CHAPITRE XX

Les anneaux de nombres et les modules du corps quadratique.

S 88. — Les anneaux de nombres du corps quadratique.

La théorie des anneaux et des modules d'un corps quadratique s'obtient rapidement en particularisant les théorèmes généraux du chapitre IX. On s'aperçoit facilement que tout anneau du corps est obtenu au moyen d'un seul nombre de la forme /w, où (o est le nombre défini au paragraphe ôg, celui qui forme avec i une base du corps k, où /est un certain nombre entier rationnel, le conducteur de l'anneau. Si, de plus, d est négatif et <C — 4, le théorème 66 nous apprend que le nombre h^. des classes régulières de l'anneau r est donné par la formule

^-^^îi(-(p-)p-)

où le produit s'étend à toutes les valeurs des entiers rationnels premiers p contenus dans/. [Dedekind '• ^]

S 89. — Un théorème relatif aux classes de modules du corps quadratique. LÉS formes quadratiques binaires.

Théorème 116. — Dans une classe de modules du corps quadratique Ar, il y a toujours des idéaux d'anneaux réguliers. [Dedekind'.]

Démonstration. ■ — Soit [^.^, \t.^] un-module quelconque du corps /f, où jx^ et p., sont des nombres entiers, et soit ^=f*d et le discriminant de la classe de modules déterminée par [ij,j, [jL J ; de plus, désignons par m = ([j.,, p.J l'idéal déterminé par les nombres p., et [j.,, et soit sm = tn' l'idéal conjugué de m. Déterminons un entier du

corps k, X, divisible par m' et tel que — ; soit premier avec t». Posons alors

alors [a,, aj sera un module équivalent à [ij.^, [xj, alors que l'idéal a = (a, , aj est premier avec c) .

Supposons r* pair, nous considérerons d'abord les trois entiers a,, a^, a^ + a^; parmi ces nombres, l'un au moins est premier avec 2, sans quoi, parmi ces trois nombres, deux au moins auraient un diviseur idéal commun avec 2 , ce qui est contraire à l'hypothèse que l'idéal a est premier avec c>. Soit a^ premier avec 2. Désignons par p, q, r, ..., w les facteurs premiers rationnels impairs de I). Comme a est premier avec/), il faut que l'un au moins des trois nombres a^ , a^ + a^, a, + 27.^ soit premier avec p. Supposons a, + xx, premier avec /), a, 4- ya, premier avec q, où x, y, ... sont des entiers rationnels. Il en résultera facilement l'existence d'un entier rationnel a, tel que a, + ar^ soit premier avec ^ .

Posons alors

^|n(a, 4-aï,)| ^a,(a/ + aa;)

où a/, a^' sont les nombres conjugués de a, , a^; alors b est un entier rationnel positif et ,S un entier algébrique, et le module [a^, aj = [a, + ax^, 7.J est équivalent au mo-

dule [h, fi], et, en même temps, comme {b, [i)=-' -, — -, la norme N(6, ri) = 6.

Le niodu/e [b, fi] est évidemment un idéal d'anneau régulier de l'anneau /• déterminé par le nombre ,8, r:=^{^;i); le théorème 116 est complètement démontré. A cause de

b, fi b, fi'

I, fi

le discriminant de l'anneau r est égal au discriminant de la classe de module considérée. L'anneau r est le seul qui offre parmi ses idéaux d'anneau réguliers des modules équivalents à []j.^, aj. Le théorème 1 16 nous montre que, pour le corps quadratique, cela revient au même de considérer les classes de modules ou les classes d'anneaux réguliers.

D'après les raisonnements des paragraphes 3o et 35, on voit qu'à chaque classe de modules d'un corps quadratique k{\/Tn) correspond une classe de formes binaires quadratiques à coefficients entiers et rationnels, et, réciproquement, à chaque pareille classe de formes dont le discriminant n'est pas un carré, correspond une classe de modules d'un corps quadratique, où les classes de modules et les formes ont même discriminant. Nous avons complètement terminé les recherches sur les corps quadratiques de discriminant donné t*.

S 90. — La^ théorie inférieure et la théorie supérieure du corps quadratique.

Les recherches faites dans la troisième partie de ce livre forment la théorie inférieure du corps quadratique ; je désigne par théorie supérieure les propriétés du corps

quadratique qui nécessitent, pour les établir, l'emploi de corps auxiliaires de degré plus élevé. On trouvera un chapitre relatif à cette théorie dans la quatrième partie.

Pour construire la théorie d'un corps de classe relatif à un corps imaginaire quadratique et du corps relatif abélien correspondant, il faut le secours de la multiplication complexe des fonctions elliptiques, et ceci est un obstacle qui m'a empêché d'introduire cette étude dans mon rapport.

THÉORIE

DES

MÉMOIRE de M. David Hilbkrt,

Professeur à l'Université de Gœttingen.

PUBLIÉ PAR LA SOCIÉTÉ

DEUTSCHE MATHEMATIKER VEREINIGUNG, en 1897.

Traduit par M. Th. (iOT,

Ancien Ingénieur de la Marine, Agrégé des Sciences mathématiques.