CHAPITRE XXV

Loi de réciprocité pour les résidus de i^^mes puissances entre un nombre rationnel et un nombre du corps des racines i^èmes jg l'unité.

S 1 13. — Caractère de puissance d'un nombre et symbole — [ .

Soit /un nombre premier impair, ^^e ' , et c{Z) le corps circulaire engendré par ^; p étant ensuite un nombre premier, autre que /, et ;p un des idéaux premiers facteurs de p dans c(l), f étant son degré, on a, d'après le théorème 24, pour tout entier a du corps non divisible par p , la congruence

Comme p'^ — i est divisible par / d'après le théorème 119, le premier membre de cette congruence s'écrit

a''^-'-i = n(aV:;*),

où le produit est étendu aux valeurs /v=o, i, 2, ... , / — i. Il en résulte que la congruence

est vérifiée pour une valeur de k et une seule.

La racine de l'unité qui y figure, Ç*, s'appelle le caractère de puissance du nombre y. par rapport à l'idéal premier p dans le corps c(Z), et on représente cette racine de l'unité Ç* par le symbole

de sorte qu'on a la congruence

[Kumnier "*."

a et p étant deux entiers de c(l) non divisibles par p, on a, on le voit facilement, l'égalité

Si le nombre entier % est en particulier congru mod :p à la /'*'"* puissance d'un nombre entier de c{l), on dit que a est résidu de puissance /'*™^ de l'idéal premier p. On a la proposition :

Théorème iSg. — p étant un idéal premier différent de ï = (i — ç) et a un entier de c(Ç) premier h p, la condition nécessaire et suffisante pour que a soit résidu de

( a ) puissance /*"""' de p est — = i .

ip)

Démonstration. — Si a ^ ^', mod p , 8 étant un nombre de c(u) , on a X ' ^ ftp ' ^ I, c'est-a-dire < — | = i. Pour démontrer la réciproque, désignons par p un nombre primitif mod p et posons a^p'', mod p. Si nous supposons que y. ' ^p ' ^ I, il en résulte ^o, mod p^ — i, c'est-à-dire que h est

divisible par /, et, par suite, oc est un résidu de puissance P'"", mod p, ce qu'il fallait

démontrer.

(?) Le caractère de puissance — d'un nombre primitif, mod p, est certainement dif-

férent de i. Car dans la série des puissances p, p*, etc., ç,p^~^ est la première qui

pf-i

soit ^ I, mod Ip, et, par suite, p ' =[e i, mod p.

Soit ■^—i = 'Cf; déterminons un entier rationnel g* premier à p'^ — i, et tel que

gy* ^ I , mod /; alors p* = p^" est un nombre primitif, mod p, pour lequel —( = ;'. Si alors a est un entier de c('Ç) non divisible par :p, et si l'on a a.^p*'^, mod ^, on a

On conclut aisément de là que le système complet desp'^ — r nombres incongrus mod p '. 1, p*, p**, ..., p*'''^~', se décompose en / systèmes partiels, dont chacun ren-

ferme - — - — nombres ayant le même caractère de puissance. En particulier, il y a

exactement — - — résidus de puissance /""""^ incongrus mod p.

Si h est un idéal quelconque de c{'C) premier à ï et a un entier de ce corps premier à b, si l'on pose b = :pq ... \v , p, q, etc., étant des idéaux premiers, on définira le

(a) symbole ^— par l'égalité

S llll. LeMME sur le caractère de puissance de la /'*""■ PUISSANCE DE LA RÉSOLVANTE

DE LaGRANGE.

Eisenstein est parvenu à découvrir et à démontrer cette loi de réciprocité qui existe entre un nombre entier rationnel et un nombre quelconque du corps c(Q

ti-K

(c=e ' , / premier impair). Cette loi de réciprocité est en mémo temps un auxiliaire, jusqu'ici indispensable, pour la démonstration de la loi de réciprocité plus générale de Kummer. [Voir chap. xxxi.] Pour démontrer la loi de réciprocité d'Eisenstein, il faut d'abord le lemme suivant :

Lemme 21. — Soit ^^e ' ; soit/) un nombre premier de la forme ml -{- 1, R un nombre primitif mod p, el p l'idéal premier du premier degré de c(Q :

posons Z= e~^ > la résolvante de Lagrange A :

A= z + w + rz'^' + ... + cp-^z^"-*

et :: = V. Soit enfin q un nombre premier quelconque différent de /et/), q un idéal premier facteur de q dans c(Ç) et de degré g; alors le caractère de puissance du nombre z = A' par rapport à q s'exprime par la formule

Démonstration. — En élevant g fois à la ^'^°"' puissance, on a la congruence

En remarquant que q^^i, mod /, d'après le théorème 119, et en posant q"^ R", mod p, le second membre de (46) devient

D'où résulte, A étant premier à q, vu le théorème i38, la congruence et on a donc certainement

c'est-à-dire que

lih^'-

Fac. de 7'.,