CHAPITRE XVIII

L'existence des genres dans le corps quadratique.

§ 71. — Le théorème scr les normes des nombres d'un corps quadratique.

Il reste à faire voir que la seconde partie du théorème 100 est vraie, c'est-à-dire à démontrer que la condition que nous avons reconnue nécessaire pour qu'un système de r unités it: i forme le système de caractères d'un genre dans k[\/in) est aussi suffisante. On peut y arriver par deux voies bien distinctes : la première est de nature purement arithmétique, la seconde a des moyens transcendants. La première démonstration résulte des raisonnements suivants :

Théorème 102. — Si n, m sont deux entiers rationnels, m n'étant pas un carré parfait, qui remplissent pour tout nombre premier w la condition

le nombre n est toujours la norme d'un nombre entier ou fractionnaire 1 du corps k[\/m).

Démonstration. — La condition 1 I [ '- — ] exige, comme il résulte de la re-

marque faite à la fin du paragraphe 69, que l'un des nombres n ou m au moins soit positif. Nous pouvons admettre que n et m ne renferment pas de facteur rationnel au carré. Soit alors p un facteur premier de n qui divise aussi le discriminant d du corps k[\/m); p est la norme d'un idéal de k[\/m). De plus, si p est un nombre

.... fn, m\ /m\ premier impair qui divise n et m ou m, comme I )^^\ — ) = + i, p est aussi la

norme d'un idéal de k[\/m). Enfin, si 2 divise n et ne divise pas le discriminant du

, f /—\ fn, m\ fi, m\ , ,E^ corps k\y m), comme ( 1 =^ \ 1 =( — i) ** = + i, 2 est encore la norme

d'un idéal de k\\jni), et, ^ar suite, k\\l m) contient certainement un idéal j, tel qvie |n| = n(t). Choisissons dès lors dans la classe d'idéaux déterminée par \ un

idéal y, dont la norme n{i')^ ^\/d\ ou d est le discriminant du corps k{\/m). Ceci, d'après le théorème 5o, est toujours possible. Nous poserons i' = y4 et n' = n.niy), où X est un nombre entier ou fractionnaire de k\\/m); on aura n' = H::n(j) avec le signe + ou le signe — suivant que «(•/,) est positif ou négatif. Le nombre entier rationnel n' est donc en particulier sûrement positif lorsque m est négatif. Comme (/ a pour valeur m ou [\m, on a |n'| -^ 2|v/rj|, et il en résulte |n'|<^|m| dès que

2 |v/m| «<; |/n| , c'est-à-dire (/«| > 4- D'autre part, comme n' = n . n(v.), on a

1 = ( ) = -!-], et, par suite, a cause de la formule (c ) du théorème 98,

pour tout nombre premier w .

Admettons que le théorème 102, que nous voulons démontrer, soit vrai pour tout corps kyym) pour lequel le nombre m', qu'il soit positif ou négatif, satisfait à |m'| <; \m\ . Le nombre n' que nous venons de trouver satisfait à |n'| <C |w| et n'est

. , fm, n'\ pas un carre, et comme on a de plus ( 1 = + i pour tout nombre premier w, il

faut, grâce à notre hypothèse, que le nombre m soit la norme d'un nombre x' dans

le corps kyyn'j, c'est-à-dire qu'il existe deux nombres entiers ou fractionnaires rationnels tels que

d'autre part, si n' est un carré, la possibibilité de cette égalité est évidente. Comme il faut que b soit =[= o, on voit que n'= f j j — ^» ( t ) =^n(X), c'est-à-dire que n' est

la norme d'un nombre X dans le corps k{\/m). En rapprochant ce fait de n'=^n.n{'A), on voit que n = n(x), où a = — est encore un nombre de k{\/m).

La démonstration complète du théorème 102 sera accomplie dès que nous aurons montré que le théorème est vrai pour |m| -^4 avec \n\<^ \\/d\. En restreignant ainsi les nombres n el m, les conditions du théorème 102 ne sont remplies que dans huit cas.

Les égalités

— ï =Ai(i + v/2), — 3 = /i(v/3)

montrent que dans ces huit cas le théorème 102 est vrai.

Fac. de T., 3<» S., II, 35

On reconnaît que le théorème loa est encore vrai si on en modifie l'énoncé en

exigeant que la condition := 4- 1 ne soit remplie que pour tous les nombres

premiers impairs w; mais il faut alors ajouter cette condition que l'un des nombres n et m au moins est négatif. [LagrangeS Legendre*, Gauss'.] Et, en effet, d'après le

lemme i4, l'égalité ( — — } == i est alors satisfaite d'elle-même.

S 72. — Les classes du genre principal.

A la fin du paragraphe 66 nous avons montré que le carré d'une classe d'idéaux appartient toujours au genre principal. Le théorème 103 du paragraphe 71 nous permet de montrer la réciproque.

Théorème io3. — Dans un corps quadratique, toute classe du genre principal est le carré d'une classe. [Gauss*.]

Démonstration. — Soit H une classe du genre principal du corps k[\/m) et \) un idéal de cette classe première avec le d du corps k[\/m), soit n la norme de l'idéal if précédée du signe prévu au paragraphe 65. Ce nombre n remplit alors, quel que soit

le nombre premier iv, la condition f — — j = + i , et par suite on a /î^n(ot), où x

est un nombre entier ou fractionnaire du corps k{\/m). Posons donc- = — , ^ et

ft' étant des idéaux premiers entre eux; il en résulte que — ; — ,^i et, par suite, fj'r=5fi. Comme ^s^'-^ i. il en résulte que ^ ^^ ff.

Cette propriété caractéristique des idéaux du genre principal a un rapport étroit avec une autre propriété également caractéristique de ces idéaux et qui est exprimée par le théorème suivant :

Théorème io/j. — Soient w^, w^ deux nombres de base du corps quadratique k et y;,, T|, deux nombres de base d'un idéal ff appartenant au genre principal de k, et enfin soit N un nombre entier rationnel quelconque donné; on peut toujours trouver quatre nombres rationnels /\,, i\^, ^\^, r^^ dont les dénominateurs sont premiers avec N , dont le déterminant /\,/*„ — /\,/'„ = + i , et tels que

Démonstration. — Déterminons un idéal ï)' équivalent à ^; î>'=|8^ premier avec No?.

Ainsi que nous l'avons déjà utilisé dans la démonstration du théorème io3, n = +'î(^') est égal à la norme d'un nombre oc entier ou fractionnaire du corps k, si l'on choisit le signe + ou le signe — d'après les conventions du paragraphe 65.

L'idéal a^'= ap^ admet les nombres de base

oùa^j, a,,, ttjj, a,, sont des entiers rationnels. Comme n(a^') = 7ïS le déterminant a^^a^^ — a,j«„ = it:^*, et par suite les quatre nombres

ont les propriétés indiquées dans l'énoncé.

§ 78. — Les idéaux ambiges.

Nous dirons qu'un idéal a du corps A: est un idéal ambige si l'opération

5=(\/m ; — s/m) le laisse inaltéré et s'il ne contient pas d'autre facteur entier rationnel que + i (voir § 37). On a le

Théorème io5. — Les / idéaux premiers I,, ï^, ..., i, distincts contenus dans le discriminant d du corps k sont des idéaux ambiges premiers du corps k, et il n'y en a pas d'autres. Les 2' idéaux i, ï,, ï^, ..., ï^ I^, ..., ï, I^ ... \^ forment l'ensemble de tous les idéaux ambiges du corps k .

Démonstralion. — Que les idéaux premiers ï^, .... I^ sont ambiges et qu'il n'y en a pas d'autres, cela résulte du théorème 90. Soit maintenant a = p.q...r un idéal ambige quelconque décomposé en idéaux premiers; comme (i = s(i, il faut que les idéaux conjugués à p, q, .... r, sp, 5q, .... st, abstraction faite de leur ordre, soient égaux à :p, q, ..., r. Si on avait, par exemple, 5p = q, a contiendrait le facteur psp, qui est un entier rationnel; comme ceci est contraire à la définition d'un idéal ambige, il faut que p:^=sp , q = 5q, ... , c'est-à-dire que tous les idéaux soient ambiges. Gomme les carrés des idéaux I, ..., \^ sont des entiers rationnels, nous en concluerons que p, q. ..., r sont nécessairement distincts, et la dernière partie du théorème io5 est démontrée.

S 74. — Les classes ambiges d'idéaux.

Soit a un idéal de la classe A; nous désignerons par ^A la classe à laquelle appartient sa. Et, en particulier, si A = sA, la classe d'idéaux A est dite une classe ambige d'idéaux. Comme le produit asa -^ i, A.5A= i ; et par suite, le carré de toute classe ambige est égal à la classe principale 1. Réciproquement, lorsque le carré d'une

classe A égale i, A=: — = sA, et par suite la classe A est ambige.

276 D, HFLBERT.

§ 75. — Les classes amdiges d'idéaux déterminées par les idéaux ambiges.

Il s'agit maintenant d'établir les classes ambiges de k . Comme tout idéal ambige a détermine une classe ambige en vertu de sa propriété a = sa, il nous faut d'abord rechercher combien de classes ambiges distinctes résultent des 2' idéaux ambiges. Nous dirons que plusieurs classes d'idéaux sont classes d'idéaux indépendantes lorsqu'aucune d'elles n'est égale à la classe i et lorsqu'elle n'est pas non plus égale à un produit de puissances des autres classes. Nous énoncerons alors le

Théorème 106. — Les / idéaux premiers ambiges déterminent toujours t — i classes ambiges indépendantes dans le cas d'un corps imaginaire; dans le cas d'un corps réel, elles déterminent / — 2 ou / — i classes indépendantes, suivant que la norme de l'unité fondamentale s du corps /?(:)=-f- i ou — i. L'ensemble des 2' idéaux ambiges détermine, dans le cas d'un corps imaginaire 2'"* et dans le cas d'un corps réel 2'"* ou 2'""' classes indépendantes, la distinction entre 2'"* ou 2'""' se faisant par le signe de n(=).

Démonstration. — Le produit de tous les idéaux premiers facteurs de m est égal à \/m; il est donc un idéal principal de k. Soit d'abord m négatif, mais différent de — I et de — 3, et soit (a) un idéal principal ambige de k : on a nécessairement a'~*=:( — i)^, car a'"* est une unité, e ne pouvant être égal qu'à o ou à i. Il en résulte que

\x{\/my\'-'=i ou ^{\/my = s\a{s/my],

c'est-à-dire que a(ym)'' est un entier rationnel. Ce qui démontre que dans un corps imaginaire, k[\/ — i) et k[\/ — 3) exceptés, il ne peut y avoir d'autre idéal principal

ambige que i et y m. Les deux exceptions, traitées en particulier, donnent immédiatement le résultat énoncé au théorème 106.

Soit un corps réel, pour lequel n(e)=^ + i ; d'après le théorème 90, £ = a'~\ où a est un nombre de k que nous avons le droit de supposer dégagé de tout facteur rationnel différent de + i. Comme a = £.S7. , (a) est un idéal principal ambige. Cet idéal principal (a) est distinct de i et de y m, car si l'on avait x = ±^^ ou = + s'vm, où /est un entier rationnel, on aurait

a'-'=(-ir3ro=(-ov^ (e=oou I),

mais ce nombre est toujours différent de z. Si. d'autre part, a' est un idéal principal ambige quelconque du corps k, on a nécessairement a"~* = ( — i)*£^ où e et / sont

des entiers rationnels. Posons y." =^-, — =rT — ; on voit que !x"'~*= i, c'est-à dire que

Wn^y.^

a" est un nombre rationnel, et par suite, outre i, y m et a, il ne peut y avoir qu'un idéal principal ambige obtenu en débarrassant le produit ym.x de tout facteur rationnel différent de H- i.

D'autre part, si n(e) = — i, il n'y a pas dans k d'idéal principal ambige différent de I et de y m , car, soit a un idéal ambige quelconque de/f, on aurait nécessairement

avec e et / entiers rationnels, et comme n(a*~*)=+ i, (n(î)y= + i, c'est-à-dire que /est pair. Posons

nous trouvons a" *= + i, c'est-à-dire que a' est un nombre rationnel.

Nous exprimerons donc un des / idéaux premiers ambiges de k approprié au moyen de y m et des / — i autres idéaux premiers ambiges, et lorsque le corps est réel et que n(t) ^ -|- i, nous choisirons parmi ces / — i idéaux premiers ambiges un idéal approprié que nous exprimerons au moyen de a et des / — 3 autres. Ceci nous montre que la deuxième partie du théorème 106 est exacte.

S 76. — Les classes ambiges d'idéaux qui ne contiensent pas d'idéal ambige.

Théorème 107. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'un corps quadratique k contienne une classe ambige qui ne contienne pas elle-même d'idéal ambige est que le système de caractères de — i soit composé d'unités toutes positives et que la norme de l'unité fondamentale n(e)= -f i. Lorsque ces conditions sont remplies, les classes ayant cette propriété s'obtiennent en multipliant l'une quelconque d'entre elles successivement par chacune des classes provenant des idéaux ambiges.

Démonstration. — Lorsque le corps k est réel et que le système des caractères de — i n'est composé que d'unités positives, il y a toujours dans k, d'après le théorème 102, un nombre entier ou fractionnaire a dont la norme égale — i. Si, de plus, la norme de l'unité fondamentale n(e)^ + i, ce nombre ot est nécessairement fractionnaire. Posons a = — , où j et î' sont des idéaux premiers entre eux; il en résulte î \s\ que -, — ;= i, et par suite j' = sj; par suite, i^^sj eij détermine une classe ambige. j'sj'

Cette classe ambige ne contient pas d'idéal ambige, car si un idéal de cette classe a=jS, où p est un nombre de k entier ou fractionnaire, était ambige, on en concluerait que a'"' = 5 fî*~*, et par suite a[i'~* serait une unité, par exemple =( — i)*î^ et par suite n(a)= -|- i , ce qui est contraire à la façon dont y. a été obtenu. Ceci nous prouve que la classe j ne contient pas d'idéal ambige.

278 D. IIILBERT.

Soit maintenant A une classe ambige quelconque donnée et j un de ses idéaux ; j'"* est égal à un nombre entier ou fractionnaire a du corps k et, de plus, n(a)= -f i ou — I . Le premier cas est le seul possible, lorsque le corps est imaginaire ou lorsque

le corps k est réel et que 1 un au moins des caractères ( 1 est égal a — i.

Comme n{%)^=+ i, il résulte du théorème 90 que - = &'"', 8 étant un nombre

entier de /c, et alors (jjj)'~*= i, c'est-à-dire que jfi est le produit d'un idéal ambige par un nombre rationnel et la classe A contient un idéal ambige. D'autre part, si rt(a) = — I avec n(£) = — 1, n(i(x)= + i, et nous démontrerons comme précédemment que la classe A contient un idéal ambige. Ceci nous montre que toute classe ambige contient un idéal ambige dans le cas où le corps est imaginaire ou bien dans le cas où le corps est réel et que l'un des caractères de — i égale — i, ou encore que n(t) = -i.

Admettons maintenant que, dans le cas où aucune de ces circonstances ne se produit, il y ait dans k plusieurs classes ambiges d'idéaux qui ne contiennent pas d'idéal ambige, et prenons dans l'une d'elles un idéal j, dans une autre un idéal j'; les développements qui précèdent montrent que les normes des deux nombres

a = j'~*, (x.'^i"~' sont égales toutes deux à — i, et par suite n( — ] = -{- i. Le théorème 90 nous permet de mettre — = [i*~*, fi im nombre convenablement choisi de k.

i'H Posons — !- = 6a, où b est rationnel et a un idéal sans facteur rationnel rb-h i. î

( -7- j =1 entraîne a^sa, c'est-a-dire que a est un idéal ambige, et on a j =aj. Ce qui démontre la dernière partie du théorème 107.

S 77. — Le nombre de toutes les classes ambiges.

Les théorèmes 106 et 107 permettent d'énumérer toutes les classes ambiges.

Théorème 108. — Dans tous les cas, le corps k contient exactement /' — i classes ambiges indépendantes, r étant le nombre des caractères qui détermine le genre d'une classe. Le nombre total des classes ambiges distinctes est par suite a'"*.

Démonstration. — Soit encore / le nombre des entiers premiers rationnels contenus dans le discriminant cl du corps k. Considérons d'abord le cas où k est un corps imaginaire. Il résulte des théorèmes 106 et 107 qu'il y a exactement 2'^' classes ambiges dans k; elles résultent toutes d'idéaux ambiges. Supposons le corps k réel : si le système des caractères de — i dans k ne contient que des unités positives, il y a exactement 2'^' classes ambiges dans k\ ces 2'"' proviennent toutes d'idéaux ambiges

OU la moitié d'entre elles proviennent d'idéaux ambiges suivant que «(£) = — i ou /i(£)=4- I- Toutefois, si — i a au moins un caractère négatif, n(c)=4- i, et les théorèmes 106 et 107 nous affirment qu'il n'y a alors que 2'"* classes ambiges dans k, provenant toutes d'idéaux ambiges. Mais le nombre des caractères =t — i lorsque le corps est réel et que le nombre — i a au moins un caractère négatif; on a r = / dans tous les autres cas. Le théorème 108 est démontré.

§ 78. — La démonstration arithmétique de l'existence des genres.

Les résultats acquis nous permettent d'évaluer le nombre des genres et de répondre à la question posée au théorème 100; car il nous est facile de démontrer, que ce nombre est égal à a"""* et, par suite, que tous les systèmes de caractères qui satisfont aux conditions du théorème 100 sont représentés parmi les genres. Nous désignerons par g le nombre des genres et par/le nombre des classes du genre principal. D'après le paragraphe 66, tous les genres renferment le même nombre de classes, par suite le nombre des classes h = gf. Désignons par H,, ..., H^ les / classes du genre principal; le théorème io3 nous apprend que nous pouvons écrire Hj = R^, ... , H^=H^, où Kj, ..., K^ représentent /certaines classes du corps.

Soit alors C une classe quelconque du corps; comme C* appartient au genre principal, C^=:Kf, , où K„ représente une classe bien déterminée parmi les /classes K,,

... , R^ que nous venons de définir. Alors la classe —, c'est-à-dire la classe A parfai-

tement déterminée pour laquelle C = AKa, est une classe ambige et par suite l'expression AK, où A représente successivement toutes les classes ambiges et où K prend toutes les valeurs K,. ... , K^, fournit toutes les classes du corps et ne donne chacune d'elles qu'une fois. Mais d'après le théorème 108, le nombre des classes ambiges est a*""'; par suite A = 2'"'/, et comme h=zgf, on voit que g=!i''~\ Le théorème fondamental loo est complètement démontré. [Gauss*.]

S 79. — La représentation transcendante du nombre des classes; elle permet d'établir que la limite d'un certain produit infini est positive.

La deuxième démonstration de l'existence des a*""' genres s'appuie sur des considérations transcendantes.

Théorème 109. — Le nombre h des classes d'idéaux du corps k de discriminant d est déterminé par la formule

vJi = L n

le produit du second membre s'étend à tous les nombres premiers/) rationnels et le symbole ( - j a le sens fixé au paragraphe 6i. Le facteur y., suivant que A- est imaginaire ou réel, c'est-à-dire suivant que d est négatif ou positif, a la valeur