nS (pour m

nous obtenons ainsi

.-j-; nw-

Il représentant le produit étendu à m = i, 2, ... , / — i et les deux produits H s'éten-

dant à tous les idéaux premiers p de cÇQ. Or, chacune des expressions

Lim(5— 1)11 7-T=ï' Lim (s — i)Cc(5)

est finie et =|= o, comme on le voit en appliquant le théorème 56 au corps circulaire c(0, puis au corps kummerien C = c( y a , c) . En multipliant par s — i l'équation (99) et passant à la limite pour s=i, on voit que l'expression donnée dans le lemme 27 a une limite finie et =|;::o.

S i35. — Idéaux premiers de c('Q ayant des caractères de puissances donnés.

Théorème i52. — Soient a,, ... , a^, t entiers quelconques du corps circulaire c(Q,

tels que le produit

a^< a!f » . . . af'

ne soit jamais la puissance P""® d'un nombre de c(Q lorsque m^, m^, m^ prennent les valeurs 0,1,...,/ — i , la combinaison m^ = w.^ r= . . . = m^ = o exclue ; soient

de plus Y,, Y,,... , Y^ des racines /'^■"^''de l'unité données arbitrairement. Il y a toujours dans le corps circulaire c(Q une infinité d'idéaux premiers p, tels que l'on ait pour un certain exposant m premier à /

ip) ^'' ip\ ^" ip) ^'

[Kummer^**.]

Démonstration. — On a, tant que 5 est >• i,

où S et S sont étendus respectivement à tous les idéaux et à tous les idéaux premiers

(i) (») de c(Q. Comme l'expression S reste finie pour s= 1 (voir S 5o), il résulte de (100)

que, le premier membre devenant infini pour 5=1, la somme S croît égale-

(p) n(,P) ment au delà de toute limite lorsque s tend vers i. Ensuite, a étant un nombre entier

quelconque de c(Q, on a de même pour 5> i

logll -^ =S AM ^+S(a),

(loi) ; \p\''^^^

^ ^ ^r)U! n(pr^^^,,\p\ n{pr'^

et S(a) reste ici encore finie pour s = i. Soit maintenant m un des nombres I, 2, ..., / — I. Posons dans (loi) a = a"' ^ a^"'< a^''^ . . . aj""« et multiplions encore l'égalité obtenue par le facteur y7"' T7"' • • • 77"' > donnons ensuite à chacun des t exposants u^, u,, ..., u^ les / valeurs o, i, 2. ..., / — i (à l'exclusion de la combinaison u^ = u^ = ...^^Ui=^o). En additionnant les /' — i égalités ainsi obtenues à (100), on obtient la relation

W^ip) {u„...,ui) if) a"' ... a/

C) n{p) (u„...,ut)

38o D. HILBERT.

OÙ l'on a posé pour un instant

(a .ry- (7! ) '

ip\ y

ip) J '

Faisons abstraction, dans la prennière somme du second membre de 102, des termes en nombre limité (dont G^ désignera l'ensemble), correspondant aux facteurs idéaux premiers de a, a^, X. Le reste infini de cette somme est alors évidemment /'S-——, où û parcourt seulement tous les idéaux premiers de c(l), remplissant les / conditions

Ecrivons alors les égalités (loa) les unes après les autres pour m = i, 2, ..,, / — i et ajoutons ; nous obtenons

+ V Y-«....yr"Uogiin

fit \'"

- n{pr

C^l'Hlf) (m) (u ui)

t parcourt tous les idéaux premiers p de c(Z) satisfaisant à l'un quelconque des / — f systèmes de conditions (io3) obtenus en faisant m ^ i, 2, ... , / — i ; pour yj= i, •••, Y^=i, ces / — I systèmes sont identiques et les idéaux premiers correspondants doivent être pris / — i fois. En passant alors à la limite pour 5 = 1, la première somme H du premier membre de io4 augmente indéfiniment, tandis que la deuxième somme ï; du premier membre reste finie d'après le lemme (27). S et S(a^) restant

aussi finies, l'expression S— -— ^ croit donc indéfiniment lorsque s tend vers i, et, par

suite, il V a une infinité d'idéaux t; or, ils satisfont au théorème i52.