CHAPITRE XXIV

Les résolvantes d'un corps circulaire des racines ]êmes (jg l'unité.

§ io5. — Définition et existence de la base normale.

Une base d'un corps abélien C sera dite normale lorsqu'elle se composera d'un entier N de C et de ses conjugués N', ÏS", ... , N*^~'> (M étant le degré de C).

Lemme 20. — - Si un corps abélien C possède une base normale, il en est de même de tout sous-corps c de C.

Démonstration. — M étant le degré de C, soient t^, ... , /» les substitutions de ce corps abélien; soit N un entier de G formant avec ses conjugués une base normale de C. Si l^ t^ forment alors le sous-groupe de ce groupe de M substitutions,

M auquel appartient le sous-corps c de C. on peut trouver m = — substitutions t\

t'j^ de la série /, , ..., /« telles que ces M substitutions peuvent, à l'ordre près, se représenter par les produits

a étant un entier de c et par suite aussi de C, on a une égalité

« = «uV^N + ... + aj:t^H + ... + «,„,C^.N + ... +a..C^N.

les a étant des entiers rationnels. Remarquons que les subtitutions/^, .... /^laissent a invariant, et que, d'autre part, il n'y a entre les M = mr nombres </^, N. .. . ^/CN. ... , C^N aucune relation linéaire à coefficients entiers non tous nuls; il en résulte évidemment

donc, en posant

les m nombres </v, ... , /^,v forment une base normale du corps c.

Théorème 182. — Tout corps abélien C de degré M, dont le discriminant D est premier à M , possède une base normale.

Démonstration. — Soient/), p' , ..., les facteurs premiers différents de D. Aucun d'eux ne divise M, et, par suite, vu la démonstration du théorème i3i, le corps abé-

THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 'Si']

îiT.

lien C est contenu comme sous-corps dans le corps engendré par les nombres ':^ = e p ,

2ir 2i-

!^' = ep^, etc., c'est-à-dire par Z = ^''''- D'après le théorème ii8, les nombres i, ^, ... Z''~* ou u, ç*, ..., ^'^' forment une base de c(Q ; cette dernière est une base normale de ce corps. De même pour c{Z'), ....

Formons alors le système des (p — i)(p' — 0 •••. nombres 1^"'^^"" , où h, h', ..., prennent cbacun toutes les valeurs i , 2 , ... , p -^ i ; i , 2 , ... , p' — i ; ... Ce système de ^(pp' .••) nombres forme (théorème 88) une base de c(Z), qui est évidemment normale. D'après le lemme 20, le corps abélien C a donc aussi une base normale. C. q. f. d.

8 106. — Les corps abélie\s de degré premier / et de discriminant p' '.

Les corps abéliens les plus simples et les plus importants avec les corps quadratiques sont ceux dont le degré est un nombre premier impair / et dont le discriminant d ne contient qu'un facteur premier/), ce dernier étant =|=/. Soitc un tel corps. D'après le lemme 16, on a nécessairement p^i mod /. Le nombre premier p est dans c la /'^""^ puissance d'un idéal premier du premier degré. D'après les remarques du théorème 79 et vu que c est toujours un corps réel, et que. par suite, d est positif, on a d:=p'~\

Soient i, /, f , ..., /'"' les substitutions du groupe du corps c, et soit v, ty, ..., /'~*v une base normale de c . (Voir théorème i32.) Le nombre v est alors toujours un

iir.

nombre générateur du corps. Soit Z^e ' ; l'expression

s'appellera une résolvanleQ) du corps c = c{y).

Une telle résolvante Q est évidemment un entier du corps c(v, 'Ç) composé de c(v) et c(0.

L'étude des bases normales et des résolvantes du corps abélien c(v) conduit à des conséquences importantes relativement aux idéaux premiers facteurs dep dans c{V). Les développements de ce chapitre n'éprouvent que de légers changements, lorsqu'on prend le nombre 2 au lieu du nombre premier impair /.

(') N. T, — Nous croyons devoir traduire ainsi l'expression « Wurzel « ou a Wurzelzahl » employée par M. Hilbert; le mot résolvante est en eftet le terme consacré depuis Las^range. (^Réflexions sur la résolution algébrique des équations , Mémoires de l'Académie de Berlin, 1770-1771.)

S 107. — Propriétés caractéristiques des résolvantes.

Théorème i33. — Étant donné un corps abélicn c de degré / et de discriminant d=^p'~\ l et p étant deux nombres premiers distincts, soit v, h, ..., /'~\ une base

normale de ce corps. Si l'on pose ^ = 6"^, ï^(i — t), et s^ÇC'.Ç), r étant une racine primitive mod /, la résolvante Q du corps c(v), déduite de cette base normale, a les trois propriétés ci-après :

i" La V^""" puissance de la résolvante (o = Q' est un nombre du corps circulaire c(ç), et, de plus, w*"'^ est égal à la /'^'"* puissance d'un nombre de c(Q.

2° On a les congruences

3° /i((.)), norme de w dans c(Ç), est égale h p - .

Démonstration. — Les nombres Q' et Q*"'' sont des nombres de c(Ç, v) invariants par la substitution (v ; /v). Ils appartiennent donc à c(Z), d'où la première propriété. Comme v, fv, .... /'~'v forment une base du corps c(v), on a en particulier

I =rt„v + a.^v + ... + «^,/'~*v

avec des coefficients a entiers. En effectuant sur cette égalité la substitution /. on voit que a„ = a, = ... = «,, = dz '» car ces coefficients ne peuvent avoir d'autre commun diviseur que + i-

Donc, V + /v + . . . /'""'v = ih I • D'où

Q=v + Ç./v 4- ... + L:'"'./'"% = v + iv4- ... + <'~*v = ±i. (I).

Puis, comme w q: i = (Q qr i) (uQ + 1) ... (^'~'Q 4= i), on trouve la deuxième propriété du nombre w .

Enfin, en appliquant convenablement la règle de multiplication des déterminants, on a

tv , fv, . . . , V

n(Q) = (v + C-^v +,... + i:'-'.t'-\) ... (v -f r'-'./v + ... + V'-'^\t'-\) est la norme relative de Q par rapport au corps c(v). Le carré du déterminant du

THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. SlQ

premier membre est égal au discriminant du corps c(v), c'est-à-dire/)'"', et, par suite,

Les trois propriétés précédentes de Q suffisent inversement à caractériser complètement une telle résolvante. On a en effet la proposition suivante.

Théorème iS^j. — Soit / un nombre premier impair et Z = e ' , et /> un nombre premier ^r mod /; si o) est un nombre du corps circulaire c(^), non égal à la ^ème puissance d'un nombre de ce corps , et possédant les trois propriétés du théorème i33, Q = y'-'^^t une résolvante du corps abélien de degré / et de discriminant/)'"'.

Démonstration. — Le nombre Q = y to détermine un corps galoisien relatif de degré relatif/ par rapport au corps c(Z). Soit / la substitution du groupe relatif, pour laquelle tQ = 'Ç~^Q. Vu la première propriété du nombre co, qui s'exprime par la formule SM^tù^sf , où a est un nombre de c('Ç), le corps de degré /(/ — i), composé de ;^ et de Q , est un corps galoisien. Le nombre a vérifie l'égalité

nous en déduisons la nouvelle relation

Nous entendrons maintenant par t et s les substitutions déterminées du groupe de ce corps galoisien c(^, Q), qui. en plus des conditions déjà fixées, remplissent encore les suivantes tl::=Z cl sQ = Q'^a . Ces deux substitutions sett sont permutables, car on a

st9. = -:-''Q'':i = tsÙ,

c'est-à-dire que le corps c(^, il) est un corps abélien. Le sous-groupe de c('^, Q), composé des puissances de s, est de degré / — i. Le sous-corps de c(^, Q) correspondant à ce sous-groupe est par suite de degré /; c'est encore un corps abélien, que nous désignerons par c.

Démontrons d'abord que le discriminant de ce corps c est premier à /. Comme

Q=Pi Q^±i, mod ï = (i — '0> le quotient — est un nombre entier. Comme

/Q = L~'i.}, la différente relative de cet entier par rapport au corps c(Z) a la valeur sQ'"', £ étant une unité, et, par suite, la différente relative du corps c(Z. Q) par rapport au corps c(^) est première à /. Si S est un idéal premier facteur de I dans c(C, Q), il n'y entre, vu le théorème gS , qu'à la première puissance, c'est-à-dire que / = Ç'"'9JÎ, où Wt n'est plus divisible par S. De là résulte, vu les paragraphes 3()

D. H LBERT.

et lio, que le corps d'inertie de l'idéal premier fi doit être de degré /, et que, par suite, c est lui-même ce corps d'inertie. D'après le théorème 76, la différente du corps c n'est pas divisible par ,;. et, par suite (théorème 68), le discriminant de c ne l'est pas non plus.

Nous posons

où le signe de i est le même que dans les congruences Q^±i, .5.Q^±i, .... mod t; le numérateur de cette expression (Ai) à forme fractionnaire est donc ^o, mod I. Ce numérateur représente un nombre de c. Si / est idéal premier dans c, ce numérateur doit donc être divisible par / et v est un entier de c . Sinon, comme le discriminant de c ne contient pas le facteur /, on a dans ce corps une décomposition / = I^ ... I^ de / en / idéaux premiers distincts, et on a alors dans c(Ç, Q), comme le montre le théorème 88, la décomposition

Comme le numérateur de l'expression du second membre de (4i) est divisible par l'idéal (I, l^), il est donc aussi, comme nombre entier de c, divisible par I,. Il en résulte la divisibilité de ce numérateur par ï,, ... , ï^, et, par suite, finalement par /, de sorte que v est encore un nombre entier du corps.

En se servant de la relation /Q = ^^'Q, on tire. de (4i) les deux égalités

En appliquant la règle de multiplication des déterminants (comme déjà dans la démonstration du théorème i33), on obtient ensuite

= ±:Q.sQ...s'-'Ù,

d'où résulte, vu la troisième propriété de w (théorème i33), la relation et, par conséquent,

Nous démontrons ensuite que le discriminant du corps c est nécessairement égal àp'""'. En effet, c'est, d'après la dernière relation, un diviseur positif de/)'~'. Comme ce ne peut être i (théorème 44 ou théorème 94), il contient donc le facteur p, et cela à la puissance / — i, d'après les remarques relatives au théorème 79. De la proposition ainsi démontrée, suit que v, tt, ..., t'~'v forment une base, évidemment normale, du corps c. Et le nombre Q est, vu (42), la résolvante du corps c déduite de cette base normale.

S 108. — Décomposition de la Z^™* puissance d'une résolvante dans le corps

DES racines /'^"""s de l' UNITÉ.

Théorème i35. — l, p, C> '% ^ ayant leur signification précédente, c(v) étant un corps abélien de degré / de discriminant d==p'~' et Q une résolvante du corps c(v), le nombre w = Q' a dans c('Ç) la décomposition

OÙ p est un idéal premier déterminé, facteur de p dans c(t), et où r^ désigne le plus petit entier positif congru mod / à la puissance — i'*""* (/"') de la racine primitive r. [Kummer**- ".]

Démonstration. — Le nombre premier/} se décompose dans c(Ç) en l — i facteurs premiers idéaux distincts V. f>P> ...,s'~'p; le nombre w doit être divisible par chacun d'eux. Car, d'après la démonstration du théorème i34, la différente relative du corps c(î^, Q) par rapport au corps c(Q est un diviseur de Ç1' = m; or, si w était premier à ^, la difterente relative le serait aussi, ainsi que le discriminant de c(^, Q)

(théorème 68), ce qui est impossible, puisqu'il est divisible par le discriminant

iji-i) de c(v). A cause de n(iiû)=p - , p, sp, ..., s^~^p sont en même temps les seuls facteurs premiers idéaux de to. Soit p un de ces idéaux premiers dont l'exposant dans m soit le plus petit possible; nous avons alors

a^, ..., a^j étant des entiers positifs, dont aucun n'est inférieur à a„. En formant n((i))

on obtient

a„ + a, -f- ... -fa,, = .

Comme a^, ..., ai^ sont tous positifs, ces nombres ne peuvent donc tous être divisibles par /. A cause de la première propriété démontrée théorème i33, on a

Fac. de T., 3e S., II. 4i

OÙ a est un nombre de c(Q. Comme les idéaux premiers conjugués de p en sont tous distincts et sont distincts entre eux, le polynôme en s

une fois développé, et .ç'~' ayant été remplacé par i, doit avoir tous ses coefficients divisibles par /, c'est-à-dire que ce polynôme est ^a;,(s'~' — i), mod /. Donc, a^. , estEJEo, mod /, et si l'on pose a,j ^ r"'""''^ * , mod /, où m désigne l'un des nombres 0,1,...,/ — 2 , on a pour i = o, i , . . . , / — 2 la congruence

Nous posons d'une façon générale

a, = r,„, 4-/^, de façon que o << r„,i<C ^ et b^ étant un entier rationnel ^ o. Comme

on a 6„ 4- 6, + ... + b,^ = o, et, par suite,

6„ = o, 6, = o, ..., V. = 0' c'est-à-dire

a. = r,„; , pour / = o, i , . . . , / — 2 .

Parmi les nombres t\, f\, ..., r,j, >\^i est évidemment le plus petit, et comme a„ doit être le plus petit de a^. a,. ..., a^j. on a 0^ = r^^ i, c'est-à-dire m = 0. et alors a.^=r^. C. q. f. d.

§ 109. — Une équivalence relative aux idéaux premiers du premier degré

DU CORPS DES RACINES Z'^"" DE l' UNITÉ.

Les développements précédents nous conduisent à une importante propriété des idéaux premiers facteurs d'un nombre premier ^ i, mod /, dans le corps des /'^""^ racines de l'unité.

Théorème i36. — Soit / un nombre premier impair, Ç = e' , r un nombre positif racine primitive, mod /, .ç = (^ ; ^'■), p étant alors un idéal premier du premier degré quelconque du corps circulaire c(Q, on a l'équivalence

pQo-^l-l . «+«-2 . *^-i ' l-l+i • *'"* '^ l ,

où les quantités q^ sont les entiers non négatifs définis parles égalités

rr — r .

^0' '-1' •••' '-;^ï ont le même sens qu'au tbéorème i35 et, de plus, r, = r,,j, [Kummer"'".]

Démonstration. — Donnons à p et à w le même sens que dans le théorème i33 ; (1)'"'' est alors la /"''"' puissance d'un nombre a dans c(Z). En remplaçant w par son expression en fonction de p donnée au théorème i35, on a

et cette égalité montre l'exactitude du théorème i36, si nous en tirons la décomposition de a .

G étant une classe quelconque d'idéaux du corps c(w) et j un idéal de C, si l'on désigne par «G, s^C, ..., s^~^C les classes déterminées par ^j, s^i, .... s'~^}, on tire du théorème i36 et du théorème 89 la relation

S iio. — Détermination de toutes les bases normales et de toutes les résolvantes.

Les théorèmes i33, i3^, i35 permettent maintenant de déterminer toutes les résolvantes du corps abélien c(y).

Théorème iSy. — Q et Q* désignant deux résolvantes distinctes du corps abélien c de degré premier / et de discriminant p'~', mais déduites de la même substitution génératrice t du groupe de ce corps, on a toujours Q* = îQ, z étant une unité du corps c(Q vérifiant la congruence £^zt i. mod ï = (i — C)- Réciproquement, si e est une telle unité dans c(Z) et Q une résolvante quelconque de c, Q* = cQ est encore une résolvante de ce corps abélien c .

n* Démonstration. — ^u les hypothèses de la première partie, le quotient £ = — -

est un nombre du corps composé de c et de c(Q, qui reste invariant dons le changement de ^, V en ^, /v et qui appartient par suite au corps c(Z). Prenons pour «o = Q' l'expression donnée au théorème i35. Si alors s''''p, a étant un des nombres o, i , 2, .... / — 2, est celui des / — i idéaux premiers conjugués facteurs de p dans c(Z) qui n'entre qu'à la première puissance dans a>* = Q*', on a évidemment, d'après le théorème i35,

et il en résulte que l'idéal premier p entre dans (o* exactement à la puissance /'„. Le

quotient — peut donc se mettre sous la forme d'une fraction dont le numérateur

contient l'idéal premier ^ à la puissance (r a — rj, tandis que le dénominateur est

premier à p. Gomme, vu — = £', l'exposant r__a — r^ doit être divisible par /, il en

3^4 D. IULBERT.

résulte r a = }\, c'est-à-dire a = o. Par suite, co* et w contiennent les mêmes puissances d'idéaux premiers et s est donc une unité.

Le reste du théorème 187 ressort immédiatement des théorèmes i33 et i34.

Des résolvantes relatives à /, on déduit aisément, par la formule (/ji), toutes les bases normales v, h, ... , t'~\ du corps abélien c. ,

§ III. — La base normale et la résolvante de Lagrange.

Soit encore / un nombre premier impair, 'C^=e ^ , et /) un nombre premier de la

forme Ini -\- i ; soit Z = c~p et soit R une racine primitive mod p. Enfin, soit c le corps abélien de degré / et de discriminant/)'"'.

Les /) — I nombres Z, T, •••< 1^"^ forment une base normale du corps c(Z); il résulte alors de la démonstration du lemme 20 que les nombres

\ =1 +Z«' +Z'^'' 4-...+z«""-'", X =Z'^ + 2^^'"' + z''*' ■*' + ... + zf^'"^'"'"'",

forment une base normale du corps c. On en déduit la résolvante suivante du même corps

=z 4- cz« + rz«* 4- ... + c''-'z"''-^

Cette base normale particulière ).„, /.,, .... >.^, s'appellera hase normale de Lagrange et la résolvante particulière A la résolvante de Lagrange.

§ 112. — Propriétés caractéristiques de la résolvante de Lagrange.

La résolvante de Lagrange A du corps c se distingue des autres résolvantes de c par les propriétés suivantes :

Théorème i38. — Si l'on représente la /""'•' puissance a' de la résolvante de Lagrange, d'après le théorème i35, par la formule

p est l'idéal premier défini par la formule

les lettres ayant, du reste, le même sens qu'au théorème i35. La résolvante de Lagrange A est ^ — I mod I et de plus sa valeur absolue est égale à y p. Réciproquement, si une résolvante û a les propriétés précédentes et que de plus Q' contienne l'idéal premier p exactement à la première puissance, on a Q = ^A, où ^* est une racine /'^"^ de l'unité.

Démonstration. — En posant >ï> = (i — 2. P), on voit, à l'aide de (i — 2)'^* = (/>) et (p, p'^~') = p , que •

il est alors visible que ^ est idéal premier dans le corps^éfini par « et Z et que le nombre i — Z ne contient cet idéal premier qu'à la première puissance.

Posons 2 = il + II et tenons compte de la congruence w^R~"', mod p, et de l'égalité (i -I- 11/= I ; on a

A= i:R-"'"(i4-riF, (^).

(X.) (Y)\iy

où les sommes respectives doivent être étendues aux valeurs a;=:o, i, a p — a ;

X= I, 2, ...,/) — I ; Y = o, I, 2, ... , X. De la dernière formule on déduit, en changeant l'ordre des sommations :

La résolvante de Lagrange A contient donc exactement la m^™" puissance de >P en facteur, et par suite a' n'est divisible que par la première puissance de p . Désignons par A le nombre imaginaire conjugué de A; on a

et en groupant ensemble dans le produit A A les /> — i termes multipliés par une même puissance de '^

AÂ= (i +1 4-... + I)

La première partie du théorème est ainsi démontrée.

La seconde partie en est précisément la réciproque. Son exactitude découle aisément des théorèmes i35 et 187, avec l'aide du théorème 48; on doit pour cela remarquer que, si un nombre d'un corps abélien a la valeur absolue i, il en est de même de ses conjugués.

Nous pouvons obtenir, d'une façon analogue à (43), les congruences suivantes [Jacobi^] :

ir-'"'

pour i = o, 1, 3 , ... , / — 2. En nous rappelant que A^ — i niod I et que |A| = \/p, nous tirons de ces congruences (44) une autre démonstration des théorèmes i35 et i36. [Kummer*' ".]

Tous les théorèmes de ce chapitre XXIV s'appliquent aussi au cas de /=3, sauf

que le discriminant du corps abélien c prend la valeur d = ( — i) - p.

La racine de Lagrange A du corps c est un entier du corps composé de c(Q et c, caractérisé au facteur Ç* près par les propriétés énumérées par les théorèmes i33 et

i38. Pour fixer enfin même ce facteur l,*, on devrait poser A = \/p^ '^'' ^^ façon que 0 <^ cp <; I, et ensuite voir dans lequel des / intervalles