DÉCOMPOSITION DES NOMBRES PREMIERS DIFFERENTS DE

La décomposition du nombre premier / dans c('Ç) a été donnée dans le théorème 1 17. Pour celle des autres nombres premiers, on a la règle suivante :

Théorème 119. — p étant un nombre premier différent de /et /le plus petit exposant positif pour lequel jo^^^ 1, mod /, si l'on pose / — i =^/. on a dans c(u) la décomposition

où pj. ..., p" sont des idéaux premiers distincts de degré /de cÇÇ). [Kummer^-^.]

Démonstration. — Soit a = a 4- a,^ 4- ... -j- a^,^'~* un entier arbitraire de c(^); on a les congruences

aP = (a + a/C + . . . -f «,, '^'-y = a + a/f + . . . 4- a,, 7^'''^ (mod p) ,

^/>= = (« + a^ ^p + . . . + a^^ :^pi''y =a + a/r+...+ a,, :^^<'-*' (mod />) ,

aP^ ={a-\- a^ Çp^-* + . . . + a/, ^''^-V/-»))" = a + a, r^^ + . . . + a,^ '^d-*) = a (mod p) .

Si maintenant :p est un idéal premier divisant p, la congruence a^^^^a (mod/)) est vérifiée a fortiori mod |), c'est-à-dire la congruence

est vérifiée par n'importe quel entier de c(Ç). Le nombre des racines de oette congruence incongrues mod p est par suite égal au nombre des entiers de c incongrus mod p, c'est-à-dire à n{p)=p'^ , f désignant le degré de l'idéal premier p; mais le degré de la congruence (34) est p^ . On a donc (théorème 26) p^ ^p^, c'est-à-dire

D'autre part, vu le théorème de Fermât généralisé (théorème ik), on a sûrement

Comme, vu la formule (3i), pour un exposant g non divisible par / le nombre I — ^^ est toujours premier à ip, il résulte de la congruence (35)/)^ — i ^o, mod /, ot par suite /'^/. Donc /'=/, c'est-à-dire que tout idéal premier diviseur de/) est de degré /

Comme p ne divise pas le discriminant du corps c(Ç), il résulte du théorème 3i que p se décompose en idéaux premiers tous distincts. En posant /) = $)^ ... p^', on a n(/)) =/)'"' =/)*'/^, c'est-à-dirè / — i =e/, e'^^e. La démonstration du théorème 119 est ainsi complète.

Pour obtenir effectivement les idéaux premiers p^, ..., p^, appliquons le théorème 33, en ayant égard à la remarque faite à ce sujet paragraphe i3. On a, d'après cela, la décomposition identique mod p

où F,(a?), ..., F/x) sont des polynômes entiers de degré /à coefficients entiers, irréductibles et incongrus mod p. Ces fonctions une fois déterminées, on obtient la représentation cherchée par les formules