IV

et, par suite.

• c'est-à-dire que p, dans le corps h, se décompose en deux idéaux premiers p et ^'. Chacun de ces idéaux ;j) et :p' répond aux conditions du théorème 112; c'est ce que nous voulions démontrer.

THIiORIE DES GORl'S IJE NOMBRES ALGEBRIQUES. 2 85

S 82. — La démonstration transcendante de l'existence des genres et des résultats

ÉNONCÉS DU s 71 AU § 77.

Le théorème 112 démontre l'existence des 2''"' genres, mais il nous fait découvrir aussi un fait plus profond.

Théorème i rS. — Parmi les idéaux d'un genre quelconque du corps quadratique, il y a une infinité d'idéaux premiers.

Lorsqu'on a démontré l'existence des 2'''"* genres par ces moyens transcendants et indépendamment des théorèmes 103, io3 et 108, il est facile d'en déduire aussi ces théorèmes. Il suffît de savoir que le nombre a des classes ambiges de A: est toujours -^ 2'~'. Ce fait se déduit du théorème 106 relatif au nombre des classes ambiges qui proviennent d'idéaux ambiges, en tenant compte des conclusions de la deuxième et de la troisième partie du théorème 107; ces déductions sont tout à fait indépendantes du théorème 102.

Soit alors, comme avant, /le nombre des classes du genre principal, g le nombre des genres et/ le nombre de /classes du genre principal qui sont des carrés de classes. Il en résulte, comme au paragraphe 78, que gf^af, et comme, d'autre part, <7= 2*""', de plus a<^ 2''"*, il faut que f -^f, et, par suite, f =f, a = 2*""'.

I.a première égalité démontre le théorème io3; la seconde, le théorème 108, et, par suite, le théorème 102 pour n = — i.

Le théorème 102 résulte complètement de io3 et des derniers résultats. Car le nombre n en question, en vertu des conditions qui lui sont imposées, est alors la norme d'un idéal ^ du genre principal, précédé du signe prévu au paragraphe 65.

Désignons par ^ un idéal tel que ^^o^^*; il faut que a^ — \- , soit un nombre

entier ou fractionnaire du corps k, ot l'on a n{'x)^^±n, d'où le théorème 102, si l'on considère qu'il est vrai pour n^ — i.

Nous voyons, en somme, que la méthode transcendante nous permet de démontrer les résultats des paragraphes 71-78 dans l'ordre inverse où les avons trouvés par la voie arithmétique.

S 83. — Le sens plis étroit de l'équivalence et du concept de classes.

Si nous prenons pour base de l'équivalence de deux idéaux le sens plus étroit exposé au paragraphe 24 , les théorèmes établis aux chapitres XVII, XVIII subissent de légères modifications faciles à trouver.

II est tout d'abord évident que le sens plus étroit de l'équivalence coïncide avec le sens ordinaire dans tous les cas pour un corps imaginaire k, et pour un corps réel k lorsque la norme de l'unité fondamentale c, n{t)=z — i. Mais lorsque dans un corps réel n{{) =4-1, une classe idéale au sens de la répartition primitive se répartit ici en

D. IIILBERT.

deux classes ; en particulier, la classe des idéaux principaux se décomposera ici en deux classes représentées par l'idéal principal (i) et par l'idéal principal {\/m). Soit h' le nombre des classes d'idéaux avec le sens plus étroit de l'équivalence; on a, dans les circonstances actuelles, h'^^h. [Dedekind*.]

§ 8Z|. — Le théorème fondamental pour le nouveau concept de classe et de genre.

Au sens nouveau de classe correspond un sens nouveau de genre. Le genre d'un idéal j du corps kyym) sera dorénavant défini dans tous les cas par les i unités :

Ici, la norme de \ sera constamment prise avec le signe +• Pour un corps imaginaire, ce sens nouveau de l'équivalence coïncide totalement avec l'ancien. On peut en dire autant d'un corps réel A- , dans le cas où le système de caractères de — i n'est composé que d'unités positives. Cette dernière circonstance se présente toujours lorsque dans le corps la norme de l'unité fondamentale est égale à — i. Supposons donc Ar réel et la norme de l'unité fondamentale égale à + i ; il faut distinguer deux cas, suivant que le système de caractères de — i se compose uniquement d'unités positives ou non.

Dans le premier cas, les idéaux (i) et a^:=^\\/m) appartiennent tous deux au même genre, car

n(a), m\ /+ tn, m\ f -\r m, m\ / — i , m\ / — m, ni\

h J \ h J \ l, J\ l, J \ h pour i=i, ..., t. •

Les nouveaux genres comprennent les mêmes classes que les anciens, et le nombre des genres est a'"'.

Dans le second cas, les deux classes d'idéaux représentés par l'idéal (i) et l'idéal a = (vw) appartiennent à deux genres différents des genres nouveaux. Le nombre des genres nouveaux est double de celui des anciens; mais en ce qui concerne ce cas, le nombre des caractères au sens primitif du genre était / — i, et le nombre de ces genres a'"*, tandis que le nombre des nouveaux genres est comme dans les autres cas a'"'. Et comme dans tous les cas le produit

le théorème fondamental loo est vrai aussi en tenant compte du s€ns nouveau de classes et de genre à la condition d'y écrire t au lieu de /'.

Les autres propositions et démonstrations des chapitres XVII et X\ 111 se modifient de même sans difficulté, et même quelques théorèmes s'énoncent plus simplement.