loge

Wd\ ■ \sfdV

w a la valeur 6 pour </= — 3, pour d= — 4 la valeur 4; il est égal à 2 pour toute autre valeur négative de d; d'autre part, pour tout corps réel £ sera celle de ses quatre unités fondamentales, qui est > i, et log e sera la partie réelle du logarithme de cette unité fondamentale e. [Dirichlet*»^.]

Démonstration. — D'après le paragraphe 27, on a, tant que s est réel et >> i :

le produit s'étendant à tous les idéaux premiers du corps k. Ordonnons ce produit d'après les nombres premiers rationnels p d'où proviennent ces idéaux premiers p; on voit, d'après le théorème 97, qu'à tout nombre premier rationnel p correspond dans ce produit le facteur

ou — - ou — .,

suivant quel - =+ i. = — i> =0. iMous écrirons ces trois expressions sous une forme qui leur est commune

et nous obtenons

où les deux produits du second membre s'étendent à tous les nombres premiers rationnels p. En vertu de

où n prend toutes les valeurs entières rationnelles,

• -MP) , ^fj^

Notre théorème 109 va résulter du théorème 56, si nous évaluons y. d'après le paragraphe aS. Pour trouver w, il faut remarquer que le corps k[\/ — s) contient

six racines de l'unité zh i> ± — — et que le corps k{\/ — i) contient les

quatre racines de l'unité ±1, ±i; par contre, tout autre corps imaginaire k ne con tient que les deux racines de l'unité ± i. (Comparez § 62.)

La conséquence la plus importante que nous en tirerons est le

Théorème i 10. — Soit a un nombre entier rationnel quelconque positif ou négatif, non carré parfait; la limite de

\PJ

est toujours une grandeur finie différente de o. [Dirichlef*-".]

Démonstration. — Soit a = b*m, b* étant le plus grand carré contenu dans a; soit, de plus, d le discriminant du corps déterminé par y « • Pour tout nombre premier impair p qui ne divise pas 6 , on a ( - j = ( - j les deux produits infinis