LES CARACTÈRES DE RESTES QUADRATIQUES DES NOMBRES DOXNÉS SO>T DO>>"ÉS

Le théorème 1 10 va nous permettre de démontrer les propositions suivantes : [Dirichlet^, Kronecker'".]

Théorème m. — Soient a^, a^, ..., a^, t nombres entiers rationnels quelconques positifs ou négatifs, mais tels qu'aucun des 2' — i nombres a,, a^, ..., a,; a^a^, ..., af^a^; ..., a^a^, ... , a^ ne soit un carré, et désignons parc^, c^, ..., c^, l unités quelconques 4-1 ou — i, il y a une infinité de nombres premiers rationnels/), tels que

Fac. de T., 3e S., II. 36

Démonstration. — Tant que s^i,

log S -^ rzr V log L = s -îj + S ,

L'expression S, on l'a montré au paragraphe 5o, reste finie pour 5 = 1; il en résulte que la somme étendue à tous les nombres premiers rationnels p

croît au delà de toute limite lorsque s tend \ers l'unité. Soit, de plus, a un nombre entier rationnel quelconque ; on a pour s >> i

log II -^ = V / Z ) + S„.

" '\p)\pj p" ' \p)\py p'

Lorsque a n'est pas carré parfait, nous savons (théorème 1 10) que log II

est fini pour 5 = 1, et, comme on peut en dire autant de S„, il en résulte que la somme

tend vers une limite finie pour 5=1. Remplaçons dans (27)

et donnons à chacun des / exposants a^, «,, ... , o, la valeur o ou i, en exceptant toutefois le système de valeurs

Multiplions ensuite chacune des sommes déduites ainsi de (27) par le facteur correspondant c"'c*^'cl'^, et additionnant les 2' — i expressions à (26), il nous vient

Cette somme, tout comme la somme 26, croîtra indéfiniment quand s tend vers 1. Faisant abstraction des nombres premiers p contenus dans a,, a^, ... , a^, et

qui sont en nombre fini , la somme (28) égale 2'n -;j, où p' ne prend que les valeurs

des nombres premiers p qui remplissent toutes les conditions de l'énoncé du théorème III. Et comme cette somme croît elle aussi au delà de toute limite, il faut que les nombres premiers p' existent en nombre infini. Le théorème m est démontré.

THKORIK DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 283

§ 8i, — L'existence d'une infinité d'idéaux premiers de caractères donnés dans un

CORPS quadratique.

Théorème 112. — Soient

f±n(i),tn\ f±n(i).m

les r caractères qui déterminent le genre d'un idéal j de k, et soient c^, ..., c,,. r unités quelconques ±1 satisfaisant à la condition c, ...c^.= + i ; il y a une infinité d'idéaux premiers p du corps k pour lesquels

yjp) = c,, ■■■, ■/Ap) = c,.-

Démonstration. — Supposons que le discriminant du corps contienne les t nombres premiers rationnels t^, ..., l^; t:^r ou =r-\-i, dans ce dernier cas, soit

' :^ — I, et la condition ( := + i servira a déterminer le signe

devant n(j). Nous écrirons dans ce cas c^ = c,.^,= + i. Nous démontrerons d'abord qu'il y a une infinité de nombres premiers rationnels p pour lesquels

et nous distinguerons pour cela trois cas, suivant que

m^i m^3 ou m = 2 suivant 4- Dans le premier cas, nous partirons de l'hypothèse

Le théorème 1 1 1 nous apprend qu'il y a une infinité de nombres premiers p qui satisfont à ces conditions. Comme la première condition revient à p^i suivant 4. on a pour ces nombres premiers p

pour i=i, ..., t.

Dans le second cas, désignons par /^ celui des nombres premiers l^, ... , /^, qui est égal à 2. Soit alors 0.= -f 1 ; nous prendrons comme point de départ l'hypothèse

et il résulte du théorème m qu'il existe une infinité de nombres premiers p satisfaisant à ces conditions. La première égalité nous apprend que (— — ] ^ -{- i z=c.,

et, de plus,

p, m\ fp\ //, ,

pour f=i, z — i,~-(-i, ...,/.

Par contre, si c. = — i , nous admettrons que

et les nombres premiers (en nombre infini) qui remplissent ces conditions satisfont aussi à

pou r/=i, ..., z — I, z -\- i , ..., t.

Dans le troisième cas, nous considérerons en particulier /. = 2. Nous admettrons que

) =: 4- I , (-]zzzzC,, ( -!-]z=C, («=!,..., 4-1, î+1, ..., ().

P y \pJ ' \pJ

le théorème 1 1 1 nous montre qu'il y a une infinité de nombres premiers satisfaisant à ces conditions et pour lesquels

et, de plus,

''■"'^=m=ril=o,.

pour / = I , ... , z — I , z -\- r , . . . , /.

Soit alors p l'un quelconque des nombres premiers rationnels p, tels que

"fh^ •e-r)-^.-

D'après le lemme il\, on a

Il f p, m\ f p, m\ f p,m\ f p, m