CHAPITRE XVII

Les genres dans le corps quadratique et leurs systèmes de caractères.

fn, m § o/j. — Le symbole

Pour la répartition des classes d'idéaux, nous introduirons dans les développements de la théorie du corps quadratique un nouveau symbole. Soient n et m deux entiers rationnels, où ?n n'est pas un carré et où w est un nombre premier rationnel

quelconque; nous donnerons au symbole ( — — j la valeur -f i, dès que le nombre n

est congru à la norme d'un entier du corps algébrique k{\/m), et si, de plus, il existe pour toute puissance plus élevée de w dans k{\/m) un nombre entier dont la norme est congrue à n suivant cette puissance de w, dans tout autre cas, nous pose-

rons 1 1 = — I . Les nombres pour lesquels ( 1 r= 4- i seront dits les restes

normiques du corps k[\/m) suivant iv, les nombres n pour lesquels f — — j = — i seront les non-restes normiques du corps k[\/m) suivant w.

Lorsque m est carre pariait, ( J sera toujours pris égal a i.

Le théorème suivant nous indique les propriétés du symbole f — — j qui nous permettront de le calculer.

Théorème 98. — Soient n et m deux entiers rationnels, qui ne sont pas divisibles par ly ; on a les règles suivantes :

Pour les nombres premiers impairs w, on a

n, w\ /w, n\ fw

'n m\ n-lm—l

pour ti; = 2

De plus, pour des nombres entiers rationnels quelconques n, n' , m, m! par rapport à tout nombre premier w, on a les formules

n, m\ fm. n

w y \ w nn, m\ fn, m\ [h, m

w J \ w / \ lU n, mni'\ fn, m\ (n, m'

Démonstration. — D'abord il est évident que si n est la norme d'un entier de k ,

on a 1 ) = + I .

De plus, comme — m est la norme de y m, on en conclut l'exactitude de (c'). De plus, si n et n' sont deux entiers rationnels =|-o, dont le quotient est la norme d'un entier ou d'une fraction.de lî{\/m), l'égalité

n, m\ fn ,m

est évidente d'après la définition du symbole.

Si — est le carré d'un nombre rationnel, il en résulte en particulier ce fait très n

simple que la valeur du symbole [ — — j ne change pas si l'on multiplie n ou si on

le divise par le carré d'un nombre rationnel entier. Nous admettrons, pour plus de simplicité, que ni n ni m ne contienne' le carré d'un nombre premier.

Pour reconnaître l'exactitude de notre système de formules, nous traiterons dans l'ordre les trois cas particuliers suivants :

i) Soit ly un nombre premier impair qui divise m. Si n n'est pas aussi divisible par w, la congruence

(a 2) lin^{2X -\- yY — my^ ou n^x' — m y' (w),

n'admet de solution entière en a; et y que si ( — j =: + i. Réciproquement, si la dernière condition est satisfaite, la congruence n^^x^ admet des solutions suivant toutes les puissances de w, et il en est évidemment de même de la congruence (22). Donc, en vertu des hypothèses admises,

w y \iv

D'autre part, si n est divisible par w,

I — nm n, m\^ / — nm, m\ 10*

2) Soit w un nombre premier impair qui ne divise pas m. Si n aussi n'est pas divisible par w, la congruence

admet toujours des solutions, car le second membre de cette congruence donne tous les restes quadratiques suivant w, lorsqu on fait x=^i, 2 , .... , y = o ; et, dans

le cas de ( j = — i, elle donne tous les restes non quadratiques suivant w, pour

Par contre, soit ( j = -[- 1, désignons par a le plus petit non-reste quadratique du nombre premier w, et soit y=6 une racine de la congruence — my^^a — i{iv) qui a certainement des solutions ; comme a^ i — mb"- suivant iv, la forme x^ m(bxy

représente pour £c= i, 2 , .... tous les non-restes quadratiques suivant w.

Comme la congruence n^x* — my* suivant lu admet des solutions, on en conclut

qu'elle en admet aussi suivant toutes les puissances de w, c'est-à-dire qu'avec nos

hypothèses

lU

Admettons maintenant que n est divisible par w, mais qu'il ne l'est pas par lu^; conformément aux hypothèses du début, une solution de n^x^ — my^ suivant ly* :

THÉORIE DES CORPS DE NOxMBRES ALGEBRIQUES. 203

représenterait un nombre du corps kym, dont la norme a . s% = n{oi) contiendrait en facteur w et non pas m;', c'est-à-dire que w se décomposerait dans le corps kiym) en deux idéaux premiers distincts tt) et ip', ce qui exige comme condition nécessaire

et suffisante, d'après le théorème 97, ( — j = + i.

Réciproquement donc, si cette condition est remplie, w est dans le corps k\\/ m) un produit n)W)' de deux idéaux premiers distincts. Si l'on désigne alors par a un nombre entier de k\\/m) divisible par to, mais non par to* ou par tt)',

n, m\ fn . n(y.), m\ \ w ,

n, m\ /^m\ IV J

c'est-à-dire qu'avec les hypothèses actuelles, on a toujours ( — — j

Les résultats acquis établissent immédiatement l'exactitude des formules (a') et (a"); de plus, ils donnent pour des nombres premiers impairs les formules (c') et (c"), et ils les donnent complètement si l'on examine dans l'ordre les différents cas qui peuvent se présenter en tenant compte de la divisibilité ou de la non-divisibilité des nombres n . n' , m par w.

3) Dans le cas de w^2, nous ferons d'abord les considérations suivantes. Soit /(xy) une fonction homogène du second degré à coefficients entiers de x et de y, et n un nombre entier rationnel impair; si la congruence n^f(xy) suivant 2' admet des racines, elle en admet aussi suivant toute puissance supérieure de 2, 2*"^'(e^3). Nous le démontrerons en concluant de e à e -f- 1. Soient a, b deux entiers rationnels, tels que/(a, 6)^n suivant 3^. où e^3; si l'on n'a pas n^f(a, b) suivant 2*"*"', mais bien mieux n^f(a, h) -\- 2" suivant 2*"', nous déterminerons un nombre c, tel que c*^ i -|- 2* suivant 3"^', ce qui est possible à cause de e^ 2; et alors

f(ca, cb) = c'-f(a, b)=f{a, b) + 2j{a, b)=f(a, b) -f- 2' = n (2^-^');

c'est ce que nous voulions démontrer.

Dès lors, si nous voulons établir la valeur de | — — j pour n impair, il nous faut

chercher quelles sont les valeurs de n et de m qui se correspondent de manière à rendre possibles les congruences

(33) n^x' -{- xy ; — y* ou n^x* — my* (3').

Un calcul très court nous fournit la table suivante :

Dans cette table, nous a\ons mis dans la colonne des m les six restes suivant 3* à considérer, et, dans la colonne des n, les restes impairs suivant 2' qui leur correspondent et rendent possible la congruence 28 :

Cette table nous montre que pour n et m impairs l'égalité (6') est vraie ; elle montre aussi que pour n impair, m pair= 2m'; on a :

D'autre part, si n est pair =^ 2n' et m impair, il faut distinguer les deux cas m^i et m^3 suivant 4-

Dans le premier cas, il faut que 2 soit dans le corps k[\/m) le produit de deux idéaux premiers distincts dès que n = 2/1' est reste normique de 2 dans k{\/m), c'està-dire que f — j doit être égal à 4- 1- Si cette condition est remplie, on peut toujours

trouver un nombre a dans k{\/m) dont la norme n(a) est divisible par 2 et non par 4 ; on a alors

n' . /i(a) an , m\ /2n' . n(7.), m^

et ce dernier symbole suivant (6') est égal à + i ; on a donc

Dans l'autre cas m ^3 (4), la valeur du symbole en question dépend de la possibilité de la congruence 2n'^x^ — my' suivant une puissance quelconque de 2, 2*. Une pareille congruence, comme on le voit aisément, n'est possible que s'il en est

ainsi de

suivant la même puissance 2*; c'est-à-dire que

2n', m\ fm, in

2 / \ 2 Enfin, si n et m sont tous les deux divisibles par 2, n=:2n' , ni^^^m' , on a

Les résullats obtenus ont pour conséquence immédiate la formule (6"), et nous reconnaissons en même temps que les formules (c") et (c"') sont exactes pour w^2. La formule c"" se déduit d'une combinaison de (c") et (c'").

Le théorème 98 est complètement démontré.

Des formules (a'), (a"), {b'), (6") du théorème 98, on déduit ce qui suit :

Si l'on considère un système complet de nombres premiers avec w et incongrus suivant w^, où e^i et même e>>2 dans le cas dew = 2, tous ces nombres sont des restes normiques du corps k[\/ni) suivant m, ou bien ils forment la moitié de ces restes, suivant que w est premier avec le discriminant de /i(y/m) ou qu'il ne l'est pas.

S 65. — Les systèmes de caractères d'uj* idéal.

Soit t le nombre des diviseurs premiers rationnels des discriminants de kyy/m), désignons-les par l^, l^, ... , l^.

A chaque nombre entier rationnel correspondent alors des valeurs parfaitement déterminées (+1 ou — i) des / symboles

'a, m\ fa, m'

dont le sens est déterminé par le paragraphe précédent; ces t unités + i prendront le nom de système des caractères du nombre a dans le corps k\\/m). Pour pouvoir attribuer aussi à tout idéal a. du corps /t'(\/m) un système de caractères bien déterminé, nous distinguerons deux cas suivant que k est un corps imaginaire ou un corps réel. Dans le premier cas, les normes des nombres de k{\/rn) sont toujours positives; nous poserons r= ^, n = + n{<i), et nous dirons que les r unités

(24) fn^\ /n^:

Fac. de T., > S., II. 34

forment le système des caractères de l'idéal a, il est parfaitement déterminé par l'idéal a. Dans le second cas, nous formerons d'abord le système des caractères du nombre — i :

Si toutes ces unités sont égales à + i, nous poserons, comme dans le premier cas, n^n(a), r = t, et nous dirons encore que le système 24 est le système des caractères de a. Par contre, si parmi les / caractères (a5) se trouve l'unité — i, soit par

exemple ( j ^= — i, nous poserons /'=/ — i et n = + /î(a) en choisissant le

. , /7ï, in\ ,, .

signe de iaçon que ( — - — j = -|- i, et nous désignerons les r unîtes (24) résultant de

ces hypothèses sur /' et sur lï le système des caractères de l'idéal a.

Les conventions que nous venons de faire nous permettent d'énoncer le théorème suivant :

S 66. — Le système de caractères d'une classe d'idéaux et la notion de genre.

Théorème 99. — Tous les idéaux d'une même classe du corps k{\/m) admettent le même système de caractères.

Démonslration. — Soient a et a' deux idéaux de kiym) appartenant à la même classe; il existe un nombre a entier ou fractionnaire de k\ymj, tel que a! =^y.a. Par suite, n{a.') = ztLn{<x)n{a), où ± désigne le signe de n{%), et, par suite,

'n(a'), in\ f±n{a), nf

pour 1=1,, ••■, If En tenant compte des conventions du paragraphe 65, on obtient le théorème 99.

De cette façon, à chaque classe d'idéaux correspond un système de caractères. Nous rangerons dans le même genre toutes les classes d'idéaux qui ont le même système de caractères, et, en particulier, nous définirons genre principal l'ensemble de toutes les classes dont les systèmes de caractères est formé d'unités toutes positives. Comme le système de caractères de la classe principale a évidemment cette propriété, la classe principale appartient au genre principal. De la formule c", paragraphe C/i, nous déduirons facilement ce fait, que la multiplication des classes d'idéaux de deux genres fournit la classe d'idéaux d'un genre, dont le système de caractères s'obtient par la multiplication des caractères correspondants des deux genres. Il en résulte en particulier que le système des caractères du carré d'une classe d'idéaux d'un genre quelconque ne contient que des unités positives, et, par suite, le carré de toute classe d'idéaux appartient au genre principal.

Tout genre contient le même nombre de classes.

§ 67. — Théorème fondamental relatif aux genres du corps quadratiqi e.

Une question se pose : Un système quelconque de r unités ± t peut-il être le système de caractères d'un genre du corps k\\/m)^ La solution de cette question est d'une importance capitale pour la théorie du corps quadratique; elle est contenue dans un théorème dont la démonstration nous occupera jusqu'au paragraphe 78 et qui s'énonce :

Théorème 100. — La condition nécessaire et sufïisahte pour qu'un système quelconque de r unités + i soit le système des caractères d'un genre du corps k{\/m) est que le produit des r unités soit égal à + i- C'est pourquoi le nombre des genres du corps k[\/m) est égal à a*""'. [Gauss*.]

§ 68. — Un lemme s'appliquant aux corps quadratiques dont le discriminant ne

CONTIENT qu'un DIVISEUR PREMIER.

Pour nous rapprocher du but indiqué au théorème 100, nous démontrerons d'abord le

Lemme i3. — Lorsque le discriminant d'un corps lx=zzk[\^m} ne contient qu'un diviseur premier rationnel /, le nombre des classes d'idéaux de le est impair. Le système des caractères se compose d'un caractère unique relatif à /; ce caractère est toujours égal à + i. c'est-à-dire que dans le corps il n'y a qu'un genre : le genre principal.

Démonstration. — Désignons par s la substitution qui transforme un nombre du corps k en son conjugué. Désignons encore, lorsque m^o, par s une unité fondamentale du corps k, — z, — , représentent des unités du même genre; nous démontrerons tout d'abord que l'hypothèse du lemme nous donne n(c) = e.5i = — i. En effet, admettons que n(z.)=^-\- i, on pourrait trouver, d'après le théorème 90, un

entier a du corps tel que £^-^; il en résulte a^E.sy., c'est-à-dire que tout fac-

teur idéal premier contenu dans a le serait dans sa. Mais d'après l'hypothèse faite dans l'énoncé, lorsque m^o y m est le seul facteur premier de k, qui est égal à son conjugué et qui n'est pas rationnel, on a ou bien

(x = 't]a ou a = Y, \/m a ,

7) étant une unité et a un entier rationnel positif ou négatif; il en résulterait £ = zb t/~* = + 'i\ et £ ne serait pas une unité fondamentale, ce qui est contraire à l'hypothèse.

Démontrons maintenant la première partie du lemme. Si le nombre h des classes du corps k était pair, il y aurait, suivant le théorème 57, un idéal \ n'appartenant pas à la classe principale, tel que î*'^i ; mais comme \s\'-*^\, on en conclurait \^*^s\. Posons j = a5.j, c'est-à-dire i'~* = a; g est un nombre de k dont la norme /i(a)=-l- 1 . Dans le cas où le signe serait +, posons [i = a; le secr nd n'est évidemment possible que pour un corps réel ; faisons 6 = £7. , t désignant comme tout à l'heure l'unité fondamentale de k. Avec ces hypothèses, on aurait à chaque fois n([j) = 4- i, et, par

suite, d'après le théorème 90, - = y'~% ovi y est un entier de k. De !x = j'~* résulterait (yj)'~*=i, c'est-à-dire (Y)j = .ç(Yi), et on conclurait comme précédemment que l'idéal (y)i est ou bien =(a) ou (a)I, où a est un nombre entier rationnel et I le seul nombre premier de k égal à son conjugué et non rationnel. Or, lorsque m -\- — i , ce facteur premier i = \/m, et, pour m = — i. ï^i -\-\/ — i, c'est-à-dire qu'on a toujours ï '■^-^ I, et, par suite, j ^^ i, ce qui est contraire à l'hypothèse. Lorsque k est un corps réel, n{z) = — i nous indique de suite que

et alors, d'après le paragraphe 65, le système du caractère d'un idéal \ est consti ué

par l'unité r-^ — ; ce caractère unique est égal à + i pour chaque idéal j du

corps k , sans quoi l'ensemble des classes d'idéaux de k se répartirait en deux genres et le nombre des classes h serait pair.

Ce lemme i3 nous montre que le théorème fondamental 100 est vrai dans le cas le plus simple, c'est-à-dire le cas du corps quadratique dont le discriminant d ne contient qu'un diviseur premier rationnel.

§ 69. — Le théorème de réciprocité pour les restes quadratiques.

Un lemme relatif au symbole

Théorème ioi. — Soit/j et q deux nombres premiers rationnels impairs positifs différents l'un de l'autre ; on a la règle

dite loi de réciprocité des restes quadratiques. On a, de plus,

dits théorèmes complémentaires à la loi de réciprocité quadratique. [Gauss*.]

THÉORIE DES CORPS DE NOMHRES ALGEBRIQUES. 269

Démonstration. — Soit k{\/m) un corps dont le discriminant ne contient qu'un diviseur premier /, et désignons par n la norme d'un idéal de ce corps k; d'après le

lemme i3 on a toujours [ ^— J = + i- Mais d'après les théorèmes 96 et 97, on voit, qu'en particulier, tout nombre premier positif impair qui ne divise pas m et dont m est reste quadratique est la norme d'un idéal de k{\/m). Nous utiliserons ce fait pour dresser le tableau suivant : nous désignerons par /> et p' deux nombres premiers rationnels distincts congrus à i suivant h, par q et q' deux nombres premiers distincts congrus à 3 suivant l\, tandis que r représentera un nombre premier rationnel impair dont nous ne préjugeons pas le reste par 4-

Si : On a :

Dans un corps k\\J p) , n{i)=^—\ nous apprend que [ '- )^-|-i; ajoutons

cette remarque à la ligne i , il en résulte que, d'une façon générale, ( — ^ ) ^ ( — ') ' ' Appliquons la proposition citée au début de cette démonstration au nombre premier n=2, et remarquant que 2 est toujours la norme d'un idéal dans k\\Jp), ou

k\\J — q), dès que (—1) >* = + i ou (— i) « = -f i, il en résulte que, si

ces con-

+ I, c'est-à-

ditions sont satisfaites, ( j = ( - j = 4- 1, ou

dire que si ( — i) ** = + i, on a ( - j = + i. Ajoutons ce résultat à la ligne 2 . on a,

d'une façon générale, (-) = (— i) » . Le contenu de la ligne 3 montre que

Les lignes 4 et 5 nous apprennent que

et la ligne 6 que f — j = — ( ~" ) » ^^ ^^ ^^^^ tenir compte du caractèredu restede — i,

qui a été trouvé d'abord.

Il reste à démontrer que si ( — j = -f i, on a nécessairement f — j = — i. Le

théorème de réciprocité pour deux nombres premiers rationnels q et q', qui tous deux ^ 3 suivant (4), s'obtient le plus simplement en considérant le corps kiyqq') ,

car comme [ '- )= — i, la norme de l'unité fondamentale e de ce corps est

et

certainement = -f i, et il y a un entier a (voir théorème 90), tel que s = a'~' = ,

où Sx est le nombre conjugué de a. Nous en conclurons facilement que l'idéal premier q contenu dans q est un idéal principal. Par suite, en choisissant convenablement le signe,

donc

7 / \ Q et en tenant compte de la formule (c') du théorème ^8 :

Lemme i4. — Soient n et m deux entiers rationnels quelconques qui ne sont pas tous deux négatifs; on a

où le produit II s'étend à tous les nombres premiers rationnels.

Démonstration. — Soient p et q deux entiers rationnels distincts impairs et tous deux premiers; les règles (a"), (6'), (6") du paragraphe 64 et le théorème 101 nous permettent d'écrire :

THEORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 2'^ l

et grâce à la règle (a') du paragraphe 6Z|. le lemme i4 subsiste pour le cas où les nombres n et m égalent Hz i ou ne contiennent qu'un nombre premier. Les formules (c™) et (c"") montrent que le lemme il\ est général.

De ( '- ) = — I, il résulte que si n et w sont tous deux négatifs, le produit I I est égal à — i.

(«■) On peut exprimer plus simplement la proposition contenue dans le lemme i^ et

celle que nous venons d'énoncer en employant le nouveau symbole ( -

en lui donnant la valeur + i, si l'un des nombres n ou ru est négatif, et la valeur — i lorsqu'ils le sont tous les deux.

§ 70. — Démonstration des rapports entre l'ensemble des caractères d'in

GENRE énoncés DANS LE THÉORÈME FONDAMENTAL lOO.

Appliquons le lemme i^- Soit 51 une classe d'idéaux du corps k{\/m), et soit a un idéal de cette classe premier avec 2 et avec d, et soit n = ^n(a) la norme de l'idéal a pourvue du signe prévu au paragraphe 65; le produit de tous les caractères de la classe 3C est donné par

Comme n(o) est la norme d'un idéal, tout nombre premier rationnel p contenu dans n se décompose dans le corps k\\/m)\ et, par suite, d'après le théorème 96, m est reste quadratique de tout pareil nombre.

Du lemme i^, et en tenant compte des formules (c'"), (a'), (a") du théorème 98, on a

nR;F =+■•

lorsque w prend les valeurs des nombres premiers impairs contenus dans d, ainsi que la valeur 2.

Si donc le discriminant d du corps kys/m) contient le nombre premier 2, il est démontré déjà que pour toute classe de k\\/m) le produit de tous les caractères = -f- I .

Par contre, si 2 n'est pas contenu dans d, comme m^i suivant k, on a

( — — j =r 4- 1 , et lé théorème est aussi démontré dans ce cas.

Ayant démontré que le produit des caractères est égal à + i, nous reconnaissons de suite que le nombre des genres dans le corps quadratique lî{\/m) est au plus égal à la moitié de tous les systèmes de caractères imaginables, c'est-à-dire au plus égal à 3'^*.