RÉGULIERS ET DES CORPS KUMMERIENS RÉGULIERS
Soit / premier impair, ^ = e~; le corps circulaire c(Ç) et le nombre premier / seront réguliers, lorsque le nombre h des classes d'idéaux du corps c{Q ne sera pas divisible par /. Les chapitres suivants ne traiteront que des corps circulaires réguliers et des corps kummeriens qui en résultent, corps que j'appellerai corps kummeriens réguliers; on peut démontrer de suite pour ces derniers la proposition simple ci après.
Théorème i53. — Soit c(^) un corps circulaire régulier et C un corps kummericu déduit de c(Q : tout idéal j de cÇÇ) qui est idéal principal de C est aussi principal dans c.
Démonstration. — Posons j = (A). A étant un entier de C, on a en formant la norme relative j' = (Nc(A)). c'est-à-dire qu'on a dans cÇQ l'équivalence j'^*' i. D'un autre côté, on a aussi j''^*' i, h étant le nombre de classes de c(Q. En déterminant deux entiers positifs a et b, tels que al — bh = i, on a donc j"'"*''-^ i, c'est-à-dire que j est idéal principal d'ans c(V).
La question se pose de trouver un critérium pour reconnaître simplement si un nombre premier / est régulier. Les deux lemmes ci-après vont nous conduire à ce critérium.
§ 187. — Lemme sur la divisibilité par / DU premier facteur du nombre
( -\ DE classes de c\e ' J .
Lemme 28. — / étant premier impair, la condition nécessaire et suffisante pour
que le premier facteur du nombre de classes du corps cVÇ^e ^ ) soit divisible par /
est que / divise le numérateur de l'un des /* = premiers nombres de Bernoulli.
[Kummer'*, Kronecker\]
Démonstration. — On a mis, au théorème i/ia, le nombre de classes h du corps cÇÇ) sous forme d'un produit de deux facteurs; considérons l'expression donnée
avi premier. Posons pour abréger Z = ^ '~' • Supposons de plus r racine primitive
mod /, choisie de façon que r ^ + i ne soit divisible que par la première puissance de /(*). Soit enfin, comme aux paragraphes io8 et 109, r^ le plus petit reste positif
de r' mod l et q.=
Le premier facteur du nombre de classes h est mis dans le théorème i/p sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est (2/)'", et dont le numérateur est
(io5) /(Z)/(Z')/(Z^)-/(Z'-).
f{x) désignant pour abréger le polynôme à coefficients entiers
/(^) = r, + f\x + i\x' + . . . + ri,x'-* .
En posant ensuite
9{x) = 9o + (Ji^ + ^X + ... + gi-,x'-\
on trouve aisément
{rZ-i)f{Z) = lZ.g{Z),
et comme, vu le choix de r, le produit
(/-Z - i)(^Z'- 0 ••. (/-Z'-'- 0 = (- i/'^Cr^ + I)
est exactement divisible par la première puissance de /, il en résulte que le numé-
/— I rateur (io5) du premier facteur de h n'est divisible par / - =/''+' que si le nombre
est divisible par /. Maintenant 8 = (/, Z — r) est un idéal premier diviseur de / dans le corps c{2), et comme on a évidemment Z^^^. niod fi. on a
giDgiX) . . . (gt-*) ^ g{r) . . . g{r'-% (mod s) ;
par suite, le premier facteur du nombre de classes h n'est divisible par / que si l'une
au moms des congruences
j(r"-) = q. + q,r"- + </,r""^" + . . . + </,, r"^" '"-' = o. (mott /).
est vérifiée.
(*) N. T. — Si l'on avait /• - +1^0, (/-), il suffirait de prendre une racine r'^r, (l)
Soit alors / un des nombres i, 3, 3, ..., . En élevant a la puissance st
l'identité
rr z=: r 4- (rr — r ) ,
dans laquelle r/v — /v,, est divisible par /, on obtient la congruence
r'' r:-^ = ,%, + 2t(rr, - r,^,) r?',!', (mod T),
ou
2t(rr,-n^{)rl^^r^^r^^-rl^,, (modr):
et comme on a évidemment
(rr,-/v.)/1VY = (/'A-,-^i+i)/^'^'^<"'-^ (modO' on en tire
2/(rr, — Ti+O^'*^*' *''"'* = f-'fi'' — n+i ' (rnod 0-
En ajoutant ces congruences pour J = o, i, 2, .... / — 2, on obtient
2 tir-'-' S q, r'<-'-'> = r-' S r/' — S rf' , (mod T) .
Comme d'ailleurs on a
v/-/' = s rf^, = 1^' + 2^' + 3^' + ... + (/ - i)^', («■) ('")
il en résulte que la condition nécessaire et suffisante pour que le nombre g(r*'~^) soit divisible par / est que le nombre
soit divisible par P. Vu l'hypothèse faite pour la racine primitive r, l'expression (106)
n est ccrtamement pas divisible par r pour / = . Pour < = i, 2, ... , on a
toujours, d'après la formule sommatoire de Bernoulli('), la congruence
,«' 4- 2^' ^ 3«' + ... + (/ if = (— i)'+'B,/, (mod r).
(•) N. T. — Rappelons qu'on appelle nombres de Bernoulli les coefficients B^, B,, ..., du développement
X X xe"" + I By B^x* (— i)"~'B„x
e — I 2 2 e — I 2! àl
Valeurs des premiers :
».=!• ^--ro' «.=i- B-=i- ^-=1 B.=â'o- '^=1 ■■
On appelle />o////Jô/«e.ç de Bernoulli les polynômes Çpfj") s'annulant pour a? = o et vérifiant
OÙ B, représente le ^'^""^ nombre de Bernoulli, et, par suite, la divisibilité par T de
/ — 3 l'un au moins des nombres (io6) pour ^=i, 2, ... revient a la divisibilité par
/ d'au moins un des numérateurs des premiers nombres de Bernoulli. Le
lemme 28 est ainsi démontré.
S i38. — Lemme sur les unités du corps circulaire c\e ' ) dans le cas ou / ne
divise le NUMERATEUR D AUCUN DES PREMIERS NOMBRES DE BeRNOULLÎ.
Lemme 29. — / étant un nombre premier impair ne divisant le numérateur
d'aucun des = r premiers nombres de Bernoulli, on peut toujours former, au
l'é(iuation fonctionDelle
On a
(3) 9p(n) = 1" + 2" + S'' + ... + (n - 1/ + n". On démontre l'expression ci-après de ce polytiùnie :
^pW-^TT + T + ^^Ti'' ^^ k\ ^
On trouve en effet, à l'aide du développement (1), en chassant le dénominateur e^ — 1, divisant par X les deux membres et égalant les coefficients de j?-", la formule de récurrence
+ 7— TT-TT +• • • • H — rr—. "T7 +
