CHAPITRE XXVI

Détermination du nombre des classes d'idéaux.

8 II 6. — Le symbole

Pour appliquer au cas du corps circulaire cve'"/, m étant quelconque, la méthode transcendante du paragraphe 26 pour la détermination du nombre des classes, définissons d'abord les symboles suivants :

Soit /'' une puissance d'exposant positif du nombre premier impair /, et r une racine primitive mod /*, a étant alors un entier rationnel non divisible par /, et a' un exposant tel que

r'"=a, (/"), nous poserons

^iK-Hl-i)

Nous poserons en outre

quand a sera divisible par /; a et 6 étant deux entiers rationnels quelconques, on a dès lors :

ra=ram-

Nous poserons encore, a étant impair,

et pour /i >» 2 , a' étant un entier tel que

Enfin, a étant pair, nous posons

a et 6 étant deux nombres rationnels quelconques, on a donc

Ces conventions fixent complètement le sens du symbole — , lorsque a est un

entier quelconque et L soit une puissance de 2 supérieure à la seconde, soit une puissance de nombre premier impair, une racine primitive r pour le module L étant alors choisie une fois pour toutes.

/J', II', ... étant des puissances déterminées de divers nombres premiers impairs et a** une puissance de 2 supérieure à 2*, nous poserons pour abréger :

r a "ira ~\"i r a n"2

Li^T«^^J'"L/^J L/^J ■'"

a étant un nombre entier quelconque et les exposants 11, m*: «, , «,, ... des entiers non négatifs. Enfin, nous conviendrons que — sera égal à i, même si — ==0.

S 117. — Expression du nombre des classes dans le corps circulaire des

RACINES m'*""®* DE l' UNITÉ.

On a le théorème suivant, qui sera démontré au paragraphe 118. Théorème i4i. — Soit m un entier positif de la forme

m = l^il^2..., ou ==2'/('i/^a . . .. ou =2^"/fi/^2 . .. (/l*>2, /l,>0, /l,>0 ...),

où /,, /^, ... sont des nombres premiers impairs distincts. Soient de plus r,, r,, ..., des racines primitives mod 11< , /*>, ..., avec les symboles qu'elles définissent. Le nombre de classes H du corps c des racines m'^""'^ de l'unité peut alors s'exprimer de deux façons :

La première expression de H est

H = — II Lim n

OU par la même formule où l'on substitue à u^, u^, ..., a; u,, u^, ..., ou u, u*; u^, u^, ... ; (selon l'expression de m). Le produit extérieur doit être étendu aux nombres

(53) ( et, s'il y a lieu, à

Il = o, I , et à u*= o, I , . . . , 2^''— 2 — I ,

à l'exception de la combinaison u^=zu^^ ...=o; ou u^=u^ = u^= ...=o; ou

« = M* = Mj= ... =o. Il comprend donc un nombre limité de facteurs. Chaque

produit intérieur II doit être étendu à tous les nombres premiers p, c'est donc un

(p) produit infini ; y. est le nombre du corps c défini au théorème 56.

La deuxième expression de H est un produit de deux facteurs de forme fractionnaire :

n vr«^1^ II vf.^' — 1iogA„

(»^, u^, .. ) jn) LM, . »^. •••J (1/,. i/;. ■■■) (n) L^,. »;. •••J

(pour les autres expressions de m, on remplace u^, «,, ... par u; u^, u^, ...; ou par u, u*; M,, «J, ... suivant le cas). Le produit II au numérateur de la première fraction doit être étendu à toutes les valeurs données dans (53), pour lesquelles «^ + m, -f- ... , dans le premier cas, et dans les deux autres cas u-\- u^-l^ u^-\- ..., est un nombre impair; le produit II au numérateur de la deuxième fraction est étendu à toutes les valeurs (53) pour lesquelles «, + «, + ••• , dans le premier cas, m + «, 4- «^ + ... . dans les deux autres, est un nombre pair, à l'exception de la seule combinaison Uj = Uj=...=o; ou u = u^:=u^...=o■, OU u=: U* = u^ = u^^= .. . = O . Chaque somme S de la première fraction est étendue à tous les entiers positifs n=ï, ..., m — i;

chaque somme S de la seconde fraction seulement à ceux de ces nombres qui

sont"<— . Enfin, log A,^ représente la partie réelle du logarithme du nombre du corps circulaire

tir.n

et R est le régulateur du corps circulaire. [Kummer ^-' ^'.]

Kummer a appelé les deux fractions qui composent la seconde expression de H le premier et le second facteur du nombre des classes. Le double du premier facteur et le second sont toujours des nombres entiers. [Kronecker^.]

THtORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES.

Weber a démontré, en partant de la seconde expression de H, que le nombre de classes du corps circulaire des a^'ièmes racines de l'unité est toujours un nombre impair. [Weber'-*.]

Cette deuxième expression de H peut encore être transformée. Dans le cas où m^/ est un nombre premier impair, un petit calcul(*) conduit au théorème suivant :

Théorème 142. — Si /est premier impair, le nombre de classes h du corps circulaire des racines F"^"'' de l'unité est donné par

2titn'«

II ^ ne "^^^

, in) (/il -^

Le produit II est étendu aux nombres impairs i, 3, ... / — 2, et chaque somme S

aux nombres n= i, 2, ... / — i ; de plus, étant donnée une racine primitive r, mod /, n' désigne un nombre tel que r"' ^n, mod /; A désigne le déterminant

loi

log£,,

loge,.

log=-3.

log=/-.

log e,3 , log s,.

log h-.

où log £ représente la partie réelle du logarithme de l'unité

l, étant égal à e~ . [Kummer"- ", Dedekind'.]

Les deux fractions de cette expression de h proviennent des deux fractions de la forme générale et sont par suite le premier et le second facteur du nombre de classes,

dans le sens primitif: dans le cas actuel, ces deux facteurs sont tous les deux entiers.

, l— \ Le second facteur représente le nombre de classes du sous-corps réel de degré ■

contenu dans c(Ç). Kummer a encore établi d'autres théorèmes concernant la divisibilité par 2 de ces facteurs. [Kummer^.] La tentative de Kronecker pour démontrer ces théorèmes par une voie purement arithmétique contient une erreur, et la généralisation donnée par Kronecker n'est pas exacte. [Kronecker".] En outre. Kummer a fait des recherches d'un autre ordre sur la signification et les propriétés de ces deux facteurs [Kummer '•\] (Voirchap. xxxvi.) Enfin, Kummer a énoncé le théorème que le nombre de classes de tout sous-corps de c(^) divise le nombre de classes h de c{V). La démonstration qu'il a essayée d'en donner n'est cependant pas inattaquable. [Kummer^]

(1) Voir la noie I à la fia du Mémoire. Fac. de T., 3« S., IL

338 D. IIILBERT.

2in

§ Il 8. — Démonstration des formules du nomrre des classes de c(e"').

Pour démontrer le théorème iZji, prenons le cas le plus compliqué, où m est divisible par 8, et établissons le lemme suivant :

Lemme 22. — p étant un nombre premier quelconque et m un entier divisible par 8, on a, avec les notations du théorème i4i, pour les valeurs réelles de s> i. la formule

où le produit du premier membre est étendu à tous les idéaux premiers facteurs de/>

dans le corps 0(^ = 0"^), et où le produit du second membre est étendu à toutes les valeurs (53) [y compris la combinaison k = «* ^ u^ = u^ = ... = o].

Démonstration. — Soit d'abord/) un nombre premier ne divisant pas m ; soit / un

des nombres premiers impairs /, , /, et /' la puissance de / qui figure dans m;

soit /' une racine primitive mod ["et p^r''', mod l''. Si e désigne le plus grand commun diviseur des nombres p' et /''"'(/ — i) et si l'on pose /''"'(/ — i) = e/, le

symbole -^ est évidemment exactement une /'*''"' racine de l'unité et non une

inférieure.

Si nous prenons d'abord / = /, , et, par suite, k=zh^, c = e, , /î'~'(/, — 0 = ^i/i' on a la formule

,ii,r,-^/'__-l,-..|=;,-r^.-''iV.H".

où le produit est étendu à toutes les valeurs de a, indiquées dans (53)(i). Si nous

(1) N. T. — C'esl-à-dire : «, = 0, 1, ..., /("-'' (/, — i) — 1 . On a, en effet :

r— -"— 1 = r V— 1 \f] '" et [fi = 0, , avec 0(, = ■ ; donc, en posant pour al)régcr :

[u, Il ; u^, ...J

THIÎORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 889

prenons ensuite l—l^elh = h^,e = e^, l'^'~\l^—i) = ej,, on a,/,, désignant le plus petit commun multiple de/, ety^,

{u„u^)i L«. ";«.>«.. •••J ) ( Lu, Il ,11,, II,, ••■J )

et ainsi de suite, — /,,.. désignant le plus petit commun multiple des nombres

(«„«,....)( Lu, u*:ii^, u^, ...Y ) i L«. mJ )

où le produit est étendu à toutes les valeurs (53) de m, , «^ —

Soit de plus p^ + ô*", mod 3''*; soit e* le plus grand commun diviseur des

nombres p' et 2^*--, et soit a'^*-^— -g»y*. alors —j^ est évidemment exactement

égal à une racine/**""" de l'unité et non à une inférieure. Par suite, si f',^,, ... désigne le plus petit commun multiple de/*, f,,f^, ••• :

e^e,e2...f<^fjf.2. .

n i. -r-^-'' lp-..|=; , -fil"'-" ,-......1^^^^— .

(u^;u„u^....)i Lu, U*; 11^, U^, ...J ) ( L2 J )

Enfin, soit ë le plus grand commun diviseur de et de 3, et posons

2 = e/; il résulte alors de la dernière formule, si F désigne le plus petit commun multiple des nombres/,/*, /,, /, ... et si l'on pose pour abréger

P ^gg*g.e, •••//*/./••• F

(54) n 1 1 - [ ' ^;— ^^- -Ip-' ! = h - P-''']^'

où le produit est étendu à toutes les combinaisons (53) de 11, a*; u, , a,, — On voit de suite que F est le plus petit exposant positif tel que p^^ i, mod m. Comme de plus FE = «î>(m), on déduit de (54), en ayant égard au théorème i25, la formule du lemme 22 (^). En s'appuyant sur la deuxième partie du théorème i25, on reconnaît l'exactitude de cette formule même dans le cas où p divise m .

(•) N. T. — On a, en effet :

pf(m) — pKF Jr^(^p•^ „(5pj n{^K)- [Théorème i25.]

et

L'on voit alors immédiatement l'exactitude de la première expression de H donnée au théorème i4i, en s'appuyant sur le théorème 56, la deuxième expression de ^{s) donnée au paragraphe 27 et le lemme 22 qu'on vient de démontrer.

Pour obtenir la deuxième expression de H , nous transformons d'abord de la façon suivante le produit précédé du signe Lim de la première expression :

La transformation de la somme du second membre s'opère ensuite de la façon la plus simple, si l'on pose

n' l\s} Jo et que l'on procède comme au paragraphe 80 (').

§1(9. — Existence d'une infinité de nombres pniEMiERS qui ont pour un nombre

DONNÉ UN RESTE DONNÉ PllEMIER A CE DERNIER.

Chacune des deux expressions (théorème i/ji) du nombre de classes H du corps circulaire des racines conduit à une conséquence importante. La première sert en effet à démontrer le théorème suivant :

Théorème i/j3. — m et n étant deux entiers premiers entre eux, il existe toujours une infinité de nombres premiers p vérifiant la congruence p^n. modm. [Dirichlet^-**, Dedekind ' .]

Démonstration. — Considérons encore seulement le cas le plus compliqué, où m est divisible par 8, et posons, comme au paragraphe 117, m ^^ 2'''^ l{'^ t'^2 ... . Chacun des produits considérés

à l'exception de celui qui correspond à la combinaison u = u* = a, = Hj= ... = 0, a pour 5 = 1 une limite déterminée; de la première expression du nombre de classes H, donnée au paragraphe 117, résulte que ces limites sont toutes différentes

(') N. ï. — Nous donnons dans la note V, à la (in du Mémoire, le détail de ces calculs pour le cas simple où /n est un nombre premier impair.

THKOKIli DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 34 T

de o; nous pouvons donc prendre les logarithmes de ces produits, et on est alors conduit par des considérations simples, analogues à celles du paragraphe 80, à ce résultat, que pour tout système de valeurs u, u!*: u^, u^. ... (o partout exclus), la somme

(55) .r^^^/'-^^qj,.

où p parcourt toute la série des nombres premiers a une limite finie pour 5=1. Comme n est supposé premier à rn, tous les symboles

L^J' L^J' Ufs L/^J' ■■■'

sont différents de o. Nous multiplions l'expression (55) par

rn~|" r/iH"" rn"i"i r Al n«2

Uu W L/FJ L/^J ■•■

nous donnons à u, u*\ «,, a,, ... toutes les valeurs (53), la combinaison o partout étant exclue, et nous ajoutons toutes les expressions ainsi formées à la série (26) (voir S 80). On obtient ainsi l'expression

(56) * (i + P, 4- p: + . . . + P[Si.-i)-^) .

' (I + P. + p: + . . . 4- Pl'^"'''-*)-^) ... -i ,

où l'on a posé pour abréger

,,Ld n*W ^bf}

Si nous faisons abstraction dans cette série des termes, en nombre limité, correspondant aux facteurs premiers de m '. 2, l^, l^ le reste est égal à <î)„, il—, où p

représente les nombres premiers, tels que tous les symboles P, P*, P^, P^, ... soient égaux à I, c'est-à-dire les nombres premiers vérifiant la congruencedu théorème i^3. Comme la série (26) est infinie pour s^i, tandis que les séries (55) restent toutes finies pour 5=1, il en résulte que la série (56) est aussi infinie pour 5^1, c'osl-àdire qu'il y a une infinité de nombres premiers vérifiant la congruence.

§ I20. — Représentation de toutes les unités du corps circulaire au moyen

d'unités circulaires.

La deuxième expression du paragraphe 117 peut servir à démontrer le théorème suivant :

Théorème i4A- — Toute unité d'un corps abélien est une puissance fractionnaire d'un produit d'unités circulaires.

Démonstration. — Prenons d'abord le cas où ni^^l est premier impair. D'après la formule du théorème i^a, le second facteur du nombre de classes contient au numérateur un certain déterminant A. Ce dernier est donc nécessairement =1=0,

, /— 3 d'où il suit, vu les considérations des paragraphes 20 et 21, que les — ^ — unîtes

£, , %, ,•• , £/3 du théorème i/ja forment un système d'unités indépendantes du corps circulaire c{e~). Ceci montre l'exactitude du théorème i44 pour le cas particulier

2in

du corps circulaire c{e~) et, par suite, pour tous les sous-corps qu'il contient. [Kummer".]

On peut transformer le second facteur du nombre de classes, comme au théorème i/|2, même dans le cas où m est composé; l'expression obtenue conduit alors, avec le théorème i3i, à la démonstration générale du théorème ikk-

Les tables de nombres premiers complexes calculées par Reuschjie constituent une mine abondante de valeurs numériques, de la plus grande utilité pour des recherches plus approfondies sur les corps circulaires. [Reuschle', Kummer^', Kronecker'-.]