LU
en un nombre fini.
Pour cela, il nous faut d'abord définir le symbole ( - ) . aussi pour le cas où n est
un nombre entier positif rationnel composé. Soit n=pq ... w, où p, q, ..., w sont des nombres premiers rationnels égaux ou distincts ; nous définirons
de plus, soit [ - ) = + i ; on a, pour 5 >> i ,
où la somme s'étend à tous les entiers positifs rationnels. Le calcul de la limite de cette somme pour s = i nous donne un nombre fini pour le nombre des classes h. Le résultat est donné par le théorème suivant.
S 86. — L'expressio>{ fii<ie donkant le >iombre de classes d'idéaux.
Théorème \\[\. — Le nombre h des classes d'idéaux du corps kiym) est
— w f d\ h = —r-r, ^ [ - ]n, pour m << o ,
/ bir. bir.\
losr — ; : — , pour m > r ,
\osi ( "Jl ^\
OÙ la somme H s'étend aux \d\ entiers rationnels n= i, 2, ... \d\ et où les produits
n, n s'étendent à tous les nombres a et 6 parmi ces \d\ nombres satisfaisant à
-\ = +ietfj\=—i. [Dirichlet«'»; Weber*.]
Démonstration. — Soient n et n' deux nombres positifs. Lorsque n et d ont un diviseur commun, -1=+ M ~ ) ^^ °- ^^^ contre, lorsque n est premier avec d, on
voit facilement que ( - ) = II ( — — |, où le produit s'étend à tous les nombres pre-
\nj ,„,)\ w J
miers w qui divisent n. D'après le lemme 1I4, II ( -^ ) représente la même unité
il) \ l J
lorsque / parcourt toutes les valeurs des nombres premiers contenus dans d. Soit n' ^n suivant d
d'où
De plus, on a
car nous pouvons déterminer un nombre b tel que ( - j ^ — i et on a, en tenant compte
t J ii\ \ l
de (29) :
La formule
n I (s) Jo
donne, en tenant compte de la règle 29,
.,=1 („) \nj n ,=iJo I — e où l'on a posé
L'égalité 3o nous montre que F(a;) admet le facteur i — £C, et la fonction ration-
F(e-') nelle ^^^ est finie pour / = 0.
,=1 yo I — e Jo 1 — e "■'
faisons le changement de variable x = e~', on a
Jo
dx.
'0 x( I — x^) et la décomposition en fractions simples donne
Xil—X") f/,„) -"'^
X — e <* où la somme s'étend à n= i, 2, ... |rf|, et, d'après un théorème de Gauss, FVe~^j,
c'est-à-dire
^y-^Osf.
n' prend encore les valeurs i, 3, ..., \d\, et yd est positif pour (/positif, imaginaire positif pour d négatif [voir § 124]. Comme, de plus.
ni- nir-
1 dx , eW — e~'w ir. ,
= log : („irf).
où il faut prendre la valeur réelle du logarithme, on en tire sans difficulté le résultat du théorème 11 4-
La forme de ce résultat est essentiellement différente, suivant que le corps est imaginaire ou réel. Dans le premier cas, h peut être déduit de la formule indiquée sans plus. Dans le second cas, il faut d'abord connaître l'unité fondamentale £; le quotient des deux produits El et II est, on le montrera au paragraphe 121, une certaine unité
(a) (ft)
du corps quadratique provenant de la théorie de la division du cercle.
Prenons comme exemple le cas d'un corps imaginaire, soit m = — p, cl p un nombre rationnel premier positif ^ 3 suivant 4 et > 3 ; on a
ici, Za, mb désigne l'un la somme des restes quadratiques suivant/), l'autre la somme des non-restes compris entre o et/>. Une transformation simple permet de faire disparaître le dénominateur p de cette expression. On voit alors que le nombre des classes
h est égal à l'excès du nombre des restes quadratiques de p situés entre o et — sur le
nombre des non-restes compris entre les mêmes limites, ou au tiers de cette différence, suivant que p^-j ou ^ 3 suivant 8. Le premier nombre excède donc le second, ce qui n'a pas encore été démontré par une voie purement arithmétique.
Fac. de T., 3e S., II. 87
D. IIILBERT.
§ 87. — Le corps de nombres biquadratiques de Dirichlet.
Le problème suivant est une généralisation de la théorie du corps quadratique qui vient d'être développée. Au lieu de prendre comme base le domaine de rationalité formé par tous les nombres naturels rationnels, nous prendrons comme base le domaine de rationalité formé par un corps quadratique k: et nous examinerons les corps K quadratiques relatifs par rapport à k, c'est-à-dire les corps biquadratiques R qui admettent le corps donné k comme sous-corps.
Lorsque le corps A: est déterminé par l'unité imaginaire y — i, le corps K sera dit le corps biquadratique de Dirichlet. On possède des recherches étendues pour ce corps. [Dirichlet'"'"*-, Eisenstein *'". Bachmann*'*, Minnigerode', Hilbert^.] Le théorème 100 s'applique encore à la répartition correspondante des idéaux du corps K en genres; ce théorème s'applique avec une transformation appropriée et les deux mélliodes de démonstration du chapitre XVIIl peuvent être employées dans le corps K. de sorte que ce théorème fondamental pour le corps quadratique de Dirichlet peut être établi aussi bien sur une base purement arithmétique [Hilbert*] qu'au moyen de la méthode transcendante de Dirichlet [Dirichlet'"- "'-, Minnigerode*].
Si le corps K contient, outre le corps quadratique y — i' deux autres corps quadratiques k{\/-{-m) et /i(v/ — m), présente un intérêt particulier. Pour un pareil corps spécial de Dirichlet K , on a le fait suivant, auquel on parvient encore par la voie transcendante ou par la voie purement arithmétique.
Théorème 116. — Le tiombre des classes d'idéaux d'un corps spécial biquadratique de Dirichlet K(\/+ m, y — 'n) est le produit du nombre des classes dans les corps quadratiques k[\/ + m) et /i(v — m ou la moitié de ce produit, suivant que la norme relative par rapport à k\\/ — i) de l'unité fondamentale du corps R est égale à + i ou à + I. Dirichlet désigne ce théorème comme l'un des plus beaux de la théorie des imaginaires et il le trouve surprenant, parce qu'il révèle un rapport entre les deux corps quadratiques déterminés par la racine de deux nombres opposés. La démonstration arithmétique de ce théorème permet, et cela d'une façon très simple, de distinguer au moyen de certaines conditions remplies par les caractères
du genre les classes d'idéaux des corps biquadratiques R(\/ + m, y — m) qui peuvent être considérées comme le produit d'une classe d'idéaux de k\\/ -\- m) et d'une d'une classe d'idéaux de k[s/ — m). [Hilbert*.]
