S., II
D. h;lbert.
D'aiilrc part, on tire des congruences ç'^R'', mod p, et R"'^!^~', mod p, les relations
gip-i) g ' = ^"" = R'""'= r\ (P),
c'est-à-dire
(48) \SL\ = (iy":^-\ C.q. f.d.
S II 5. — Démonstration de la loi de réciprocité entre un nombre rationnel
ET UN nombre quelconque DE C(Q.
Soit ï = (i — 0 l'idéal premier de / dans le corps cÇÇ). Appelons semi-primaire un entier a de c(Ç), premier à I et congru mod V à un entier rationnel. Un entier rationnel, non divisible par /, est, par suite, toujours semi-primaire. Tout entier a de c(Q, non divisible pari, peut toujours être changé en un nombre semi-primaire lorsqu'on le multiplie par une puissance convenable de X,. Si, en effet, on a
a et 6 étant des entiers rationnels, on a
si l'on détermine 6* par la congruence (') nb*^b, mod /. Le nombre Ç^'a est par suite semi-primaire.
Cette remarque préliminaire faite, voici l'expression de la loi de réciprocité d'Eisenstein.
Théorème i^io. — a étant un nombre entier rationnel, non divisible par le nombre premier impair /, et a un entier semi-primaire quelconque premier à a du corps c{Q des racines l'*""^^ de l'unité, on a dans ce corps
[Eisenstein^]
(^) N. T. — ab* ^b mod / et, par suite, mod ï- . On a en effet alors
= a[i -) ^6« I + 6^ç6«(i Q] = a + q(i -Q çij*-^b^ ■çb'>-i — 'çb^-i... — i) = a 4- a(i - 0 C^b'^ çô«-i 4. ;*« î;a«2 + ... ^ ^ô* j) , -
^a, mod ï*.
Démonstration. — Soit r une racine primitive mod / et 5 = (^ ; !^'"). Supposons d'abord que a soit un nombre premier q et que a ne contienne que des idéaux premiers du premier degré. Soit q un facteur idéal premier quelconque, de degré g, de q dans c(Ç), soit p un facteur premier de la norme n(a), et donnons à :|) et à -le même sens que dans le lemme 21, s" étant alors une puissance quelconque de s, l'application du lemme 21 aux idéaux premiers s~"q et p donne
Soumettons cette égalité à la substitution s", on a
Soient p:=nil-\- 1, p* = m*l-\- i, etc., les différents facteurs premiers de n(a) ; R, R*, ..., etc., des racines primitives mod p, p*, ...; enfin, posons
et soit
la décomposition du nombre a. les exposants F{s), F*{s) ... étant des polynômes de degré / — 2 a coefficients entiers ^o.
A, A*. ••• désignant les résolvantes de Lagrange relatives aux facteurs premiers p, p*, ... et à leurs racines primitives R, R*, .... en posant 7: = a'. ^w* = A*'. ••• on a, d'après le théorème i38, les décompositions
OÙ r^ représente le plus petit entier positif congru à r~'' mod / (r racine primitive mod l).
Le quotient
est par suite, évidemment, une unité du corps c(0-
Nous allons démontrer que £;=+ i. Pour cela, formons [el* :
Il J-H»
2 a(*"^'' jK-^''-i-'-^-+'--i+i-*'-*^
(brr»(NTr<"
A cause de l'égalité, valable pour A = o, i, 2, ..., ,
le numérateur de la fraction du second membre est égal à
Tenons compte de ce que (théorème i38) on a |r|*=/)', \r*\*=:p*', ..., alors |$| = + I. D'après le théorème 48, s est donc à un facteur zh ï près une puissance de Ç. Comme d'autre part on a, d'après le théorème i38,
et que, par suite, 7:, t:*', ... sont tous des nombres semi-primaires, il en est de même de £ ; donc s = + i et il en résulte
Cette égalité donne, vu la formule (49). la relation de réciprocité
En tenant compte de ce que l'on a puisque ces symboles représentent des puissances de ^, il résulte de (5o) l'égalité
ou
ce qui démontre le théorème i4o dans le cas particulier où a ne contient que des idéaux du premier degré et où a est un nombre premier.
Pour supprimer la première restriction , supposons maintenant que a soit un nombre semi-primaire quelconque, premier à q, de cÇQ, pouvant contenir des idéaux premiers de degré supérieur au premier. Formons alors le nombre
II(l-.ve)
le produit II étant étendu à tous les diviseurs de / — i différents de / — r, et posons
j et t étant des idéaux prerniers entre eux; ces derniers ne peuvent contenir, on le
voit aisément, que des idéaux premiers du premier degré et, de plus, ne sont pas divisibles par t. Si A est le nombre des classes d'idéaux du corps c('Ç), on a, d'après le théorème 5i, t" = (/.), y. étant un entier de c{Q; si nous posons y = 8-//, y est aussi un entier de c(Ç) n'ayant que des idéaux premiers du premier degré, et. de plus, Y est, de même que a, semi-primaire et premier k q. De ce qui précède résulte donc
Dans un but de simplification, nous écrirons d'une manière générale, p et a étant deux entiers de c{Z) premiers h q.
ce qui est compatible avec les conventions déjà faites; alors, vu p:=— , on tire de (5i) :
q) iP
En tenant complte des égalités
' — ^ ' et 4-U-' ^
q ) [ q ) [S OL
on déduit de (52) que
Il(l re) n(|K)
Si nous remarquons que l'exposant commun aux deux membres n'est pas divisible par /, nous en tirons .
Admettons enfin que a premier à / et. à a soit quelconque, et que a:=qq* q , q*, ... ; étant des nombres premiers, la multiplication des égalités
ai l q )' ( a ) (q*)' ""
achève la démonstration du théorème i^o.
