DE DEGRÉ

Lemme i6. — Si C^ est un corps cyclique de degré /", / étant premier quelconque (=2 ou =1=3), et si C, est le sous-corps de degré / de C^, les facteurs premiers p différents de / du discriminant de C, sont toujours ^ i, mod t .

Démonstration. — Considérons d'abord le cas où / est premier impair et où A ^ i . et supposons que. contrairement au théorème, le discriminant de C, contienne un

facteur premier /)=|e I mod /. Soit Z^e} , r un nombre primitif mod /, et prenons dans le groupe du corps c(^) la substitution s = (Z'. Z''). Si p est un facteur idéal premier de p dans le corps c('^), il est, vu le théorème 119, comme p^\=i mod /, d'un degré /> i ; donc, vu le théorème 129, le degré e du corps de décomposition de l'idéal premier f) est <C / — i ; les autres facteurs premiers de p sont alors

p' :z^ Sp, ..., p^^~'^ =iS^'*p,

tandis que s^p^^p, c'est-à-dire

On a de même, pour les idéaux premiers conjugués de p : p' . p" , etc., les égalités correspondantes

D'après le lemme i5, il y a dans c('l) un entier a. tel que les deux nombres Z et v/y. engendrent le corps c(^, C,) composé de c(Ç) et de C,. et que %'"'' est égal à la /iéme puissance d'un nombre de c(Q. Comme s — /' et .<?*— i sont deux polynômes entiers à coefficients entiers en s. qui n'ont mod / aucun facteur commun, il existe trois polynômes entiers à coefficients entiers ç(s), -[(5), -/(s), tels que

I = (5« - i)^(s) + {s- r)4 (s), + ly{s). et de là résulte

'/, = y(S<'-\)o(s)Ms-r)m + hM) =. y>-«-l)ç(s) a',

OÙ a est un nombre de c(w). Vu les égalités (89) et (^o), a**-' est un nombre entier ou fractionnaire, tel que le numérateur et le dénominateur ne contiennent aucun facteur premier p, p' , ..., et sont, par suite, premiers à />; il en est donc de même de y(se i)ç(s) ]\fQyg posons yj»*-!'?'"' =^, de façon que p soit un entier de c(Q premier à p

3io

et a un entier rationnel. Le corps c(u, CJ est alors aussi engendré par les deux nombres ^ et y p. Le discriminant relatif du nombre y/p, par rapport à c(Q, est ± /y~* ; et comme p est premier à /), le discriminant relatif de cil, CJ, par rapport à c(Q, est aussi premier à p. Comme, d'autre part, le discriminant de c(l) n'est pas non plus divisible par p, le discriminant de c{l, CJ est, vu le théorème 89, premier à p, et par suite aussi (théorème 85) le discriminant du corps C,, contrairement à notre hypothèse.

l étant encore impair, soit /i> i. Soit 2 = e '* , /'un nombre primitif mod /", et soit, dans le corps c(Z). la substitution ^ = (2 ; 2')- Soit p un facteur premier =|=/ du discriminant de C, et p un facteur idéal premier de p dans c(Z)-

Si nous supposons/)^ i mod /, mais =Ie i mod t, l'idéal premier p appartient toujours au sous-corps c(Z') du corps c(Z), c'est-à-dire que

et de même pour les conjugués

Comme r est nombre primitif mod /'', r' *'"*' e|e i mod /", et on peut, par suite, déterminer trois polynômes à coefficients entiers ^{s), '\{s), '/(s), tels que

/"- = (/-'<'-' i)cp (5) + {s-ry^{s) + tyXs);

on en déduit, ■/. étant déterminé comme au lemme i5,

où a est un nombre de c{Z)- Vu les propriétés déjà démontrées des idéaux premiers p, p' , p" , ..., y.*' ('-''-1^ et, par suite, ■/>' "-''-i)t(») sont des nombres dont le numérateur et le dénominateur sont premiers à p. Aous pouvons donc mettre le der-

nier nombre sous la forme -^, de façon que p soit un entier de c(Z) premier a p et a

un entier rationnel. Alors v/y. ^= - y/p , d'où on tire p ^= s'*"* , z étant aussi dans c(Z).

Comme le corps c\Z, s/v.) est, ainsi qu'on l'a remarqué à la fin du paragraphe loi,

identique au corps composé de c(Z) et de C, et que le discriminant relatif du

nombre y c vis-à-vis de c(Z) a la valeur + /'g'~' première à p, le discriminant relatif

du corps c(Z, CJ vis-à-vis de c(Z) est premier à p. D'autre part, le discriminant de

c(Z) n'est pas davantage divisible par p, et il en est donc de même du discriminant

de c(Z, CJ et par suite aussi de celui du corps C^. Mais ceci est contraire à notre

hypothèse.

Pour le cas de /=2, supposons d'abord /j = 2 et appliquons alors le lemme i5

au corps cyclique C^ du quatrième degré. Posons Z =^ ^ - =i et considérons la substitution de c(Z) «' = («, — i). Soit C, le sous-corps quadratique de C, et supposons

THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. SlI

qu'il y ait dans le discriminant de C, un facteur premier p impair ^= i, mod 4. Vu la dernière propriété, p est indécomposable dans c(i). Si le nombre y. du lemme i5 est divisible par/), posons p = a''~'. Comme d'autre part, d'après le lemme i5, on doit avoir ■/.''+' = a*, a étant dans c(/), il en résulte y.'^p^'a*, c'est-à-dire \/y. = avp~'.

Donc p est le carré d'un nombre de c(i); nous pouvons poser p =^ de façon que i

soit un entier de c(i) premier à p et a un entier rationnel. Comme le corps c{i, C,) coïncide avec c[i, y-) et que, d'autre part, le discriminant relatif du nombre yvis-à-vis de c{i) est premier à p, le discriminant relatif du corps c(i, C,) vis-à-vis de C(0 est aussi premier à p; d'où il suit que le discriminant de C, n'est pas divisible parp, contrairement à l'hypothèse.

Si, / étant égal à 3, ^ est >> 2, posons Z ==^* • Supposons que le discriminant de C, contienne un facteur premier p^ i mod 4 et e|e i mod 2", et soit p un facteur premier idéal de p dans c(Z)'< p resterait invariant dans une substitution si , où 5^

est soit (Z '. Z'). soit (Z '. Z~') ; on aurait donc p'I = i . Comme (±5)* e]e i mod 3*, on aurait, comme plus haut, une égalité de la forme

d'où l'on tirerait une conclusion contraire à l'hypothèse que p divise le discriminant deC..

Le lemme 16 est ainsi complètement démontré et l'on en déduit sans difficulté la nouvelle proposition

Lemme 17. — Soit C^^ un corps cyclique de degré /* (/premier = 3 ou =|3 2); soit C, le sous-corps du /'"""degré de C,, ; soit p un facteur premier différent de / du discriminant du corps C, : on peut toujours trouver un corps abélien C'/,' de degré l"' ^^l" avant les deux propriétés suivantes :

r Le corps composé de C'^,- et d'un certain corps circulaire contient C^ comme sous-corps;

2° Le discriminant du corps C'^' ne contient que des facteurs premiers du discriminant du corps C,, sauf le facteur p.

Démonstration. — D'après le lemme 16, le nombre premiei p est ^ i, mod /''; construisons d'après le paragraphe 100 le corps circulaire cyclique P^ de degré t, dont le discriminant est une puissance de p, et formons le corps composé de C^ et P,, dont le degré est l"^'". Dans P^, on a p = :|)'*. où p est un idéal premier de 1\. Soit ^ un idéal premier facteur de p dans c(C^, PJ. Comme l'idéal premier ^ ne divise pas le degré Z"^*' du corps c(C^, P^), ce corps est le corps de ramification de l'idéal premier ^ et par suite, vu le théorème 81, il est relatif cyclique et de degré relatif au moins égal à /" par rapport au corps d'inertie C',,' de l'idéal premier ^.

D. IIILBERT.

Comme d'ailleurs il ne peut y avoir dans c(C^, PJ de corps cycliques relatifs de degré supérieur à /'', c(C^, PJ est donc exactement de degré t par rapport à C\'. Donc, le corps C'^» est de degré t' . La différente du corps d'inertie C'^- n'est pas divisible par ^ (théorème 76) et par suite, eu égard au théorème 68, le discriminant du corps C'^' n'est pas divisible par/). D'un autre côté, ce discriminant n'a d'autres facteurs premiers (théorème 89) que ceux qui divisent le discriminant de C^. Enfin, il résulte du théorème 87 que le corps composé de C'^- et P^ coïncide avec c(C^, PJ. Le corps C'^ possède donc les propriétés énoncées dans le lemme 17.

S io3. — Le corps cyclique de degré u, dont le discriminant ne contient que m,

ET LES CORPS CYCLIQUES DE DEGRÉ «'' ET 2'' QUI CONTIENNENT U, ET II, COMME SOUS- CORPS.

Lemme 18. — Si le discriminant d'un corps cyclique C, de degré premier impair u ne contient que u, C, coïncide avec U, .

Démonstration. — Nous posons s = ^" et * = (Ci O» '' étant racine primitive mod u; X= i — t, et I = (X) idéal premier de c(l), m=I"~'; enfin

5X=i-r = rÀ, (r).

Puis considérons le nombre •/. du lemme i5. Comme l'idéal premier ( de c(Q est du premier degré, il en résulte, si l'on pose p = •/,'*"'**""*', vu l'égalité 5Ï = I et le théorème 24, la congruence p^ i, mod ï. (Si l'on a dans un corps c un idéal \ et deux nombres fractionnaires a, ,3, la congruence a^fi, mod \, doit s'entendre en ce sens qu'il y a dans c un nombre ^. premier à j pour lequel ;j.a, pip sont des entiers de c tels que [^.a^jx^, mod(i)). Comme r — i est premier à u, le corps composé de C^eici^Ç) sera aussi engendré par Z, et yp- En posant p^ i + a\, mod ï*, où a est un entier rationnel, on a o = pw"^ i, mod V.

Démontrons maintenant que l'on a c^i, mod ï". Pour cela, supposons que (7^1+ aV, mod r"', l'exposant e étant << u et a un entier rationnel non divisible par u.

Nous remarquons que, d'après le théorème i5, • *"'', et par suite aussi 7'"', est la ^^ièiiie puissance d'un nombre de c(Q : soit (7*~''= fj". Cette égalité donne la congruence I -\- airXf — arX^^^S", mod T*^*. De là résulte d'abord ,8^1, mod ï, et ensuite fi"^ I, mod I". On aurait enfin nr^^ar, mod ï, ce qui est impossible, puisque r doit être racine primitive, mod u, et que e> i. Par conséquent, on a bien c^ i, mod I".

Posons maintenant c == u{u-i) » ^ étant un entier de c(V) et a un entier rationnel; alors on a - ^ I, mod t". Si nous supposons alors le corps C, distinct du corps U, , on

THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 3l3

obtient en composant les corps c{V}, U, et C, le corps c(v ^, y t) de degré u''{u — i).

. i-\/t , , ,., .. (a-iy + T

D autre part, ;= ; est, comme le montre 1 équation ~i = o, un

entier du corps c(\/ s» v ')> et le discriminant relatif de ce nombre vis à-vis de c(v^C) est égal à et""*, s étant une unité. Comme - est premier à a, le discriminant relatif du corps c(v C» V ") vis-à-vis du corps c{\/z) est aussi premier à u. Désignons donc par 8 un facteur premier idéal de I dans le corps c\\/Z , y ~j : vu le théorème gS, 8 aura dans ce corps un corps d'inertie 1 qui sera de degré u. Le discriminant de ce corps d'inertie I est premier à u et, vu le théorème 85, devrait alors avoir la valeur + i ou — i. Mais il n'y a pas de corps cyclique de degré premier u et de discriminant zh I ; cela résulte soit immédiatement du théorème 4^. soit du théorème 94, en prenant pour le corps c de ce théorème le corps des nombres rationnels, corps dans lequel tous les idéaux sont des idéaux principaux. Le lemme 18 est donc démontré.

Lemme 19. — Si un corps cyclique C^ de degré t, où / est un nombre premier impair ou est égal à 2, contient le corps U, ou le corps II, comme sous-corps, C^ est un sous-corps d'un corps composé de Ij\ ou de 11^ avec un corps cyclique C'^' de degré /*'</\

Démonstration. — Soit C^=|=U^ ou 11^. Soit L^- le plus grand sous-corps contenu dans C;j en même temps que dans U^ ou dans 11^; soit /"* le degré de L^., h* étant un nombre positif «<;^. Soit t une substitution qui, jointe à ses puissances, engendre le groupe du corps C^^, et z une substitution engendrant de même le corps U^ ou le corps n^. Si nous posons t* =^ t' et z'^z'" , f* et 2* engendrent les sous-groupes de degré /*"** auxquels L^- appartient comme sous-corps, d'une part de C^^, d'autre part de U^ ou de 11^. Le corps C composé de C^ et de U^ ou 11^ a, vis-à-vis de L^*, un degré relatif /**~'** et a donc un degré principal f*"*'.

Pour obtenir le groupe G du corps C, désignons par 5 un nombre générateur de C^ et par y un nombre générateur du corps U^ ou 11^. et soient x, y des paramètres indéterminés. L'expression S^x5 -\- yy vérifie une équation de degré /**"**, dont les coefficients sont des polynômes à coefficients entiers en x, y, et qui est irréductible dans le domaine de rationalité de ces paramètres. Les diverses racines de cette équation sont de la forme

0„,« = ^/'"^ + vz"y.

Comme, d'après un théorème connu, j ainsi que y s'expriment rationnellement en 0 avec des coefficients polynômes à coefficients entiers en a;, y, il en est de même des racines 0^„ ; nous posons donc

Fac. de T., 3« S., II. 4o

3l4 D. HILBERT.

<I> étant une telle fonction rationnelle. Soit maintenant A un nombre quelconque de C ou une fonction rationnelle de x, y à coefficients dans C; alors A est égala une fonction rationnelle F(0) à coefficients polynômes entiers en x, y. Les conjugués de A s'expriment ainsi :

et le système des /-''-''* substitutions correspondantes S„,„ formera le groupe G du corps C. Vu

S„,/-) = a:S„„,:r + rS„„v = a?/'" j + jc"y , on a

d'où résulte

l^ / mil m'n iii-\ m , vin '

en convenant que l'on aura S,„„ = S„,v s' ni = m* et n=^n*, mod /''. De (4i) résulte que le groupe G est permutable, c'est-à-dire que le corps C est un corps abélien.

Soit /' une racine primitive, mod /*; comme z''y est un des conjugués de y, il doit y avoir une substitution de G pour laquelle n soit ^r, mod /''. Soit S„,,. = .ç une telle substitution. Le degré du groupe cyclique engendré par s est /''. On reconnaît aisément que toutes les substitutions du groupe G dont le second indice est ^o mod /* forment un sous-groupe de degré /''"''*. Soit s* = S,„.„ une substitution génératrice de ce groupe cyclique. Le groupe G résulte alors évidemment de la composition des /' puissances de s et des l''~''' puissances de s*. Au sous-groupe des puissances de s* correspond évidemment dans le corps C le sous-corps cyclique U^ ou II,,. Au groupe engendré par s correspond dans C un certain sous-corps cyclique C',^' de degré l"~'''. Les deux corps U,, ou 11,^ et C',,' n'ont pas de sous-corps commun en dehors du corps des nombres rationnels et le corps G résulte par suite de la composition de ces deux corps cycliques. Ce qui démontre le lemme 19.

§ 104. — Démonstration du théorème fondamental sur les corps abéliens.

On a déjà montré (S l\S) que tout corps abélien est composé de corps cycliques dont les degrés sont des nombres premiers ou puissances de nombres premiers; il n'y a donc plus qu'à montrer que tout corps cyclique C,, de degré /*, / étant premier, est un corps circulaire.

Pour le démontrer, supposons la proposition déjà établie pour les corps abéliens de degré /"■</".

Envisageons alors le sous-corps C, de degré / contenu dans C,,. Si nous supposons que le discriminant de C^ contient un facteur premier p différent de /, le discrimi-

THÉORIE DES CORPS DIî NOMBRES ALGEBRIQUES. 3l5

nant de C^ est aussi divisible par p (théorème Sq). Il existe de plus (lemme 17) un corps abélien C'^- de degré /''' <^ l'', tel que C^ est composé de G'^^- et du corps circulaire P^. Si donc G';,' est un corps cyclique de degré inférieur à /* ou s'il est composé de plusieurs corps cycliques, C'^- est donc un corps circulaire, vu notre hypothèse, et il en est donc de même de G,j. Reste seulement à examiner le cas de A' = /i , G'^- = G'^ étant alors un corps cyclique de degré t. Gomme l'indique le même lemme 17, le discriminant de G^' ne contient que des facteurs premiers du discriminant de G^,, mais non le facteur/); le discriminant de G^' a donc au moins un facteur premier de moins que celui de G^,.

Désignons par G/ le sous-corps de degré / de G^'. Alors, si le discriminant de G, contient encore un facteur premier p' différent de /, nous pouvons faire pour le corps G^' la même réduction que pour le corps G^^ et nous arriverons, soit à conclure que G^'est un corps circulaire, soit à un corps cyclique G/ de degré t, dont le discriminant contient un facteur premier de moins (p') que celui de G,/. Après avoir appliqué m fois de suite le même procédé, ou bien nous arriverons à un corps Gjm) qui sera circulaire, en vertu de notre hypothèse, ou à un corps cyclique G*"" de degré /*. tel que le sous-corps G^"" de degré / contenu contenu dans G/,"' aura un discriminant sans facteurs premiers ou n'ayant que le facteur /. Gomme (voir lemme 18) un corps cyclique de degré / ne peut avoir un discriminant + i» c'est nécessairement le second cas qui se présente.

Distinguons alors le cas de / impair et celui de /= 2.

Dans le premier cas, G /" coïncide avec U, (lemme 18). Dans le second cas /= 2, si /i=i le corps Cft" =GJ" est égal soit à c(i), soit à c(v2) = II,, c'est-à-dire est circulaire. Pour hy> i, on a encore G, égal à c(v 2) = 11,. En. effet, si G^ est réel, G'f * l'est évidemment aussi, d'où la conclusion. Si Gft*" est imaginaire, tous ses nombres réels forment un sous-corps réel de degré 2*~', et comme G*"' est nécessairement contenu dans ce corps réel. G/" est encore réel et coïncide avec II, .

Dans les deux cas ainsi séparés (en dehors de /=2, h^=i), le corps C'"'* = U, ou n,. D'après le lemme 19, Gft"* est donc sous-corps d'vm corps composé de U^ ou 11^ et d'un corps cyclique G^- de degré /*'<;/*. Or, vu notre supposition, C^- est alors circulaire. Le théorème i3i est donc complètement démontré et l'on voit, de plus, le moyen de construire tous les corps abéliens de groupe et de discriminant donné.

3l6 D. HILBERT.