CHAPITRE XXIX

Résidus et non résidus de normes d'un corps kummerien.

S 129. — Défimtio> des résidus de >ormes et des non résidus.

Soit, comme au paragraphe ia5, a un nombre de c(v), tel que fj[z=z\/ix ne soit pas dans c(Z) et soit c(M. 0 le corps kummerien déterminé par M et ç; soit Nc(A) la norme relative d'un nombre A de c(M. '0 P^r rapport à c(Z). Soit M) un idéal premier quelconque du corps circulaire c(X) et v un entier quelconque de ce corps. Si alors v est congru mod \v à la norme relative d'un entier de c(M, C) et si, en outre, on peut trouver, pour une puissance de W aussi élevée qu'on le veut, un entier A du corps c(M, 0' tel que l'on ait v ^ Nc(A) suivant cette puissance de \t>, j'appellerai v un résidu de normes du corps kummerien mod io. Dans tout autre cas, v sera non résidu de normes du corps kummerien mod tt> .

S i3o. — Théorème sur le nombre des résidus de normes. — Idéaux de ramification.

On a l'important théorème suivant :

Théorème i5o. — Si \v est un idéal premier du corps circulaire c(ç), ne divisant pas le discriminant relatif du corps kummerien c(M. K), tout entier de c(Q premier à \o est résidu de normes du corps kummerien mod to .

Si, au contraire, W est un idéal premier du corps circulaire c(Ç), diviseur du discriminant relatif du corps kummerien c(M, Ç), et qu'on désigne par e, dans le cas de tt)=|-I, un exposant positif quelconque, et, dans le cas de iv = 1, un exposant quelconque >/, // y a exactement un Z'^'"*' de tous les nombres de c(^) premiers à \r> et incongrus mod m", qui sont résidus de normes mod tt) .

/)5o D. HILBERT.

Démonstration. — Soit d'abord » un idéal premier de c(Ç) différent de I et ne divisant pas le discriminant relatif du corps c(M- 0^ il y ^i deux cas à distinguer, suivant que t» est décomposable ou non dans c(M. ?)• Dans le premier cas, soit 2B iin idéal premier facteur de W dans c(M, 0- En nous reportant à la démonstration du théorème i48, nous pouvons, sans diminuer la généralité pour cela, admettre que [>., et par suite aussi le discriminant relatif du nombre fifi = \/^ par rapport à c(Q, ne sont pas divisibles par 2B; il y a dès lors certainement dans c(M. C) un système de / entiers A,. •••.A/ vérifiant les congruences

A. + a.:m + . . . + A,(;My-' = I ,

A. + AXfA + ... + KC^W-' = I. ) (3B).

A. + a,l:'-'m + . . . + A,(c'-*My-* = I ,

Or, tout entier du corps c(M, C) est évidemment congru mod Sô à un entier de c(Q ; en posant

A. = a., A. = a,, ..., Ai = ^r ('ÎB).

a,, a^, .... a^ étant entiers dans c{Q et

A=7. + a,|VH- ... 4- a,M'-', on en déduit

v = A. i = SA. ..., i=S'-'A, (3»);

et en multipliant, on a v^ ^c(A)» mod 3S, et par suite aussi, mod tt). Ceci démontre dans le cas présent la première partie du théorème pour le cas de e= i. Pour passer aux cas de e>> i, supposons que l'on ait v e|e Nc(A). niod W*, et posons alors

Ne (A)

(.) étant un entier de c(l) divisible par tt), mais non par tt)*. L'entier B = A(i + ^m),

où l* est un entier rationnel vérifiant la congruence If^i, mod W remplit alors la

condition v^iNc(B). mod tt)*. En continuant d'employer ce procédé, nous arrivons

finalement, pour toute puissance tP*, à un entier de c(M. C). dont la norme relative

par rapport à c(Z) est congrue à v mod tt)*.

Soit, d'autre part, ti> indécomposable dans c{ffi, Q; nous pouvons encore supposer

[K non divisible par tt), et alors, d'après le théorème i/jg, y. n'est pas résidu de

/ième puissance mod tt). D'après les conséquences du théorème 189, il y a dans c(Z)

exactement r = résidus de r""^^ puissances mod tt) premiers a tt); en las

représentant par p,, ... , p^, les n(w) — i nombres

ÏHKORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 35(J

sont tous incongrus, mod W, car [j. n'est pas résidu de /'''"'*' puissance, mod tt), et, par suite, tout nombre de c(Ç) premier à iv est congru, mod t», à l'un de ces nombres. En posant p^^x[, .... p^.^a|., mod to, oc^, ..., a^ étant des nombres de c(Ç), on en déduit

py^^,(^,fA'), (tt)),

et, par suite, tout entier de c(Q premier à iv est congru mod w à la norme relative d'un certain nombre de c(M> s); on en conclut, comme dans le cas précédent, que pour tout nombre v entier de c(Q premier à tt), on peut trouver un entier de c(M» K) dont la norme relative soit congrue à v, mod tt)*.

Si nous voulons maintenant démontrer la première partie du théorème i5o pour le cas de tt) = t, nous pouvons supposer a premier à I; désignons par a*" la plus haute puissance de À contenue dans a'"* — i, m étant dans tous les cas ^i, et posons

,j!-'= 1 + al"', (r^*),

a étant un entier rationnel premier à /; a* étant alors un entier rationnel, tel que aa*^ — I, mod /, en posant u*^;x"*'~', on a

D'au tre part, on a les congruences suivantes, où ^ est un entier positif quelconque et h un entier positif quelconque premier à / :

Comme le discriminant relatif du corps c(M, 0 par rapport à c(Ç) ne peut, dans le cas actuel, contenir le facteur I, on a nécessairement, d'après le théorème i/j8.

(1) N. T. — En effet, d'après le théorème i48, on doil avoir

d'où mais donc ainsi, dans

a'-'^i, (ï) a'"-'»=i. (10 ij.'-=i, (I');

a'-'= I 4-aÀ'", (I'"^')

36o D. HILBERT.

Soit d'abord m=l. On déduit alors facilement (i) des congruences (72) et (78) que pour tout entier positif g on peut trouver dans c(Ç) un entier oc^ vérifiant la congruence

1 1 — I — a M* En posant alors M" = y !^* ^^ ^g^^ ^ — ' ^^s ^^^ toujours un entier de c(M. 0

et on a

Do là résulte immédiatement (2) que tout entier v de c(Ç) vérifiant la congruence v^ I, mod I, est résidu de normes du corps c(M. 0» "^od t. On lève facilement cette

(') N. T. — On a

IMais en multipliant [x* par une série de puissances /''■"'^* convenables (i — X'"+')'v^ on peut avoir

l^'IICi — //--')'^= I -À', (t'-"-^").

Soit, en effet,

en multipliant membre à membre cette égalité et la congruence

on obtient la congruence

,,.•(1 Y-^^yy = I X' + y.X' ' * + y X' -\ (I'-^^'"') d'où en posant a? ^ A' et y ^ — x, (t)

Posant alors

[x" = a*(i — À*^'yî'= I — a' + xV^*-^*,

on aura de même

et ainsi de suite, jusqu'à avoir

a*II ( I — X*+')'^ = I — >•'» (ï'^"""') • Mais alors en multipliant membre à membre cette congruence et

(i— X''-^')'=i +^^'"'. (ï'^*'""') on aura

jj*(t — //'-)' ii( , X*- *)'^ = I — a' + x'-^^ (ï'^^^^')