''. où A est un nombre entier de K, c'est-à-dire que a=:HS(A)- L'idéal principal 5ï^(A) est tel que 2ï = S2ï. L'idéal 51 fait partie du corps k. Car, soit ^ un idéal premier de K contenu dans 31, qui ne fait pas partie de A:, le théorème 98, comme l'hypothèse nous montre que le discriminant relatif n'a pas de diviseur, montre que ?>>=(- S(^) et, par suite. A contient aussi la norme relative N/^), qui est un idéal premier de k. L'idéal A n'est pas un idéal principal du corps k; car, dans ce cas, on aurait A^=H*^. où H* est une unité et a un nombre de k. 11 en résulterait que H==H*'~^. ce qui est contraire à ce qui précède. Ce qui démoniro la première partie du théorème 9^. Comme !\jt(A) = '^ est un nombre de k

et, par suite, N4(5ï) = "Si' = (a) est un idéal principal de k, nous avons la démonstration complète du théorème 94.

Les théorèmes 92 et 94 sont vrais aussi pour 1=2, si l'on fait la restriction indiquée à la fin du § 55.

11 n'y a pas de grandes difficultés de principe lorsqu'on veut étendre le théorème 94 à des corps abéliens relatifs K de différente relative égale à i et dont le degré relatif est un nombre composé.

Les rapports étroits du corps K avec certaines classses d'idéaux du corps k, mis à jour par le théorème 94, ont fait appeler ce corps K un corps de classes du corps k.

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