II

le produit étant étendu seulement a x' = 1, 2, ... , l'^^ — i.

Distinguons maintejiant deux cas, suivant qu'il y a dans m deux facteurs premiers /, , /^, ..., ou davantage : Dans le premier cas, le second membre de (37) est une unité d'après la première partie du théorème 126. Dans le second cas, nous pouvons

admettre que le théorème 126 ait été démontré pour les corps c\e'"'/, dont le nombre m* a moins de facteurs premiers que m. Le théorème s'applique donc au

m corps formé des racines -— èmes de l'unité. Par suite, le numérateur et le dénomina-

teur de la fraction du second nombre de (37) sont des unités. L'expregsion (36) est un facteiir du produit du premier membre de (37), et, par conséquent, dans tous les cas, c'est une unité. C. q. f. d.

Une unité quelconque du corps circulaire c\e"^} est le produit d'une racine de l'unité et d'une unité réelle. La racine de l'unité n'appartient pas toujours au

corps c\e~^), mais peut, si m contient plusieurs facteurs premiers différents, être, dans le cas de m pair, une racine 2m'^"'® de l'unité, et, dans le cas de m impair, une racine 4'«'''"'*- [Kronecker '.] On a en particulier le théorème suivant déjà trouvé par Kummer.

imb -e Va

THÉORIE DES CORPS Di: NOMBRES ALGEBRIQUES. 3o5

Théorème 127. — /étant un nombre premier impair, si l'on considère, dans le

— , ^ — I corps c(u) défini par ^=:e ' , le sous-corps c(u + C ') de degré défini par

^ + ^~', un système quelconque d'unités fondamentales de ce corps réel c(^ + 'Ç~') est en même temps système d'unités fondamentales de c(Ç).

Démonstration. — e(Z) étant une unité quelconque de c(c), ',. en est une autre, ayant ainsi que ses conjuguées pour valeur absolue i , et c'est par suite, d'après le théo-

rème l\S, une racine de l'unité; posons " , ^ H- T^ (/) , où g est un entier.

L'unité r;(Q = £(u)^~^ possède alors la propriété

(38) ïï^ = ±--

Dans cette formule (38), le signe + est seul possible. Autrement r(L) serait une vmité purement imaginaire; alors, posons t,* = j, où j est une unité du sous-corps réel c(Z + ^~'). La différente relative du nombre t, = v/ aj par rapport au sous-corps réel c(Ç + w~') est 2r,. et, par suite, première à /. Par suite, la différente relative du corps c(Q par rapport à c(s -|- ^~') devrait être première à /. Or, si l* désigne un facteur idéal premier quelconque de / dans le corps réel c(Z -f s~'). cet idéal ne serait donc pas, d'après le théorème 98, égal au carré d'un idéal premier du corps c(ç).

, . /— I Mais comme I* entre au plus a la puissance dans /, cette dernière conséquence

serait contraire au théorème 117 sur la décomposition du nombre /dans c(Q; donc, le second membre de (38) a bien le signe + . De r,ÇÇ) = r^(l^~') suit que y,(u) est réel. C. q. f. d.

Les unités données au théorème 126 sont imaginaires.

Pour en obtenir de réelles, formons, suivant que m est une puissance d'un nombre premier, ou contient plusieurs facteurs premiers différents, les expressions

où g est premier à m et où les y sont pris avec le signe + . Ces unités s'appelleront simplement unités circulaires. Comme i — Z""^ — Z~''(i — Z~0. on reconnaît que, dans le premier cas, ces unités appartiennent au corps c(Z) lui-même, tandis que, dans le second, ce sont des produits d'unités du corps c(Z) par des racines 2 m'^™*' ou ^^iènifs (jg l'unité, suivant que m est pair ou impair.

(ï) N, T. — On peut prendre un exposant pair, car on peut ajouter à Texposaot un multiple quelconque de /, qui est impair.

Fac. de T., 3« S., II. 89

3o6 D. HILBERT.