CHAPITRE XXII

Racines m'*™" de l'unité, m étant composé, et corps circulaire

correspondant.

S 94. — Le coups des racines m'^""'* de l'umté.

2ir.

Soit m un nombre entier positif quelconque et posons Z::=e'« . L'équation de

degré m

a les racines

Ces nombres sont les racines m''"'"^'* de Vanilé; elles définissent un corps c{Z), appelé

le corps circulaire des racines m''™*'* de l'unité.

Si m est composé, on a

m=:l\'ll^

/, , /,, ... étant les facteurs premiers distincts de m, et l'on peut décomposer — en

fractions simples :

où flj, ttj, ... sont des entiers positifs ou négatifs et où a, est premier h l^, a^k l^. etc.

(1) N. T. — Dans le cas particulier (ie/=: i, c'est-à-dire de /> = m/ + i , on a, en désignant par ff une racine primitive mod p :

F{x) = (x — g'") (x — g"") . . . (x — j/*'-'"") (mod p), et, par suite.

De là résulte en posant

2tr

Le corps c(Z) résulte donc de la combinaison des corps c(Z,) des racines /^ 'i'™es jg l'unité, c(Zj). etc. Nous commencerons donc par traiter le cas le plus simple, où m^=t ne contient qu'un nombre premier.

S 95. — Degré du corps circulaire des /*'•''"''« racines de l'umté et décomposition DU nombre premier / dans ce corps.

Théorème 1 ao. — Que / soit égal à 2 ou à un nombre premier impair, le degré du

corps c(Z). Z =^' ' est égal à /''"'(/ — i). Le nombre premier / se décompose dans c(Z) en /=8' ""'', 8 étant un idéal du premier degré du corps.

Démonstration. — Z "vérifie l'équation de degré /*"'(/ — i)

Si l'on désigne par g un entier non divisible par / et r( un entier tel que gg'^ i mod /*, on voit, comme au paragraphe 91, que

ainsi que l'inverse

sont des entiers du corps; par suite E„ est une unité. On en déduit, comme au paragraphe 91, les égalités

F(i) = /=n(i-r)=A'''~'"-''nE,=s'''-'"-",

(e) (ff)

OÙ A=i — Z, 8 = (A) et où les produits doivent être étendus à tous les entiers positifs premiers à / et <; /".

On en conclut, comme paragraphe 91, que le degré du corps est au moins égal à l'^~\l — i) et a, par suite, exactement cette valeur.

THKORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 3oi

S 96. — Base et discrimikant du corps circulaire des 1'''^^°'^ racines de i.

Sir

Théorème 121. — Dans le corps circulaire c(2), Z =^'''. une base est formée par les nombres

Le discriminant du corps est

avec le signe — pour /* = /| ou /^ 3 mod 4. avec le signe + dans les autres cas.

Théorème 122. — p étant un nombre premier différent de / et /étant le plus petit exposant positif pour lequel p^^i, mod /*, si l'on pose /*"'(/ — i)z=ef, on a la décomposition

OÙ ^^ ^^ sont des idéaux premiers distincts de degré y.

Démonstration analogue à celle des théorèmes 1 1 8 et 11 9.

S 97. — Le corps circulaire général. Degré, discriminant, idéaux premiers.

Soit maintenant m un produit de puissances de nombres premiers distincts m^zl'l^ 11= ... . Le corps c(Z) des m'^'"*'' racines de l'unité est, comme on l'a vu, le résultat de la composition des corps cfZ,)- ^(2^)' • •• des racines /J-, /^, ... èmes de l'unité. Comme les discriminants de ces derniers sont premiers entre eux, on déduit immédiatement du théorème 87 (S Sa) la proposition :

Théorème 128. — Le degré du corps c(Z) des racines m^/J- /*> ... '^"'^* de l'unité est

En appliquant la deuxième partie du théorème 88 et ayant égard au théorème 121, on obtient la proposition :

Théorème i24- — Le corps circulaire c(Z) des w'*"'' racines de l'unité a pour base

Le discriminant du corps c(Z) s'obtient par l'application de la première partie du théorème 88.

Enfin, on peut réaliser la décomposition d'un nombre premier p dans le corps

c(Z) en s'appuyant sur le théorème 88 et les propriétés des corps de décomposition et d'inertie.

On obtient ainsi le théorème :

Théorème i25. — p étant un nombre premier non diviseur de m=^V[^ /*» .,., y le plus petit exposant positif pour lequel jd^^ i, mod m, si l'on pose ^{pi) = ef, p se décompose dans c(Z) en

^, > ..., '^^ étant des idéaux premiers distincts de degré/de c(Z)-

Si l'on pose m*=p'^m, on a dans le corps c(Z*) des /n*'^"""^ racines de l'unité la décomposition

'^*, ..., sp/ étant des idéaux premiers distincts de degré / de c(Z*)- [Kummer*'', Dedekind *. Weber *.]

Démonstration. — Supposons, pour abréger, m = l'^<ll', et désignons alors par c'*', c'*' les corps circulaires des racines /Js /^a'^'n^s de l'unité.

Soit p un nombre premier distinct de l^, l^ et soient p^^\ f)'*' deux facteurs premiers idéaux de p dans c*** et c'*' respectivement; nous désignerons les corps de décomposition de :p*'' dans c*'' et de ^'*' dans c'*' par c^^\ c^^'. Soient/,, f^ les plus petits exposants pour lesquels pf> ^ i mod l\^ , />^» ^ i mod /^», et posons

alors e,, e, sont les degrés des corps éa, c^a et /, , /, les degrés relatifs de c*'' par rapport à c^ et de c'*' par rapport à Cd'. D'après le théorème 88, le nombre premier p se décompose en e^e^ idéaux dans le corps q' composé de q et Cd ; ces idéaux sont donc tous premiers du premier degré dans cj,' ' . Nous considérons en particulier l'idéal premier p = (p*'*, p*'') et nous désignons par ^ un facteur premier de p dans le corps c composé de c*** et c"'; soit c^ le corps de décomposition de l'idéal premier ^ dans c. 11 résulte d'abord de la définition d'un corps de décomposition que Ca doit, ou bien coïncider avec c^, ou en faire partie comme sous-corps. Le groupe relatif du corps compose de c'", câ par rapport a q est cyclique de degré/,; le groupe relatif du corps composé de cl , c**' par rapport à é^ *■* est cyclique de degré /. Nous en concluons que, / étant le plus petit commun multiple de / et/, le groupe relatif de c par rapport à Ca ne peut contenir aucun sous-groupe cyclique de degré supérieur à /. Comme c, corps d'inertie de l'idéal premier ^, doit avoir un groupe relatif cyclique par rapport à c^ et que c^ contient c^a , il en résulte que ce groupe relatif cyclique de c par rapport à c^ est au plus de degré/.

D'autre part, faisons les remarques suivantes. Les deux corps c''* et c^ ont comme sous-corps commun le corps Ca , mais aucun autre de degré supérieur, car autrement

THÉORIK DES CORPS DE NOMBRES ALGÉBRIQUES. 3o3

f>*'' devrait encore être décomposable dans c*''. De même les deux corps c*** et c^ ont Cd pour plus grand sous-corps commun. Prenons alors q" pour domaine de rationalité; Cj est alors un corps relatif par rapport à c^'' , qui n'a ni avec c''*, ni avec c***, aucun sous-corps commun relatif par rapport à é^'.

Nous en concluons facilement que c^ ne peut avoir un degré relatif par rapport

à Cd supérieur à -^ • Le corps c^ est donc au plus de degré ' *.* ', c'est-à-dire

que le groupe relatif de c par rapport à c^ est au moins de degré /. Ceci, joint au théorème démontré plus haut, montre que le degré du groupe relatif de c par rapport à c^ doit être égal à/, ce qui montre l'exactitude du théorème laô dans notre cas particulier.

Ht.

D'après le théorème 128, 2 = ^^ satisfait à une équation irréductible Y{x)=^o de degré <î>(m) à coefficients entiers, et d'après la démonstration du théorème 87, cette équation F(£c) = o reste même irréductible si l'on prend pour domaine de rationalité n'importe quel corps dont le discriminant soit premier à m. [Rronecker^-'.]

Voici comment on forme le polynôme F(ic). Posons, pour abréger, x"' — i = [m] et

on a

IIJIJI, ...

[Dedekind', Bachmann-.]

Si a est un entier rationnel et /; un facteur premier de F(a;) premier à m, on voit que d'après le théorème i25 on a toujours/)^ i mod a« . Il y a par suite évidemment une infinité de nombres premiers vérifiant cette congruence.

S 98. — Unités du corps c\e'" j. Définitiox des « unités circulaires ».

Théorème 126. — m étant une puissance du nombre premier l et g un nombre non divisible par /, l'expression

représente toujours une unité du corps c\Z = e"' J .

3o4 D. HILBERT.

Si le nombre m contient plusieurs facteurs premiers et si g est premier à m, l'expression

représente toujours une unité dans le corps défini par 2 = e^.

Démonstration. — La première partie de ce théorème 126 a déjà été établie dans les démonstrations des théorèmes 117 et 120. Pour démontrer la seconde, posons m = 11' II' l^'..., et

où a est un entier premier à /, et 6 un entier premier à /,, /, On a

itng

Or, on a

le produit étant étendu à x = o, i , 2 /J» — i , ou

2JitW*i / iir.x' iir.b \