CHAPITRE XXVir

Applications aux corps quadratiques.

§ 121. — Expression des unités d'un corps quadratique réel au moyen d'unités

circulaires.

En utilisant quelques-unes des propriétés du corps circulaire des racines m"""** de l'unité relatives à un de ses sous-corps quadratiques, nous arrivons à de nouveaux résultats relatifs aux corps quadra'iques. La fécondité de cette méthode s'accroît encore, si on la combine avec les propriétés du corps quadratique déjà démontrées directement, dans la troisième partie.

THKORIE DES CORPS DE NOiMBRES ALGEBRIOUES. 3^3

D'après le théorème général i44, toute unité d'un corps quadratique réel c[ym) est puissance fractionnaire d'un produit d'unités circulaires; on obtient simplement une unité particulière du corps c{\/m) au moyen de l'expression

bir.

Il (e'd'

bÎT.

ai- (a)

air.

où d est le discriminant du corps cys/m) et où les produits H, H sont étendus à tous

les nombres n ou b de la suite i, 2, ..., d, qui vérifient les conditions

f-j = + I , fÇ\=—i. [Dirichlet".] Voir § 80.

S 122. - — Loi DE RÉCIPaOCITÉ DES RESIDUS QUADRATIQUES.

Soit / un nombre premier impair. /' une racine primitive, mod /; 'l = e' ,

s = (Z '. Z''). Au sous-groupe des substitutions i, s*, s\ ..., s'~^, de c(Z), corres-

pond un certain sous-corps quadratique c* de cÇÇ). Le discriminant du corps c(^)

/— 1 étant (théorème 118) ( — i) ^ /'"*, le discriminant du corps c* ne contient pas (théorème 39) d'autre facteur premier que / et a par suite, d'après le théorème 95, la

valeur (/ = ( — i) ^ /.

Soit p le nombre premier 2 ou un nombre premier impair quelconque autre que /. En décomposant/) d'une part dans le corps c(X) des racines P""''^ de l'unité, d'autre part directement d'après le théorème 97 dans le sous-corps quadratique c*, et en comparant les résultats, on arrive à une nouvelle démonstration de la loi de réciprocité des résidus quadratiques. [Kronecker'\] Nous procéderons comme suit :

/ étant le plus petit exposant positif, pour lequel p^^i, mod /. en posant

, p se décompose dans c(Z) (théorème 119) en e idéaux premiers ^,

f s^, .... 5*""'^, et le corps de décomposition commun c^ de ces idéaux premiers

est de degré e (théorème 129). Le nombre premier/) est ensuite évidemment décomposable ou non dans le corps quadratique c*, selon que c* est contenu ou non dans c^. En remarquant que le corps cÇÇ) ne contient pas d'autre sous-corps quadratique que c* et que de plus, pour qu'un corps abélien possède précisément un sous-corps quadratique, il faut et il suffît que son degré soit pair, on voit que pour

que c* soit contenu dans c^ il faut et il suffît que e soit pair. D'autre part, d'après le théorème 97, p est ou non décomposable dans c*, selon que l'on a

iHr-) = '-'^ ou =-u

Or, si e est pair, on a

p~^=p *^^i, mod /,

c'est-à-dire (^ j ^ -|- i ; sinon

iizl f.e

pi =/j^ ^(— 0*^ — I • i"od /,

c'est-à-dire (7 ) = — i • 0» a donc toujours

ir-^^-'^"

Nous supposons d'abord p impair; de (67) résulte

et, en échangeant p et /,

(^ette dernière égalité donne en prenant /= 3 : La réunion des égalités (58 et (Sq) donne

Si nous posons dans (57) p = 2 , on a

Les formules (60), (69) et (61) expriment la loi de réciprocité des résidus quadratiques, ainsi que les lois complémentaires.

§ 123. — Les cokps quadratiques imaginaires de discrimoant premier.

Théorème i^S. — / étant un nombre premier ^3 mod 4 etp un nombre premier de la forme ml + i , on a pour tout idéal premier p facteur de p dans le corps quadratique imaginaire ciy — /} l'équivalence

OÙ Sa désigne la somme des plus petits résidus quadratiques positifs mod /, et 16 la somme des plus petits non-résidus.

En posant de plus p = :pp' et

Zb—ia

OÙ (tt) est un entier du corps imaginaire cyj — /), on a la congruence

"^— ll(am)!' ^^^'

où le produit du dénominateur est étendu à tous les plus petits résidus quadratiques positifs a, mod /. [Jacobi ''-•''', Cauchy \ Eisenstein*.]

Démonstration. — D'après le théorème i36, on peut, ^ étant un idéal premier du premier degré de c('C), poser, avec les notations y indiquées,

A étant un entier de cÇl). Si alors pzz^ml-\- 1 est le nombre premier divisible par ^ et p = pp', la décomposition de ce nombre premier dans le sous corps quadratique c{\/ — /) de c(Ç), ces deux idéaux premiers p, p' de c{\/ — /) sont

p'=sp = ^'^'+-''-+"+'^-').

En élevant l'égalité (G2) à la puissance symbolique (i + s*-|- ... + 5'"'), on obtient

où a est un nombre de c{\/ — /). A cause de

S6 — Sa

g-, + g-^ + --hg-i^, — go — <^-.— - — Q-i-^, = (r-\- 1) — j — ,

on a, vu l'équivalence pp' '^ i,

ib—za

Fac. de T., 3e S., II. 44

D'antre part, on peut poser (théorème i35)

B étant un nombre de c(Ç). En élevant cette égalité à la (i + «* + . . . j?'"')"'"'* puissance symbolique, on en déduit

(64) ., pï.b-za ^^ p l ^ , .

Comme r -f i n'est pas divisible par /, si nous mettons de côté le cas de /=3, suffisamment clair par lui-même, il résulte des deux équivalences (G3) et (64) celle du théorème i/j5.

La deuxième partie du théorème est une conséquence des propriétés (43) et (44) de la résolvante de Lagrange A démontrées au paragraphe 1 12.

On a une démonstration tout à fait diff'érente de la première partie du théorème i45 en s'appuyant sur une remarque faite vers la fin du paragraphe 86, au sujet de l'expression du nombre de classes du corps c(y — /) dans le cas de /^3, mod 4-

On arrive même, par une modification remarquable de la méthode de Jacobi, à étendre l'énoncé du théorème i45 au cas où le nombre premier p n'est pas de la forme ml -\- i. [Eisenstein ", Stickelberger'.]

§ 124. — Détermixatioa' du signe de la somme de Gauss.

Soit p un nombre premier impair, on peut obtenir, selon les définitions du paragraphe 1 1 r . étendues dans le paragraphe 1 1 2, la base normale de Lagrange et la résol-

vante de Lagrange, dans le cas de /^ 3, pour le corps quadratique c\y ( — i) '■^ p) .

Ht.

Soit 2. ^e'y . La base de Lagrange se compose pour ce corps des deux nombres

et la résolvante de Lagrange est

a et b étant les résidus et non-résidus quadratiques de p compris dans i, 2, ...,p — i. Le problème indiqué à la fin du paragraphe 112, de la détermination complète de A, wnc fois a' trouvé, revient ici, dans le cas du corps quadratique, à la détermination d'un signe +, et la solution est la suivante :

Théorème i46. — La résolvante de Lagrange A du corps quadratique de discriminant

premier ( — i) - p est un nombre positif réel ou purement imaginaire positif. [Gauss ^, kronecker*.]

Démonstration. — Le carré de la racine de Lagrange en question A est toujours

égal à ( — i) '^ p, parce que A est un nombre du corps quadratique et que, d'après le théorème i38,

On a donc

Les idéaux :p, ^p du paragraphe 112 sont remplacés dans le cas actuel de /=2 par (/)) et (i — Z): la congruence (/i3) donne alors

A = ^ \ (I - Z) ^ > ïnod (i - Z) ^ .

c'est-à-dire

(66) A=^^=^! (i-Z)^\ mod(i-Z)^'.

Considérons d'autre part l'expression

Gomme cette dernière change seulement de signe lorsqu'on remplace Z par Z ".

p-i Rétantune racine primitive, mod p, et quel'idéal (A) coïncideavec l'idéal (i — Z) ^ »

on a nécessairement

:±\/(-l)Vp

Pour déterminer le signe, remarquons que l'on a

ft -r.ft „;.:„2^~ fu . „ P—'

jr-*— z"= — 2/sin , /i=i,2, ....

et qu'on obtient par suite pour A une valeur de la forme ( — i) - P, où P est positif.

Vf--'

Donc, en entendant par V ( — i) ^ p celle des racines carrées qui est réelle positive ou positivement imaginaire, on a