CHAPITRE XXVllI

Décomposition des nombres d'un corps circulaire dans un corps kummerien.

S 125. — Défimtion d'ln corps kummerien.

Soit / un nombre premier impair et c(w) le corps circulaire défini par ^^e ^ . \). étant alors un entier de cÇl), qui ne soit pas en même temps la /''""^puissance d'un nombre de c{Z), l'équation du /'''"'* degré

x' — JJ. = o

est irréductible dans le domaine de rationalité c(^). M = VM- étant une racine déterminée choisie arbitrairement de cette équation, les autres sont çM> C*M. •■■, ^'~'M- J'appellerai corps kummerien le corps déterminé par M et w. Un tel corps kummerien c(M, 0 est de degré /(/ — i); il contient c{'Ç) comme sous-corps, et c'est, par rapport à ce dernier; un corps abélien relatif de degré /.

Le changement de M en tffi dans un nombre ou un idéal du corps kummerien donne le nombre ou l'idéal conjugués relatifs. Nous représenterons ce changement par la substitution S.

On démontre facilement les propositions :

Théorème i^v- — Pour que le corps kummerien engendré par M = \/\iet ^ soit un corps de Galois dans le domaine des nombres rationnels, il faiit et il suffit que l'une des puissances symboliques </"*, ;/~*, ..., u*"'^' soit la /'■^'"^ puissance d'un nombre de c(l). (s = ('Ç '. ^''), r racine primitive, mod /.)

La condition nécessaire et suffisante pour qu'il soit abélien est que : a*"'' soit la /"'"* puissance d'un nombre de cÇÇ).

Lorsque le corps kummerien (M, Z) est un corps de Galois, ou un corps abélien, il résulte, comme le montrent les considérations du paragraphe 38, de la composition du corjDs cC^) et d'un certain corps de degré /.

35o D. IlILBERT.

§ 126. — DlSCRIMIISA^T HELATIF d'uN CORPS KUMMERIEN.

Notre premier problème est celui de la détermination du discriminant relatif de c(M. 0 P^r rapport à c(Z). Nous démontrerons d'abord la proposition suivante :

Lemme 23. — Si un idéal premier p du corps circulaire c(Q est la Z'^™* puissance d'un idéal premier ^ du corps kummerien c(M, 0 et que A soit un entier de c(M, 0 divisible par «^, mais non par 5^^ le discriminant relatif du nombre A et celui du corps kummerien c(M. '0 par rapport au corps c(^) contiennent le facteur idéal p à la même puissance.

Démonstration. — Tout entier du corps c(M. 0 P^ut être mis sous la forme

où a, 7,, ... , a^j, p sont des entiers de cÇ^). Si fl est divisible par p, il en résulte que le numérateur de la fraction doit aussi être ^ o, mod p .

A cause de A^o, mod ^, on en conclut a^o, mod «p et, comme a est dans c(u), également a^o, mod p . Cette dernière congruence donne

^,k + a,A' + . . • + =(/-i A'-* = o , (mod p) ,

et comme Ae|eo, A* = o, A* = o, ..., a'~" = o, mod p, on a a, = 0, mod P, et par suite aussi, mod :p ; on a donc aussi

(]omme A*^|^o, f^^o, ..., a'~*^o, mod «P', on a a,^o. mod ^, et par suite aussi, mod p.

En continuant ainsi, nous voyons que tous les coefficients a, x,, ..., a^, doivent

être divisibles par p. Si maintenant ,fc.' est un entier de cil), divisible par -, mais non

par p. les nombres afi', a, fa', . .. , a,,fi' sont tous divisibles par S. En posant

fa

nous obtenons

où le nombre fa' du dénominateur contient maintenant un facteur idéal p de moins que fJ. En appliquant à (69) la même méthode qu'à (68) et ainsi de suite, nous arri-

vons finalement au résultat que tout entier Q du corps c(M- '0 peut être mis sous la forme

où X, a,, ..., »;, . p sont des entiers de cÇÇ), p étant en outre premier à p. Supposons exprimés sous la forme (70) les /(/ — i) nombres d'une base du corps kummericn c(M' 0' et formons avec ces nombres et leurs conjugués relatifs la matrice à / lignes ; il est alors visible que le discriminant relatif du corps kummerien c(M. '0 multiplié par certains entiers H premiers à p de c{Z) doit être divisible par le discriminant relatif du nombre A- ce qui démontre le lemme 28.

Théorème iZiS. — Soit À^ i — ^ et Ï = (a). Si un idéal premier p autre que I do c(w) entre exactement à la puissance e dans le nombre [jl, le discriminant relatif du corps kummerien déterminé par M = V y- et ^ par rapport à c(X) contient en facteur exactement la puissance p'~^ de p, si e et / sont premiers entre eux. Si, au contraire, e est un multiple de /, le discriminant relatif est premier à p .

Quant à l'idéal premier ï, nous pouvons d'abord exclure le cas où u. est divisible par I et contient cet idéal à une puissance dont l'exposant est un multiple de /; car alors le nombre [x pourrait être remplacé par un nombre [).* premier à I, le corps c{\/ij* , Z) restant le même que le corps c(v [a, Z). En dehors de ce cas, [j. peut contenir une puissance de l dont l'exposant est premier à /, ou bien p, peut ne pas être divisible par I. Dans le premier cas, le discriminant relatif de cyyix, 1j, par rapport à c('^), est exactement divisible par (''~*. Dans le second cas, soit m le plus grand exposant -^ / pour lequel il existe dans c(Q un nombre a, tel que u. ^ a' mod t". Le discriminant relatif est alors premier à I, dans le cas de m = /, et si m<Cl \l est divisible par la puissance {('-•H'-w+i) jg j

Démons! ration. Première partie. — Soit - un nombre entier de c('Ç) divisible

par ,, „,ai. non par ,', et soi. v un nombre entier de c(0 divisible par ^, mais prcmier à p .

Si l'exposant de la puissance de p contenue dans a n'est pas un multiple de /. on

peut déterminer deux entiers a et b, tels que i^ae — 6/; alors \)*= — ^j- est un

entier de c(^l) divisible par p, mais non par p'; et si l'on pose M*=v ;■'•*' c)" ^ c(M*, 0 = c(M» w) ; et si l'on désigne par ^ le plus grand commun diviseur idéal de p et M*dansc(M, 0' on a(')

(') N. T. — Car S:|) = ^ , SM*- = ^M*> ^^ '^ p'"^ grand commun diviseur de p ot t!e [ |^* est le même (jue celui de p et de |^*, car ^ est une unité.

L'idéal ^ est donc un idéal premier invariant du corps kunimerien c(M> 0 psr rapport au sous-corps c(Z); d'après le théorème gS, il entre donc comme facteur dans le discriminant relatif de c(M> 0 par rapport à c(u). Comme de plus M* est divisible par ^, mais non par «ï>^ et que le discriminant relatif de M*, par rapport à c{V),

est égal à ( — i) ^ f\j.*^~\ l'idéal p est donc, d'après le lemme ijS, contenu dans le discriminant relatif du corps c(M, 0 exactement à la / — i'*'™^ puissance.

Si, au contraire, l'exposant e est un multiple de /, [jl* = ^ est un entier de cQ)

• îT

non divisible par p; comme le discriminant relatif du nombre M*^\/ H* par rapport

à c(u) est égal à ( — i) ^ /'a*'~', il est premier à p. 11 en est de même du discriminant relatif du corps c(M. K) par rapport à c{V).

Deuxième partie. — Dans le cas où a contient I avec un exposant e, non multiple de /, procédons comme dans la première partie et prenons à la place de u. un nombre a*, divisible par I et non par ï*. Comme le discriminant relatif du

nombre M*^ v I^* a la valeur ( — i) - /'[j*'~', le discriminant relatif du corps c(M, 0

I)ar rapport à c(ç) est exactement divisible par !'""', d'après la nature du nombre \)*

et la lemme 28.

Nous avons en second lieu à examiner le cas où a n'est pas divisible par t. Soit

d'abord m=^l\ il y a donc dans c(ç) un entier a, tel que y. ^a', mod V .- — rj — est donc un entier de c{t), et, par suite, l'équation de degré /en x

{Ix — a)' 4- :x

a tous ses coefficients entiers. Comme en posant M = V f- ^^^ — ^ — est une racme

de cette équation, 0= — ; — est un entier du corps c(w). Le discriminant relatif de

ce nombre Q est égal à i]h~\ z étant une imité, et, par suite, le discriminant relatif du corps c(M, 0 par rapport à cÇÇ) est aussi premier à I.

Soit ensuite m<Cl, de sorte que jj. ne soit pas congru à une puissance /'^"'*, mod V ; posons [;.^a' + aX"', mod t"'^', a étant un entier de c{Ç), m l'exposant défini dans l'énoncé et a un entier rationnel non divisible par /. Considérons alors l'idéal

5l = (À, oc— M).

Le nombre n'est certainement pas entier, car sa norme relative par rapport

y. — u. à c(Q, c'est-à-dire — ^rr^' est fractionnaire, à cause de m<Cl; donc, le nombre a — M À

n'est pas divisible par I; par suite, l'idéal 31 est différent de ï. D'autre part, % n'est égal à I, car la norme relative du nombre a — M est, à cause de

(71) Ne(a-M) = a'-M = -aX'", (r-^O

divisible par V". Comme on a 851^31, 5ï est un idéal invariant, et comme ce doit être un facteur de ï, ce dernier appartient à la première des trois catégories d'idéaux premiers du sous-corps distinguées (S 67) dans la démonstration du théorème gS, c'est-à-dire I = S', fi étant un idéal premier, évidemment du premier degré de c(M. 0- La congruence (71) donne alors 51 = 8'".

Déterminons maintenant deux entiers positifs a et b, tels que am — bl^^^\, et posons

De SM = !^M , on déduit

g^^(a— M + aM)"

et nous concluons de cette expression que Q — SQ contient en facteur g"-'"-*^*). Comme il en est de même de toute différence entre Q et un de ses conjugués, le discriminant relatif de Q par rapport à c{t) contient en facteur exactement la (/ — i)(Z — m 4- i)'^""" puissance de l'idéal ï. Il en résulte, Q n'étant divisible que par la première puissance de fi, que le discriminant relatif du corps c(M. ^) par rapport à c(Q est aussi divisible par la même puissance (lemme 28).

Le discriminant relatif du corps kummerien c(M> V) pai" rapport au corps c{t) est ainsi complètement défini, et l'on peut immédiatement en déduire le discriminant du corps c(M, 0 (théorème 89).

§ 127. — Le symbole \-^—\-

Il est nécessaire pour la suite de généraliser le symbole | — | introduit au paragraphe 1 18, pour le cas où i^. est divisible par to et pour celui où t© = ï .

Soit tt) un idéal premier quelconque de c(u) et ^^ un entier quelconque de c(Q, qui ne soit pas égal à la /'''"^ puissance d'un entier de c(^). Quand le discriminant relatif du corps kummerien engendré par M = y/j/, et ^ sera divisible par tt), le symbole I — > aura la valeur o.

[xo )

Si, au contraire, le discriminant relatif de ce corps c(M, Ç) n'est pas divisible par tt>, on peut, d'après le théorème i48, toujours trouver dans c(u)un nombre a, tel que «.*= X]}., soit un entier de c(ç) non divisible par tt>. Si [x est lui-même premier Fac. de T., 3« S., II. 45

D. IIILBERT.

à t», a= I remplit déjà cette condition. \ous définissons alors, si it>=|=ï, le symbole en question par la formule

Mais si W = I, on peut, le discriminant relatif de c(M, 0 devant être premier à I, choisir en ou[re le nombre a (théorème iZi8), de façon que l'on ait y.*^ i, mod I'. On a dès lors une congruence de la forme

où a est un des nombres o, r. 2, ... / — i. Je définis alors le symbole ] — [ par l'égalité

Si [x est la Z''-""' puissance d'un nombre de <:'(^) et t» un idéal premier de c(Q. on

prendra — i^iiw)

La valeur du symbole — est ainsi fixée pour tout entier [j. et tout idéal premier »» de c(u); elle est d'ailleurs égale à o ou à une racine /''-'"'* de l'unité.

Enfin a étant un idéal quelconque du corps c(^), si l'on a a;=:|)q ... tu, p, q, etc.

étant des idéaux premiers de c(Z), on définira le symbole < — [ par l'égalité

a, h étant des idéaux quelconques de c(^), on a donc

ah\ \ a ) I b \'

S 128. — Idéaux premiers d'l> corps kummerien.

Soit ;jL un entier de c('Ç). M = v y- un nombre en dehors de cÇÇ}- La question de la décomposition des idéaux premiers du corps circulaire c(Q en idéaux premiers du corps kummerien c(M» C) est résolue par le théorème suivant :

Théorème 149. — Un idéal premier quelconque p de cÇl) est, dans le corps kummerien c(M, ?)> soit égal à la /'*'""' puissance d'un idéal premier, soit décomposable en un produit de / idéaux premiers distincts, soit premier lui-même, selon

( a ) que -!— '=0, = I ou = une racine /"'""^ de l'unité différente de i.

iP)

Démonstration. — La première partie de ce théorème se rapporte aux idéaux premiers qui divisent le discriminant relatif du corps kummerien : ils sont donc invariants, d'après le théorème 98. Ce fait ou le théorème i48 montrent donc pour ces idéaux l'exactitude du théorème.

Si p est un idéal premier qui ne divise pas le discriminant relatif du corps c(M, 'Q,

soit [)* un entier non divisible par p, tel que le quotient ■^— soit égal à la f^""" puissance d'un nombre de c(Ç). Le corps c(M» Ç) est alors engendré également par

M* = v/i^et^

Examinons d'abord le cas de S-l-ï. Si alors —■ = i, le nombre a* est, d'après

le théorème 189, résidu de /''""' puissance, mod p. Déterminons, ce qui est toujours possible, un entier a de c(C), tel que l'on ait [j.*^a', (mod p), et [j.*E|Ea', (mod :p*). En formant alors les idéaux conjugués relatifs

^ =(p,M*-oc).

s;> =(^rM*-^),

nous obtenons facilement

^ = fp.S«»> ... S'-'sp.

Comme

S^P est différent de ^^, et, par suite, les / facteurs premiers ^, S^, ... S^— '^ de l'idéal p sont distincts. L'idéal premier p de c(Ç) appartient donc à la deuxième catégorie des idéaux premiers du sous-corps (théorème 98), il se décompose donc dans c(M» 0 en / idéaux premiers distincts. Inversement, si un idéal premier p du corps c(Q, différent ou non de l'idéal I, se décompose en / idéaux premiers distincts ^, S^, ... S'— *^ du corps c(M> U» Oïi ^' P étant le nombre premier divisible par p, N(sp) = p''et ^'(^) = ÎV(?P) ... N(S'^i^^)=/)'^ et, par suite, la norme de p, prise dans le corps c(Z), n(p) est aussi égale a p'^ . L'égalité des normes N(^) et n(p) montre, comme au paragraphe 67. que tout entier du corps c(M, 0 est congru, mod «P, à un entier du corps c(v); en posant en particulier M*^^. mod ^, a étant

dans c(^), on a M'^^l^'^^', mod ^, et comme a* — a' est un nombre de c{l,), on

i * ] i ) doit avoir aussi u,*^ ac', mod p, c'est-à-dire que I— :=, — (== i. La dernière partie

du théorème 1/19 est donc complètement démontrée pour le cas d'un idéal premier :p=|=I.

Enfin, relativement à l'idéal premier ï , si le discriminant relatif du corps c(M, 0

par rapport à c(Q n'est pas divisible par t, on a, pour le nombre u*, d'après le théorème iZjS, une congruencc de la forme

^*=xi + ali, (ï'+»),

a étant un entier rationnel. Si maintenant l'on a — ' = i. c'est-à-dire si a est divisible par /, il en résulte une congruence de la forme

OÙ a* est encore un entier rationnel. Si a* n'est pas divisible par (, nous posons [j.**= 1^.*; si, au contraire, a* est divisible par /. nous posons

il en résulte

D'après cela, le nombre [j.** vérifie toujours une congruence

où a** est un entier rationnel non divisible par /, et, par suite, en posant

f/[** = \/,j** et

on a la décomposition Comme

:fi.Sfi ...S'-»«.

Sfi est différent de 8, et, par suite, les / idéaux premiers 8, S8, ... S'— *8 sont distincts.

Inversement, si ï se décompose ainsi dans le corps kummerien, les normes de 8 dans c(M» 0 et de I dans c(Q sont égales, d'après une remarque antérieure, applicable, on l'a indiqué, même au cas de p = l, et, par suite, tout entier de c(M. K) est congru mod 8 à un entier de c(u). Comme ensuite, d'après le théorème gS, I ne divise certainement pas le discriminant relatif du corps c(M> 0 par rapport à c(V),

nous pouvons, d'après le théorème i/i8, poser [j*^ a', mod I'. et — :^ est donc un

entier. Comme 8 est un idéal premier du premier degré dans c(M. 0' nous pouvons trouver un entier rationnel a congru à cet entier mod 8; alors on a. Ne désignant la norme relative par rapport à c(Ç),

c'est-à-dire

(y. — aKy — u* = o, (F+»);

on a donc }-^;^ |-^ ^ i, ce qui achève la démonstration du théorème 149.

Le théorème 1^9 nous fournit un moyen simple de distinguer, dans le cas particulier des corps c(M, 0 ^t c(l), les trois sortes d'idéaux premiers indiquées au théorème 98^ pour un corps supérieur cyclique relatif de degré relatif premier.