CHAPITRE XVI
La décomposition des nombres dans le corps quadratique.
§ 59. — La base et le discriminant du corps quadratique.
Soit m un entier rationnel positif ou négatif différent de i, et qui n'est divisible par le carré d'aucun nombre autre que i ; l'équation du second degré
est irréductible dans le domaine des nombres rationnels.
Dans ce qui suit, nous désignerons par y/m la racine positive de cette équation lorsque /??>>o et lorsque /77<<o sa racine imaginaire positive. Le nombre algébrique ym ainsi bien fixé détermine un corps réel ou imaginaire suivant les cas. Nous le désignerons par k[\/m) ou, plus simplement, par A:; ce corps est toujours un corps de Galois. En remplaçant + ym par — y m, on passe d'un nombre à son conjugué ou d'un idéal à son conjugué. Nous continuerons à employer la notation s pour indiquer cette transformation.
Le premier problème qui se présente à nous est la recherche d'une base du corps quadratique ainsi que de son discriminant. [Dedekind^]
Théorème 96. — Les nombres i, w, forment une base du corps quadratique k, si l'on pose
ou (0
suivant que m ^ i (4) ou m e|z i (4).
Le discriminant.de k est, suivant les deux cas,
d=m, d^=lim.
256 D. IIILBERT.
Déinonslraiion. — Le nombre w est toujours un nombre entier, car il satisfait
toujours soit à
(21) X — X ■■ — = 0, soit a X — m = o.
soit a)' = sco le nombre conjugué de m, le discriminant de m est d^^^iia — m')*. D'après le paragraphe 3, tout nombre entier du corps k est de la forme
Il + fw
' = —1-' où u, V sont des entiers rationnels.
Dans le cas où m^i(4), la congruence 2am= 211 -f y + yym^o suivant m nous apprend que 2a + u est divisible par y m , et, par suite, 2a + u ^ o, (m). Cette dernière congruence, en tenant compte de la première yy/n^o, (m), c'est-à-dire que V est divisible par s/m et, par suite, par m. Les deux nombres u et y sont donc tous les deux divisibles par d = m, et l'on peut débarrasser le nombre a de son dénominateur.
D'autre part, soit mE\s i (4), la congruence
4 aw = u 4- vym ^ o, (m)
nous montre comme précédemment que it et y sont divisibles par ni et que, par suite, m est contenu dans le numérateur et dans le dénominateur de l'expression qui donne a et qu'on peut simplifier par m.
Nous aurons donc a = où u' et v' sont des entiers rationnels. Il est
facile de voir, en formant la norme a. sa, que pour m^2, aussi bien que pour m ^ 3 suivant 4 , une expression de la forme u' + v'\/m avec u' et v' entiers et rationnels ne peut être divisible par 2 que si u' et v' sont tous les deux pairs. Si on applique ce résultat d'abord à lix, puis à 2a, on voit que aussi dans le cas de m^\i i (4) tout entier du corps k, s'écrit u + tn.) avec a et y entiers et rationnels. La seconde partie du théorème résulte de la formule
I , Cl)
qui, d'après le paragraphe 3, définit le discriminant du corps.
§ 60. — Les idéaux premiers dl corps.
Le problème de la décomposition des nombres premiers rationnels en idéaux premiers du corps k est complètement résolu par le théorème suivant :
Théorème 96. — Tout nombre premier rationnel / facteur de d est le carré d'un
idéal premier de k. Tout nombre premier impair rationnel/) qui ne divise pas d ou bien se décompose dans k en un produit de deux idéaux premiers conjugués du premier degré p et p' ou représente un idéal premier du second degré, suivant que d est reste quadratique de p ou non reste. Le nombre premier 2 est, dans le cas dem^i (4), le produit de deux idéaux conjugués distincts du premier degré de k, ou est lui-même un idéal premier suivant que m ^ i ou m ^ 5 suivant 8.
Démonstration. — La première partie de la proposition, celle qui a rapport aux facteurs premiers / de d, est une conséquence du théorème général 3i. Soit / un facteur premier impair de d, nous trouvons
où l:=[l,\/m) est un idéal premier du premier degré, qui est égal à son conjugué. Si 2 divise rf, on a
2 = (2,v//n) ou 2^(2, i+vm)
suivant que m ^2 ou m^3 suivant 4-
La décomposition des nombres premiers non contenus dans d s'opère en tenant compte du théorème 33 et de la remarque qui s'y rapporte faite au paragraphe i3.
D'après ces considérations, tout nombre premier p qui ne divise pas d se décompose dans le corps k en deux idéaux premiers distincts ou est lui-même un idéal premier, suivant que le premier membre de l'équation correspondante (2 1) est réductible ou irréductible dans le sens de la congruence suivant p .
Si p est impair, nous trouvons que la congruence
{2x — i)* — m^o ou X'' — m^o (p)
n'est résoluble que si m est reste quadratique de/) et qu'elle est irrésoluble si m est non-reste quadratique de p .
Posons dans le premier cas m ^ a* suivant p ; il vient
p=[p,a + \/m){p;a — \/m)=ip.p'.
Les deux idéaux premiers p et p' sont bien distincts à cause de
Dans le cas de m^ i(/i), la congruence x* — x ^o suivant 2 est évi-
demment résoluble ou irrésoluble suivant que ^o ou^i suivant 2, c'est-
à-dire m^\ ou ^5 suivant 8.
Dans le premier cas, on trouve
Fac. de T., 3« S., II. 33
Les deux idéaux de droite sont différents, car
Nous pouvons prendre comme nombres de bases des idéaux que nous venons de trouver, soit
/. — soit/,v^'.
p, — soit />, « + V "^'
— — soit 2 , y /n ou 3 , i + y m ,
suivant que m ^ 2, 3(4).
On reconnaît facilement ce fait par une réciproque du théorème 19, si l'on forme le déterminant obtenu en adjoignant à chacun de ces couples de nombres le couple conjugué. Dans la deuxième ligne du petit tableau que l'on vient d'établir, «désigne un nombre satisfaisant à la congruence
et qui, de plus, est supposé impair dans le cas de w ^ i (4).
fa § 61. — Le symbole —
Pour pouvoir donner un énoncé résumé et complet des résultats acquis, nous introduirons le symbole suivant : Soit a un entier quelconque rationnel et w un
nombre premier rationnel impair, le symbole [ — ] a la valeur + i, — i ou o suivant
que a est reste quadratique ou non-reste quadratique de p ou qu'il est divisible
par/); de plus, admettons que ( - j égale +1, — r ou o suivant que a impair est reste
quadratique ou non-reste de 2^ = 8, ou suivant qu'il est divisible par 2. On peut alors donner au théorème 96 l'énoncé
Théorème 97. — Un nombre premier rationnel quelconque p (= 2 ou =|= 2) se décompose dans le corps k en deux idéaux premiers distincts, est lui-même un idéal premier, ou est le carré d'un idéal premier suivant que
\pj
ou o.
[Dedekind^]
THÉORIE DES CORPS D!î NOMBRES ALGEBRIQUES. 269
Ceci nous amène à considérer trois espèces d'idéaux premiers :
1° Les idéaux premiers du premier degré p distincts de leurs conjugués p'.
2° Les idéaux du second degré (p) représentés par les nombres premiers qui ne se décomposent pas dans k.
3° Les idéaux du premier degré ï dont les carrés sont des nombres premiers contenus dans d.
D'après les définitions des paragraphes 89 et 4i. le corps k est le corps de décomposition des idéaux premiers p de la première espèce, il est le corps d'inertie pour les idéaux premiers p de la seconde espèce et enfin le corps de ramification pour les idéaux I de la troisième espèce.
§ 62. — Les unités du corps quadratique.
Pour ce qui concerne les unités de k, le tliéorème ^7 nous apprend que nous avons à considérer deux cas, suivant que k est un corps imaginaire ou un corps réel.
Dans le premier cas, k ne peut contenir d'autres unités que celles qui sont des racines de l'unité, et comme le corps quadratique ne peut contenir que les racines primitives de la racine cubique, quatrième ou sixième de l'unité, les seuls corps quadratiques imaginaires qui peuvent contenir d'autres unités que — i et -f i sont les deux corps /f(\/ — r) et k[\/ — 3j. Le premier corps contient les unités ±i; le second,
les quatres unîtes ± • Les discnmmants de ces deux corps sont — a
et — 3; d'après le théorème 5o, il y a dans toute classe d'idéaux de ces corps un idéal dont la norme -^ 2 pour le premier, <^3 pour le second. Comme d'ailleurs dans le corps k\\/ — i j, le nombre 2 est la norme de l'idéal principal (i + /); il en résulte que chacun de ces deux corps ne possède qu'une classe d'idéaux. Ces corps ne renferment donc que des idéaux principaux, et tout nombre positif entier rationnel qui peut être pris pour norme d'un idéal de Ar(v — i ) ou de kyy — 3) est aussi la norme d'un entier algébrique dans le corps correspondant, d'où résultent les théorèmes connus sur la représentation des entiers rationnels sous les formes x' 4- J^ ou X* + xy -\- y* , x et y étant des entiers rationnels.
Par contre, si Ar est un corps réel, le théorème 47 nous apprend qu'il existe toujours une unité fondamentale e différente de zti, et au moyen de laquelle toute unité du corps peut être mise d'une seule façon sous la forme + î". où a est un entier rationnel.
Les circonstances dans lesquelles la norme de cette unité fondamentale est égale à 4- 1 ou à — I n'ont été découvertes que dans certains cas particuliers. [Arndt ', Dirichlet*, Legendre', Tano'.] — Comparez à ce que nous venons de dire la première partie de la démonstration du lemme i3.
2 00 D. IIILBERT.
§ 63. — Les classes d'idéaux.
Les calculs du paragraphe 24 permettent d'établir toutes les classes d'idéaux du corps quadratique k pour chaque valeur particulière de m. 11 a été construit des tables basées sur la théorie des formes quadratiques réduites et qu'il faudrait citer ici. [GaussS Cayley'.]
