CHAPITRE XXIII

Propriétés du corps circulaire comme corps abélien.

§ 99. — Le groupe du corps circulaiue des racines m'*'"'^^ de l'unité.

Le corps circulaire des racines m''""^'' de l'unité est toujours abélien et l'on a les théorèmes plus spéciaux ci-après.

tir.

Théorème 128. — /étant premier impair, le corps circulaire défini par 2 = ^^

est un corps cyclique.

lit

Le corps circulaire défini par Z = ^-''(^^2) est composé du corps quadratique

/ il 'Ji\ imaginaire c{l) et du corps réel c\e-'' -\- e -"•/. Ce corps réel est cyclique de

degré 2''"'.

Démonsirallon. — La première partie du théorème 128 résulte de l'introduction de la substitution s = (Z ! ZO' o" ^ ^st une racine primitive, mod /". Il est alors évident que toutes les substitutions du groupe de c(Z) sont des puissances de s.

Pour démontrer la deuxième partie ('), considérons les substitutions :

Il en résulte aisément que les puissances de s et leurs produits par s' représentent toutes les substitutions du corps c(Z)-

Le théorème 128 conduit immédiatement au groupe d'un corps circulaire des racines m'*'""" de l'unité, m étant composé.

l^a détermination des corps de décomposition, d'inertie et de ramification pour

un idéal premier donné de c^e '" / peut se faire facilement avec l'aide des théorèmes démontrés paragraphes 96. 96 et 97, sur la décomposition d'un nombre premier dans un corps circulaire. On obtient ainsi en particulier ce résultat :

Théorème 129. — / étant premier impair, dans le corps circulaire c(Z) des /*■'""«' racines de l'unité, l'idéal premier C = (i — Z) contenu dans / a pour corps de ramification le corps c(Z) lui-même, et l'ensemble des nombres rationnels est à la fois corps de décomposition et corps d'inertie. ^ étant un idéal premier de degré /de c{Z), différent de 8, c(Z) est le corps d'inertie, et le corps de décomposition de ^ est le

sous-corps de degré e = correspondant aux substitutions

s désignant une substitution Z ! Z"^ dont les puissances engendrent complètement le

groupe de c(Z)-

(') N. T. — Il n'existe pas en effet de racines primitives, mod 2''+^ pour A ^2.

S loo. — Généralisation. — Théorème fondamental sur les corps abéliens.

Généralisons maintenant la notion de corps circulaire; désignons sous le nom de

corps circulaire tout court non seulement tout corps c\e "> ) défini par des racines de

l'unité d'indice m quelconque, mais aussi n'importe qviel sous-corps du corps c\e^}.

Comme le corps c\e "' ) est toujours abélien, et que m et m' étant des exposants quelconques, le corps des racines m'^'"" et celui des racines m''^'"^^ de l'unité sont tous les deux des sous-corps du corps des racines m.m''^'^^^ , on a pour les corps circulaires plus généraux qu'on vient de définir les propositions suivantes :

Théorème i3o. — Tout corps circulaire est abélien. Tout sous-corps d'un corps circulaire est un corps circulaire. Tout corps composé de corps circulaires est aussi circulaire :

Voici maintenant une proposition fondamentale qui fournit la réciproque de la première partie du théorème précédent.

Théorème i3i. — Tout corps abélien dans le domaine de rationalité des nombres rationnels est un corps circulaire. [Rronecker-- '^, Weber ', Hilbert^.]

Pour nous préparer à démontrer ce théorème fondamental, rappelons-nous que, d'après le théorème 48, tout corps abélien se compose de corps cycliques dont les degrés sont des nombres premiers ou des puissances de nombres premiers. Nous construisons alors les corps cycliques particuliers suivants. Soit u un nombre premier impair et u'' une de ses puissances d'exposant positif; alors le corps déterminé

par e" ^ est un corps cyclique de degré u''(u — i). Désignons par U^ le sous-corps

il! — iz

cyclique de degré u* de ce corps. Le nombre e'- -\- e- détermine un corps cyclique réel de degré 2*. Soit II,, ce dernier corps. Enfin, soit /'' une puissance d'un nombre premier quelconque / (égala 2 ou non) et soit, en outre, /)(') un nombre

premier ^ i, mod /"; alors le corps circulaire c\e p/ de degré p — i a évidemment un sous-corps cyclique de degré /''. Soit P^ ce corps cyclique de degré /'*. Les corps U^, 11;^, P^ sont des corps circulaires de degrés u*, 2*, /''; les discriminants de ces corps sont, vu les théorèmes 89 et 121, des puissances de u, de 2 et de p respectivement.

Nous montrerons dans les paragraphes suivants que tout corps abélien est un sous-corps d'un corps composé de c{i) et de corps appropriés U^, 11^, P^^. Il faut pour cela une série de considérations auxiliaires.

(') Voir la dernière remarque, §97.

S loi. — Lemme général sur les corps cycliques.

Lemme i5. — Si un corps cyclique C^ de degré /" (/ étant premier quelconque =2 ou =1=2) ne contient pas comme sous-corps le corps correspondant U, ou 11^, on

obtient, en composant C^ avec le corps c{Z) déterminé par Z = e ''' » un corps c(Zf CJ de degré r''~\l — i). et il y a toujours dans c{Z) un nombre •/. ayant les propriétés suivantes : le corps c(Z. CJ est aussi déterminé par les nombres Z et yx; si r est un entier quelconque non divisible par /, et 5 = (Z ! TJ), la substitution correspondante du corps c(Z), y-*"'^ est la /''''"'« puissance d'un nombre de c(Z)-

Démonstraiion. — L'assertion relative au degré du corps c(Z, C^) est une conséquence immédiate de ce que c(Z) et C^ n'ont aucun sous-corps commun en dehors du corps des nombres rationnels. Soit alors a un nombre générateur du corps C^, tel qu'aucune de ses puissances ne soit contenue dans un sous-corps de C^, ; soit, de plus. t une substitution qui. avec ses puissances, engendre le groupe C^, . Posons, a et 6 étant des exposants quelconques,

K(a", z*) = ^" + Z* • (/ît)" + T'.iûo)' + ... + Z*'"-"* • (^"'-'a)«.

Les expressions K(a, Z). K.(a% Z)' •••. K(7.'''~', Z) ne peuvent s'annuler ensemble, car autrement, comme K(a*, Z) = o, le déterminant suivant

tx, .... /'"-'a

devrait également s'annuler, et, vu la remarque du paragraphe 3, le nombre a ne serait pas un nombre générateur du corps C^. Soit a*=a" une puissance de a, pour laquelle K = K(a*, Z). soit =1=0. Comme K(/a», Z*)=Z"*K(a», Z*). '1 en résulte que

le nombre K''' et aussi tous les nombres -^ — sont des nombres du corps c(Z)-

Comme on a

et que a* est un nombre générateur du corps C^, nous voyons que le corps défini par K et Z' de degré au plus égal à /**"'(' — 0- contient le corps c(Z, C^,) de degré r"~'(/ — i) ; le premier corps et le dernier sont donc identiques et le nombre x= K''' possède la propriété indiquée dans le lemme i5.

Faisons encore la remarque suivante. Le corps détermine par Z et y y, est, on le voit aisément, cyclique relatif de degré relatif /* vis-à-vis de c(Z), et possède, par

THIiORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 3o9

suite, un seul sous-corps, qui contient c(Z) et qui est cyclique relatif de degré / visà-vis de c(Z)- Si alors C, désigne le sous-corps de degré /de C^, le corps formé de c(Z) et Cj doit être identique avec le corps formé de 7 et y-/,.

S I02. — Sur certains factelrs premiers du DiscRiMiisArsT d'un corps cyclique