IN
„=(l-//'-)II(l r-^')
(-) N. T. — On a successivement
v=i = r' = Nc(0. (ï)
, = , a,X = (. — X)«i = Nc(Q?0. (O V = I a.X - a;A^ = Ne(Q?0(i - 6^) = Nc(Q?0(i - >^> = N,(Q«.Q*0» (t^
ej) posant
Nc.(Q?.) = I - a/A - a,X^ + hj^, (O et ainsi de suite.
restriction de v ^ i , mod ( . En effet, v étant un entier quelconque premier à I, congru
mod I à l'entier rationnel a, posons v* = a*'v, a* étant un entier tel que aa*^i,
mod ï; alors on a évidemment v*^ i, mod I, et, d'autre part, v et v* sont en même
temps résidus ou non résidus de normes du corps c(M. 0. mod I.
( V- ) Soit ensuite dans la formule (72) m>>/, et, par suite, j — = i ; nous pouvons
alors, g étant un entier positif quelconque, trouver deux entiers a^ et a^^, de c(Q, tels que l'on ait
Nous posons, conformément au théorème 149, ï = SS' ... S*'~*', S. fi', ... étant des idéaux premiers distincts du corps c(|VI. 0- Les deux nombres
ou |\/|" = \/;j," sont des entiers, et comme l'on a ^^(A^)^ — À, mod V, A, est divisible par un des idéaux premiers facteurs de I, fi par exemple, et contient ce facteur au premier degré et aucun des autres. Des formules (74) résulte
et nous pouvons alors supposer que a^^, soit choisi dans la série des nombres a^^,, ly-g^,, ■■■, C'"'a^+.. de façon que l'on ait a^=a^^,, mod V, et, par suite. A<, = A(,+,, mod ï. D'après la dernière de ces congruences, A^^, est aussi divisible par fi, mais non par fi', ..., fi"~'*; et comme on a aussi Nc(Ag^j)^— a, mod t*. A^^, n'est divisible que par la première puissance de fi. Nous pouvons, d'après ce qui a été
déià démontré, mettre le nombre fractionnaire — ^ sous forme d'une fraction dont
les deux termes seront premiers a I. En posant — ^^Q^, mod F', de façon que Q"
soit un entier de c(M. 0» on a
Une telle formule étant possible pour tout exposant positif (/, on montre comme plus haut que tout entier premier à I est résidu de normes du corps c(|V|, t).
Nous passons maintenant à la deuxième partie du théorème i5o. Soit d'abord tt) un idéal premier de c(Ç) différent de I, divisant le discriminant relatif de c(M. 0; nous avons alors, d'après le théorème 149, tt) = 9[6', où aSB est un idéal premier de c(M. 0- Tout entier de c(|Vl> 0 doit alors être congru à un entier de c(l), mod 258. Si alors un nombre donné v de c{t) premier à tt) doit être congru à la norme relative Nj(A) d'un entier A de c(|\/|. K), et si nous posons A^a. mod 258, il en résulte nécessai- Fuc. de r., 3e S., II. 46
D. IIILBERT.
remcnt v ^ a', rnod SIB, et par suite, mod m, c'est-à-dire que v est résidu de /'^°"' puissance, mod t». Inversement, si un nombre v de c(Ç) est résidu de /'*'"'' puissance, mod n), V est aussi évidemment congru à une norme relative Nt(A). mod tt). Nous en concluons que les résidus de t^""'^^ puissances, mod w, donnent aussi tous les résidus de normes, mod H> du corps c(M< '0-
Il reste enfin à traiter le cas, où tt) = ï et où ï divise le discriminant relatif de ^(M' 0- Oïl ^ dans ce cas 1 = S', S étant idéal premier dans c(M. 0» ^t nous pouvons (vu le théorème i48) supposer que le nombre [>. vérifie, soit la congruence
Ix^X, (V), soit l'une des suivantes
m étant égal à i, 2, ..., / — i (i). Nous chercherons ensuite dans ces deux cas quels sont les nombres de c(^) qui sont congrus à la norme relative d'un nombre de c(|\/|» 0» mod ï''"' ou mod l' respectivement, et nous tirerons de là facilement le nombre des résidus de normes incongrus pour n'importe quelle puissance plus élevée de I.
Dans le cas de [j.^l, mod ï', M est divisible par 8, et non par 8*, et l'on a les congruences
c.-à-d. Nc(i + M) = I + X + À*p. , (I'^*) ,
Ne(i + M^) =1 +/.*-, {V),
(75) / c.-à-d. Ne(l + M"-) = T + X* +■ aV„ (ï'"') ,
Ne(i +M'-*)= I +a'-S (I').
c.-à-d. Nc(i + M'-') = I + À'- 4- X'p,.. (t'-^') ,
où p,, p^, ... , pi^ sont des entiers de c(l).
(1) N. T. — On a, en effet :
soit ij.=X*[j.', k premier kl, </ premier à X; soit [i. premier à X et ^ a', (I™), m<^l .
Dans le premier cas, on déterminera deux entiers a, b, tels que
ak -\- bl= I , et on prendra
• -; 6i « -, ra
puis on déterminera [j.*' de façon que [/'ji' ^^ i, (J), et on prendra
[J. = Au. == A , (l J .
Dans le deuxième cas, on déterminera [B de façon que [îa^ i, (I), d'où
BV=i4-aX'", (I'"^'), et enfin on prendra [a' = ([;';x)"' , a vérifiant la congruence
THKORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 363
Enfin, l'on a
(76) Ne(i+X'M'')=i. (l'n
pour /= I, 2, 3, ... ; j7== I, 2 / — r. Or, tout entier A du corps c(|VI. 0 premier
à 8 vérifie évidemment une congruence de la forme
A = a (i + M)"^ (i 4- MT^ - (i + M'"T'-'.
où a est l'un des nombres i, 2, ..., /— i et les (/+i)(/ — 1) exposants a,, a^, ..., a\'li sont des entiers déterminés de la suite o, i, 2, ..., / — i. Des congruences (75) et (76) résulte
N.(A)^a'(i + X + r?f^{i + À' + rp/. ... (I + //- + a'?,-/'-', (I'-').
L'expression du second membre représente , lorsque a prend les valeurs I, 2, ..., / — I et a^, Ojj, ..., a^^ séparément, toutes les valeurs o, i, 2, ..., / — i, (/ — i)/'~' nombres, visiblement incongrus mod l'^'. Alors tout nombre de c(Ç) premier à I, congru mod l'^' à la norme relative ÎNc(A) d'un nombre A de c(|V|. 0 est nécessairement congru mod l'^' à une expression de cette forme et inversement, on conclut de (76) que toute expression de cette lorme est congrue mod l''^' à la norme relative d'un nombre de c(M' 0- -^ l'aide des congruences (78) on reconnaît que deux nombres de cÇC) premiers à ï, congrus mod l'^ ', sont en même temps résidus ou non résidus de normes mod ï. Le nombre des résidus de normes mod ï, premiers à ï et incongrus mod t'^' est donc exactement égal à (/ — i)/'~*, c'est-à-dire au /'^"'^ des nombres de c(Z) premiers à I et incongrus mod l'^', et ce résultat peut s'étendre immédiatement aux puissances l^ d'exposant e>> / -f- i-
Pour abréger, nous ne traiterons ici que le cas le plus simple de ceux qui sont encore possibles relativement à u.: c'est celui de a^ i -f X, mod V. En posant alors Q = M — I, Q est un entier de c(M. 0 divisible par 8, mais non par 8% et en remarquant que Nc(Q)^X, mod V. on trouve, par un calcul facile ('), les
(') N. T. — Nc(i + Q') est égal à — fi{ — 1), si l'on représente par/j(j:;)^o l'équation, de premier coefficient égal à i, dont les racines sont + ^'j + (*^-)S etc. Or, cette équation est la transformée de l'équation /Ji/) = o par la substitution œ^= + y' . On a /^{i/) ^={1/ + i)' — V^' et on en déduit que
d'où
congru en CCS
Nc(i + 0) =i+X, (V),
c.-à-d. N,.(i + Q) = I + X + rp^, (V),
Ne(i -fQ'-)= I +>/-% (I'-),
où p,, Pj, ... , pi^ sont des entiers de cÇÇ). On a de plus
Nc(i + Q'-0= I -f S^ + S, + ... -f 2,, 4- Nc(Q'-0
en posant pour abréger
X, = Q'-i(SQ)'-i 4- LV-'(S'Q)'-' + ... + (S'-2Q)'-'(S'-'Q)'-\
On a de suite T,^ = t. Chacun des termes à additionner dans H^, S3, ..., XI^, est divisible par S', on peut de plus les grouper en / séries, se déduisant l'une de l'autre par les substitutions i, S, S*, .... S'~'; en mettant alors un terme quelconque sous la forme X<I\ <ï> est un entier de c(|V|' 0' ^^ peut, par suite (démonstration du lemme 28), se mettre sous la forme d'un polynôme entier en Q et par suite aussi en M . dont les coefficients sont des entiers ou des fractions de c(Z) à dénominateurs toujours premiers à ï. En posant donc <I>i=F(|V|)> l'ensemble des / sommes peut s'écrire
Mf(m) + f(:m) + ... + f(::'-*m)î.
la parenthèse est, on le voit aisément, toujours congrue à o, mod /; les nombres Sj,, S3, ... , S^j sont donc tous congrus à o, mod l', et l'on a
(78) ^a(y+DJ-')=i+l-\-l'-' = i, (V).
On obtient enfin facilement les congruences
(79) Ne(l+//Q^)^I. (I'),
pour t= 1, 2, ..., / — i; g = I, 2, ..., / — I.
Maintenant tout entier de c(|VI» 0 premier à S vérifie évidemment une congruence de la forme
A = a(i+Q)^ (i+QT^ ...(I -fQ'-O"'-'.
(i + xQ)< (i + xiT)< ... (i + m'-y'i-i,
OÙ a est un des nombres i, 2, ..., l — i etoùles/(/ — i) exposants a^, a^, ..., aiZt sont des nombres déterminés de la suite o, i, 2, ..., l^i. On en déduit, vu les congruences (77), (78), (79),
Nc(A) = a'(i + X + l'p.r^ii + r + X^/. ... (1 4- l'-' + X'-'p,/'-^ (V).
Le second membre représente alors pour les / — i valeurs i, 2, ... , / — i de a et les / valeurs o, i, 3, ... , / — r des exposants a,, a,, .•• , «;,, (/ — i)/'~* nombres, qui sont premiers à ï et incongrus mod V. A l'aide de la congruence Nc(i + X'M)^ i + X', mod V ' et des congruences (73), nous en concluons que le /'*™® de tous les nombres premiers à t et incongrus mod I' donne tous les résidus de normes de c(|VI, 0, et nous étendons ensuite ce résultat au cas des puissances V à exposant e = l-\-i ou > / + I .
On obtient le même résultat par des calculs analogues lorsque \). est ^ i, mod I*. et le théorème i5o est ainsi complètement démontré. Remarquons pourtant que nous nous arrangerons dans ce qui suit pour n'employer ce théorème que dans le cas [j.^^i 4- A, mod V, dont nous avons fait la démonstration en détail.
Le théorème i5o conduit à une propriété nouvelle et essentielle des idéaux premiers facteurs du discriminant relatif de c(|V|» 0 P^^" rapport à c('l). Cette propriété correspond dans une certaine mesure au théorème sur les points de ramification d'une surface de Riemann, d'après lequel une fonction algébrique a dans le voisinage d'un point de ramification du /'^""' ordre une représentation conforme de l'angle total sur le /''■""' de ce dernier. Pour cette raison, j'appelle les facteurs idéaux premiers tt) du discriminant relatif de c(|\/|, "1) par rapport à c(w) des idéaux de ramification pour le corps de c(|V|, C); « facteur premier du discriminant relatif», « idéal invariant », (( idéal de ramification » sont donc ici synonymes.
s 1 3 1 . — Le symbole < [
Le théorème i5o nous fait voir la possibilité de répartir les nombres du corps c(^) incongrus mod »* (e >> / dans le cas de w = ï) en / sections, contenant toutes le même nombre de nombres et dont l'une comprend les résidus des normes mod W.
Pour mettre en lumière cette répartition, j'introduis un nouveau symbole — - ,
i tt> ) faisant correspondre comme suit une racine /"■"" déterminée de l'unité à deux entiers
distincts v et [jl de c(Q et à un idéal premier tt) quelconque de ce corps.
Soit d'abord to=|=I. Alors si v est divisible exactement par t»* et v. par w", on
formera le nombre y, = -^ et on mettra y, sous forme d'une fraction —dont les deux
termes seront premiers à W. Le symbole -^ sera alors défini par la formule
On obtient immédiatement les règles simples
( tt) i
i tt> )
i to \
tt) i»
où V, V,. Vj. [A, [J., , [J.J sont des entiers quelconques =|=o de c (Q.
Pour définir le nouveau symbole dans le cas de tt) = I, faisons les remarques suivantes :
Etant donné un entier od de c(Q vérifiant la congruence o)^ i. mod î, et si l'on pose
de façon que c, c, , ..., c^, soient des entiers rationnels, ces derniers vérifient la congruence
c + c, + ••• + C/2^ I , (mod /).
En posant alors
ià{x) = c 4- c,x + ... + Ci^tx'-- ■ ■ (i -l-x 4- ••• +a;'~')'
a)(x) représente un polynôme à coefficients entieis de degré / — i et l'on a
Ce polynôme s'appellera le polynôme adjoint à rentier w. Nous écrirons encore
expressions introduites avantageusement par Kummer pour abréger certains calculs. [Kummer'^]
Si le nombre w ^ i, mod I, est mis d'une façon quelconque sous la forme
où a, a^, ... , Qf sont des entiers rationnels,
iri(x) = a + a,£c -^ ... + a^x'
est un polynôme de degré /, ne vérifiant pas en général l'égalité (o(i)= i, mais véri-
fiant toujours la congruence w(i)^ i, mod /, et qui est par suite premier à l pour £C = I . On a les congruences suivantes :
/gjV (9 = 1, 2, ...,Z-2).
d'-' log îT) (e")n „, , , 1 — ^(1)
L dv^-^ J„=o~
(^•') -I r^' (n^od /)•
Leur exactitude ressort de ce que l'on a (81)'
0)(O = (7) (e") + ^^ ^^ v'-\ (mod /).
Dans la première égalité, 0(a:) désigne un certain polynôme entier en x, et la seconde signifie que, dans les développements des deux membres de cette congruence suivant les puissances de v, les coefficients de i, u, y*, .,. , v'~* sont congrus entre eux mod /(').
V, y. étant deux entiers quelconques de c(Ç), tels que v^ i, [x^i, mod ï, nous
définissons le symbole )—f-[ comme suit :
(1) N. T. — Soit, plus généralement, (o(Ç) un entier de c(Ç) non divisible par I, de sorte que oj(i) ne soit pas divisible par /, et soit w'(Ç) le même nombre exprimé d'une autre façon; on aura encore
pour g = 1, 2, ... , 1 — 2.
En eiïet, soit
Q(r) = a. + a.: + ...-fa',C'-
la l'orme réduite de w(Ç) et de m'{Z), de sorte que l'on ait
co(a;) = (i +X+ ... +x''')Q{x) + Qix), (o*(£c) = (i + £c + ... + x'-')Q*{x) + Q(a;) .
I + j? + ... + Jî'^' et ses / — 2 premières dérivées sont divisibles par / pour œ= i {à. cause de la congruence i + a? -|- ... + œ'—^ ^[i — •^]'~^y "^oJ /).
to(e^), w'(e''), £2(e") sont donc congrus entre eux, mod l, ainsi que leurs / — 2 premières dérivées, et il en est par suite de même des dérivées logarithmiques.
Si deux nombres a(X), ["'(Ç) sont coqgrusj mod /, on a évidemment aussi pour toute valeur de ff
De cette définition découlent imriiédiatement les règles
~r hri-''
où V, V,, Vj, ij., u.^, 11.^ désignent des entiers quelconques de c(u)^ i, mod I. Si r est une racine primitive, mod /, et5:=(^: Q la substitution correspondante du corps circulaire c{V), on trouve aisément la formule
Si V et [x sont des entiers quelconques premiers à ï du corps c(l), je définirai le symbole -y- par la formule
Dans le cas où l'un des nombres v, [x ou tous les deux sont divisibles par ï, voir les remarques à la fin du paragraphe i33.
S l32. — LeMMES SLR LE SYMBOLE ] — T^ ( ET LES RÉSIDUS DE IVORMES MOD t.
Lemme 2/». — w étant un entier de cC^) congru à i, mod ï, la norme n(a)) de w dans c(Q vérifie la congruence
/('-i)((o) = ilI.^, (mod/).
[Kummer^".]
Démonstration. — Soil oj{x) le polynôme adjoint à w, et soit
F(x) = ii(o(i +x{:"- i)),
le produit étant étendu aux valeurs g = o, i, ..., /— i. F(x) est un polynôme en x a coefficients entiers et les coefficients de tous les termes divisibles par x' sont évi-
demment divisibles par a', et par suite aussi, à cause de la rationalité des coefficients, par f . En développant suivant les puissances de x, on obtient ensuite
log w(i 4-«(; — 0)
I rd log 0) (x)
rd log 0) (x)~l \ dx J,.=i
^ (^-i)! L dx'-^ J...=, ^ "••
En posant successivement dans ce développement ;= i, Z, '1*. ..., w'~' et ajoutant, on obtient, vu
l'égalité
) 0.'-' p/-' log (o(^n ) ,
^- +(7— ôiL c/o.-' J..,i+"^^'
où x'G représente l'ensemble des termes du développement divisibles par x'.
En posant, en second lieu, dans le développement (85), ç^e" et prenant la (/ — i^^me dérivée par rapport à v, celle-ci est égale, pour i' = o, à
rd'-' log a)(i + xie' — i))"| __ X rd log w(.r)"|
■ 1^-'^ rt/'iogo.(x)-i
L dx^ J^=,
,r<fiogui(xr\
"" L dx' J
+ ■ jr^ ^' I — ?-r^ I + ...
(/-iy-'-...-(/-i)i^-' rrf^-'iogo>(x)-i
X rd log (0 (a?)"! j;* rrf* log w (aî)~|
~~ I ! L f/j? J.r=i 2ÎL dx' J^=, 1 x^-' rd^-'logo>(a^)-|
En comparant les formules (86) et (87), on obtient
c'est-à-dire que les coefficients de x, x*, ... , x'-' dans le premier membre sont congrus mod /* aux coefficients correspondants du second membre, et si nous passons Fac. de T., 3" S., II. 4;
aux puissances de e nous obtenons, d'abord dans le même sens, puis, vu la remarque faite au début de cette démonstration, sans restriction, la congruence des deux polynômes à coefficients entiers
et par suite, pour a? = i ,
,1 (i^) = I /. /"-"(co) , (mod r) ,
ce qui démontre le lemme ik-
Lemme 25. — Si les entiers v, \). de c(^) vérifient les congruences v^ i, mod ï, et [j. ^ I + X, mod I, et si de plus v est congru mod V à la norme relative d'un entier A du corps kummerien c(M. 0 défini par |V| = V^1J-. •! existe un polynôme /(x) de degré / — i à coefficients entiers, tel que l'on a
n(/(0)=i, (modf),
v=/(.x), (mod I'). [Rummer^".]
Démonstration. — Vu la démonstration du lemme 28, tout entier A de c(M. '0 peut être mis sous la forme
et par suite aussi sous la forme
Y' Yi' •••' Yi-i'^- P' Pi' •••' i^/-i étant des entiers de c{'^), 0 premier à l. Ce dernier fait entraîne
A = a + a.M + ... + 'v.,.iVi'"', (ï').
a, a^, ..., «;, étant des entiers de c(Q. Soient alors
a^a'\ x^^ci;, ..., 7.,, ^«/Li, (mod ï),
a*, a*,, ..., étant des entiers positifs; posons
Comme on a, dans c(|VI . 0- I = fi' et M ^ i > ™od fi , il en résulte
A = a + a, + ... + a,, = a''=- + < + ••• + a^i, (mod fi).
Si maintenant on a, selon l'hypothèse de l'énoncé, X'"(A)^v, mod V, on a de plus
v = i\c(A) = rt" + <+ •••+«/-!= I, (mod fi), et par suite
(88) a"" + al + ... + af i ^ i , (mod /).
Par suite, /*(0 est un nombre de c(Ç) congru à i, mod ï. On trouve alors aisément un entier positif 6, tel que la norme du nombre f{Z)=^f*(l) + Ib dans c(u) vérifie la congruence
(89) n(f(0)=i, (modf), le polynôme entier
f(x) =r(x) + lb = a + «.a? + ... -f «,,a3'~'
remplit alors les conditions du lemme aS. Car on a évidemment A=/(M) + ^ B. B étant un entier de c(M. 'Ç)- On en tire facilement (comme paragraphe i3o)
(90) v = >v(A) = Ne(/(M)). {V).
D'autre part, à cause des congruences
a'^^a, a[^a^, ..., a/,^a^, , (mod/), on a identiquement en x une égalité
(91) f{x)f{^x) ...fiV-'x) =f{x') + /F(x') .
où F(x') est un polynôme en x' à coefQcients entiers. On en tire pour x= i, à cause de (89), la congruence
/(i)=/(i) + /F(i), (mod O, c.-à-d. F(i) = o, (mod /)•
En faisant ic= M dans (91), on obtient
et, par suite, comme on a F([j.)^ F(i)^o, mod ï,
Ne(/(M))=/(l^.). (modïO, c'est-à-dire, à cause de (90),
v^/(.^.), (modl').
Ceci joint à (89) démontre complètement le lemme 26.
Lemme 26. — [x et v étant deux entiers de c(Q tels que l'on ait v^ i, mod l, et [x^ I + A, mod r, et V étant de plus résidu de norme, mod I, du corps c(M? 0 défini par M =\/tji, on a toujours
[Kummer^".]
Démonstration. — La formule connue de Lagrange pour l'inversion d'une série de puissances donne immédiatement l'identité suivante :
dv
dans laquelle V(v) est une série quelconque de puissances de v, ç(y) une série de puissances de v dont le terme constant est =]- o, et Y une variable liée à v par l'équation V!ii(i') — v = o.
Soient alors v(a;) et i).(x) les polynômes adjoints aux nombres v et [j.. Gomme v doit être résidu de normes, mod I, du corps c(|VI' 0» il existe (lemme 25) un polynôme/(x) de degré / — i à coefficients entiers, tel que l'on ait
(93) • n(/(;0)=i, (modf).
(94) v=/(;jO, (modl'),
et/(i)>o.
Posons alors
F(r0 = log/(:..(O).
Y = logu(0.
log ij.{e")
Ces fonctions ne seront envisagées que pour v = o, et les logarithmes seront déterminés de manière à être réels pour i' = o.
Si nous remplaçons co, -ci{x) et v dans la deuxième formule (8i)', paragraphe t3i, par/(!^), /(x), Y respectivement, on en tire
['''''j''-y%,^ '''-■' (fO) + '-^. (n>od 0.
Le lemme 24 donne, vu (gS), la congruence
/<'-'>(/(:)) = 0, (modo, et l'on a, par suite, •
D'autre part, on a, vu (94), la congruence (')
/(;x(e')) = v(0+-^-'^~'^'^-'. (mod 0,
(1) N. T. — On l'obtient en partant de la deuxième formule (81)", paragraphe i3i, en remarquant que, à cause de ;j. ;^ i + À, (t"), on a : ;j.(l) = 1.
THÉOHIli DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 3'j3
qu'il faut entendre en ce que dans le développement par rapport aux puissances de v les coefficients de i, v. ..., v'~* sont congrus, mod /, de part et d'autre, et on en déduit le développement
congruence qu'il faut entendre comme exprimant la congruence des coefficients de I, V, V*, ... , v'~'.
Considérons enfin la fonction z>(v). Comme on a [j, ^ i + X, mod I*, ï.(y) est une série de puissances dont le terme constant est ^ — i, mod /. Puis on trouve facilement
(<P(y))' = cp(y') = i(o) = — I, (mod/),
en ce sens que les coefficients de i , y, ... , v'~^ sont congrus, mod /, de part et d'autre ; puis toujours dans le même sens
(,(„))'-. ^l2g|dfl), („,od/),
et enfin, toujours dans ce même sens, le développement
La réunion de la congruence (gS) et des deux développements (96), (97) avec (92) donne, comme /**'(;j.) ^ — i et que {l — ç)^-{g — 0 ' ^ ( — 0*' mod /, pour g =^ I, 2, ... , l — i,la congruence suivante :
/"-"(v) /"»(a) — /"-*'(v) /'*'(a) + . . . — 1%) t'-%.) = o , (mod /) , c'est-à-dire d'après la définition (82) du symbole )—-r-[ S i3i,
ce qui démontre le lemme 26.
. 00 T^ ' ' ^^' 'A % lÔO. DiSTI.NCTION DES RESIDUS ET >ON RESIDUS DE NORMES AVEC LE SYMBOLE • >.
{ \xsS
Théorème i5i. — v, t^. étant deux entiers quelconques de c(Q, mais sj ^. n'étant
pas dans c{'Ç), et w étant un idéal premier quelconque du corps circulaire c(0, v est
résidu ou non résidu de normes, mod io, du corps kummerien c(|V|, 'Ç) défini par
M =v ;jL. suivant que l'on a
i^' «-1 1 =1 ou = = I .
Démonstration. — Soit d'abord n)=|=I et ne divisant pas le discriminant relatif
* du corps c(M. 0- ^i [J-* est un entier de c(Q, tel que — soit la i'""*' puissance d'un
nombre de c{Z), on a toujours ] [ = — -\. On peut donc, vu le théorème i48,
( l» ) ( tt> >
admettre ici que [j. n'est pas divisible par w. Distinguons deux cas, suivant que w est égal dans c(|V|. '0 à un produit de / idéaux premiers SS, , .... 2S, ou que t» est lui-même idéal premier dans c(|VI. '0- D'après le théorème 149 on a, dans le premier
cas , — = I, dans le second ,— =1= i etd=o.
Dans le premier cas déterminons un entier A de c(M- 0 divisible par 33?^ mais non par ^l ni par aucun des idéaux 95B,, ... , 2Ô^ ; alors la norme relative x= Nc(A) contient iv exactement au premier degré. Si alors W* est la puissance de w contenue
dans V, x = -j peut se mettre sous forme d'une fraction dont les deux termes a
sont premiers à W et sont, par suite (théorème i5o), résidus de normes du corps c(M» 0» "lod w. 11 en est donc de même de v. Comme, d'après la définition du paragraphe i3i.
le théorème i5i est exact dans ce premier cas.
Dans le second cas, la norme relative d'un entier A de c(|\/|- 0 est toujours divisible exactement par une puissance de iv dont l'exposant est un multiple de /. Soit encore l»* la puissance de l» contenue dans v ; si 6 n'est pas multiple de /, v ne peut donc être résidu de normes, mod tt) ; dans ce cas, on a d'ailleurs
Si au contraire b est un multiple de /, et que at désigne un entier de c(Q divisible par t». non par w , nous posons "/. = -7 et nous voyons que v est résidu de normes, mod tt), comme dans le premier cas; d'autre part, on a maintenant
Le théorème i5i est ainsi démontré dans ce second cas.
Supposons maintenant que le discriminant relatif du corps c(|VI> 0 soit divisible par lidéal premier w. H) doit être =|=I. Supposons que v soit divisible par tt)* et
[J. par tt)"; alors a n'est en tout cas jamais nmlliple de /. Le nombre x = ^ peut se
mettre sous forme d'une fraction -, dont les deux termes sont premiers à to. Le
THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. S'jï}
nombre s^'"' est un entier non divisible par ïo ; d'après la démonstration du théorème i5o, pour qu'un tel nombre soit résidu de normes, mod l», il faut et il suffît
qu'il soit résidu de Z'''"'® puissance, mod tt), c'est-à-dire ici, que ,— — == i et par
suite que = i ; le théorème idi est encore exact dans ce cas.
Soit enfin to = ( . >ous envisagerons seulement le cas où l'on a ;j, ^ i -|- X, mod ï* (le seul dont nous aurons besoin dans la suite; les autres se traiteraient d'une manière analogue). Pour la démonstration, nous ferons encore la restriction (non essentielle) v^T, mod ï. Comme on a u^i -\-7,, mod V, on peut, d'après le théorème i5o. former exactement /'"' résidus de normes v* du corps c{fiJ['Ç), mod I, résidus congrus à i, mod I, et incongrus entre eux mod 1'+'. D'autre part, tout résidu de normes V* de c(M' '0' ïïio'^ Î' pour lequel on a v*^ i, mod I, remplit (lemme 26)
la condition ——^ = I . A cause de
(mod /),
on obtient, vu (82) :
Soit maintenant a un entier quelconque de cÇQ congru à i, , mod ï, et posons
où a est un nombre de la suite o, i, 2, ... , / — i ; alors on a évidemment
au contraire, on a toujours
lorsque x est un nombre de la suite 0, i, 2, ..., / — i, =|=a. Si nous choisissons ensuite un entier x' de c(^), encore congru à i, mod ï, mais non congru, mod ï, à aucun des / nombres a, a(i — /)^ a(i — l)'', ..., a(i — /)'-', les / nombres a', x'(\ — /), a'(i — /)*, ... , a'(i — /)'"' sont aussi tous incongrus entre eux, mod ï'+\ et de plus non congrus à aucun des / premiers nombres; parmi ces / derniers nombres, il y en a évidemment, à cause de (98), un et un seul — soit, par exemple, a'(i — 0" — tel
que '—^i = I. En continuant ainsi, nous voyons que le nombre des nom-
bres V incongrus, mod 1'+', congrus a i, mod t, et vérifiant la condition — p-[ = i.
est précisément /'~', et comme ce nombre coïncide avec le nombre trouvé antérieurement pour les résidus des normes v*, on voit qu'inversement tout nombre v possédant ces deux propriétés est résidu de normes du corps c(|\/|. 0» rnod I.
Le tbéorème lôi est ainsi démontré complètement; à part que pour le cas de H) = t on s'est borné aux nombres v, tx, v ^ i, mod ï, et jj, ^ i + X, mod I'. La restriction relative à v est évidemment facile à lever.
Du théorème i5i résulte, à l'aide des premières formules (80) et (83), la formule
où I» est un idéal premier quelconque de c('Ç) et v* un résidu de normes du corps c(M. w), mod ».
Pour définir maintenant le symbole )---r-[ dans le cas où l'un des deux nombres
V, \j. ou tous les deux sont divisibles par I, il suffit de convenir qu'on a toujours les
formules
( vv", [xj \^, u.) \ V, p. I j |J,, V I
où v" est un résidu de normes quelconque du corps c(y [;., ç), mod I. On en déduit, en particulier (^),
( V, a ) Nous pourrions uniquement baser la définition du symbole l—r-i sur les formules
i ^ j r^ ^ ^^> V' } ^ \ vj^ ) ( vj!: }
} i \ ' M W li
V est ici divisible par f et ij. par I^; donc
j I + a/J, 1) \1. \ -{- aÀ'p*
1 , c;= I + aV,
l, 1 -\- aVj j I ) \ I + aÀ'i~' ^ I + «À', À^ ( I + «a'/
.OÙ a est un entier de c(Z) premier à i, v* un résidu de normes de c(v/[j-, ç), mod f , et V, V,, Vj des entiers quelconques de c(Q (voir § 166). J'ai pourtant choisi pour le moment la définition (82), qui se rattache immédiatement aux développements de Kummer.
Remarquons enfin que nous avons maintenant atteint le but fixé au début du paragraphe i3i ; si, en effet, to* est une puissance quelconque de l'idéal premier t» (avec e>»/ dans le cas où tt) = I), on peut évidemment diviser un système complet de nombres de c(0 premiers à tt) et incongrus, mod M)^, en ayant égard aux valeurs
