CHAPITRE XXI

Les racines de l'unité d'indice premier 1 et le corps circulaire qu'elles définissent.

S 91. — Degré du corps circulaire des /'*'"•'* racines de l'unité et décomposition

DU nombre PRE'> 1ER / DANS CE CORPS.

iir.

Soit / un nombre premier impair et Z = e ' . L'équation de degré /

x' — 1=0 a les / racines

Ces nombres sont les racines /''"*" de Viinité. Le corps qu'elles définissent, €{1), s'appellera le corps circulaire des racines /''"'''' de l'unité. On a d'abord la proposition suivante :

Théorème 117. — Le degré du corps c(Z) est / — i. Le nombre premier / admet dans c(l) la décomposition /^l'"', I étant l'idéal premier du premier degré (i — l).

Démonstration. — Le nombre Z vérifie l'équation x'— I

le degré du corps est donc au plus / — 1 ; Z, l*. ... , C' ' étant les / — i racines de cette équation, on a identiquement en a; :

x'-' + x'-*-\- ... + i=ix — -0(x—l')...(x—-C-').

D'où, pour £C=: I,

Soit maintenant g un entier quelconque > i non divisible par /, et soit g' un entier positif tel que gg' ^ i mod /. Alors les quotients

et

sont deux entiers algébriques, et par suite

est une unité du corps c{'C). Si nous posons de plus X=i — ^ et Ï = (À), la formule (3i) prend la forme

On conclut immédiatement du théorème 33 qu'un nombre premier rationnel ne peut, dans un corps donné, être le produit d'un nombre d'idéaux premiers supérieur au degré du corps. Le degré du corps ci^Ç) doit donc, vu la formule (32), être au moins égal à / — i ; d'après ce qui précède, il est donc exactement égal à / — i. D'autre part, pour la même raison, l'idéal I doit être indécomposable dans c(Q et, par suite, c'est un idéal premier. [Dedekind^]

Ce résultat montre en même temps que le polynôme F(x) est irréductible dans le domaine des nombres rationnels.

THKORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES, 2()7

§ 92. — Base et discriminant du corps circulaire. Théorème 118. — Dans le corps c(Q les nombres

, y y* yl—t

forment une base. Le discriminant du corps est

Démonstration. — La différente du nombre Ç dans le corps c(l) est

De

on tire

, dF(x) ,., , , , . , . f^'

(x— i) —^ + F(£c) = lx'-\ donc 0 —

dx ' I — C '

d'après la remarque faite au paragraphe 3, le discriminant du nombre l, est alors

Comme le discriminant d(k) du nombre X a certainement la même valeur rf(Ç), la remarque faite pour la formule (i) dans la démonstration du théorème 5, paragraphe 3, montre que tout entier a du corps c(Ç) peut être mis sous la forme

a,, Oj, ,.., aj j étant des entiers rationnels.

Les nombres a^, a,, ... , «,, doivent alors nécessairement être tous divisibles par le dénominateur /'~*. Pour montrer d'abord qu'ils sont divisibles une fois par /, supposons qu'il y en ait de non divisibles par / et soit a^ le premier; de /'~*a^o, mod / résulterait alors, vu /=I'~', Ugl^^o, mod F^S c'est-à-dire cP^o, mod I, et par suite aussi mod / contrairement à l'hypothèse. On peut donc supprimer un facteur / au numérateur et au dénominateur de (33). En poursuivant cette simplification, on voit finalement que tout entier a du corps c(Q, dans ses représentations

avec des coefficients rationnels a,, a, a^^ ou 6^, 6,, .... h^^, admet pour tous

ces derniers des valeurs entières.

Puisque les puissances i, Z,, ..., ^'~* du nombre 1^ forment donc une base du corps c(Q, le discriminant d{Q du nombre Ç est en même temps le discriminant du corps.

Fac. de T., 3-» S., II. 38