CHAPITRE XXX

Existence d'une infinité d'idéaux premiers ayant des caractères de puissances donnés dans un corps kummerien.

S 184. — Valeur limite d'un produit ofim.

Après avoir, au paragraphe 128, obtenu tous les idéaux premiers d'un corps kummerien, nous sommes en mesure de faire pour ce corps les mêmes recherches qu'aux paragraphes 79 et 80 pour le corps quadratique. Nous commencerons par l'importante proposition suivante :

Lemme 27. — / désignant un nombre premier impair et a un entier quelconque

du corps circulaire défini par Z^=e~, non égal à la l'"""" puissance d'un nombre de c(Q, le produit

a toujours une limite finie et différente de o pour s=zi; le produit II étant étendu à

(») tous les idéaux premiers de c(^) et le produit H à tous les exposants m= i, 3, ...,

/ — i. [Kummer**'.]

Fuc. de T., 3e S., II. 48

Démonstration. — En envisageant le corps kummerien C =: c\yy., ç) et désignant ici la fonction 'Ç(s) du théorème 56 par Cc(^). on a, d'après le paragraphe 27,

Cc(5) = n

le produit étant étendu à tous les idéaux premiers 5J> de C et N(^) étant la norme de ^ prise dans C. Si l'on ordonne ce produit par rapport aux idéaux premiers p du corps c(Q, dont proviennent les idéaux premiers ^, à chaque idéal p correspond dans le produit (théorème i/jg) le terme

ou T^—: , ou

{i-n{prr i-n{pr' i-Kpr^'

suivant que l'on a | — =: i ou =0, ou =1= i et =|=o. ( P ) Ecrivons ces trois expressions sous une forme commune